Zentralblatt MATH
Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No: 033.16502
Autor: Erdös, Pál; Koksma, J.F.
Title: On the uniform distribution modulo 1 of lacunary sequences. (In English)
Source: Proc. Akad. Wet. Amsterdam 52, 264-273 (1949); Indag. Math. 11, 264-273 (1949).
Review: Ist {un} eine Folge reeller Zahlen, ist N' die Anzahl der Zahlen un-[un] (n = 1,2,...,N) in einem Teilintervall [\alpha,\beta) aus [0,1), dann ist bekanntlich die Diskrepanz D(N) = \sup |N'/N-(\beta-\alpha)| über alle Teilintervalle. Für die Gleichverteilung mod 1 ist bekanntlich ND(N) = o(N) notwendig und hinreichend (vgl. Koksma, Diophantische Approximationen; Zbl 012.39602). Es handelt sich nun um die Abschätzung der Diskrepanz lakunärer Folgen un = f(n,\Theta) mit f'\Theta(n+1,\Theta) \geq (1+\delta)f'\Theta(n,\Theta), f''\Theta(n+1,\Theta) \geq (1+\delta)f''\Theta(n,\Theta) > 0 (wo \delta > 0). Ein Beispiel dafür ist un = \lambdan \Theta [\lambdan monoton wachsende Folge von ganzen Zahlen, \lambdan+1 \geq (1+\delta)\lambdan]. Dann wird gezeigt: ND(N) = o(N ½ log3/2 N (log log N) ½ \omega(N)) für fast alle \Theta. Dabei ist \omega(n) eine beliebige vorgegebene positiv-wachsende Funktion mit \omega(n) ––> oo.
Dieser Satz ist ein Spezialfall eines sehr allgemeinen Satzes, welcher formuliert und bewiesen wird. Beim Beweis wird eine Verschärfung von P.Erdös and P.Turán des Satzes von van der Corput-Koksma benutzt [On a problem in the theory of uniform distribution, Proc. Akad. Wet. Amsterdam 51, 1146-1154 (1948; Zbl 031.25402)].
Reviewer: Hlawka (Wien)
Classif.: * 11K06 General theory of distribution modulo 1
11K31 Special sequences
Index Words: Number theory
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