Zentralblatt MATH
Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No: 031.25402
Autor: Erdös, Pál; Turán, Pál
Title: On a problem in the theory of uniform distribution. I. (In English)
Source: Proc. Akad. Wet. Amsterdam 51, 1146-1154 (1948).
Review: Die Verff. formulieren folgenden Satz: Liegen alle Nullstellen z\nu des Polynoms f(z) = a0+a1z+···+an zn außerhalb |z| < 1 und ist, für ein festes \theta mit 0 < \theta < 1 auf |z| = \theta, |f (z)| \leq M\theta, dann gilt, wenn {M\theta \over \sqrt {|a0 an|}} = en/g(n,\theta) gesetzt wird [n \geq g(n,\theta) \geq 2], für alle 0 \leq \alpha < \beta \leq 2 \pi |{sum\nu}\alpha \leq arc z\nu \leq \beta mod 2\pi 1-{\beta-\alpha \over 2 \pi} \nu | < C log {4 \over \theta} {n \over log g (n,\theta)}. (1) Beim Beweis soll folgende "endliche" Form des Gleichverteilungssatzes von H. Weyl verwendet werden. Sind \phi1,..., \phin reell und |sk| = |sumr = 1n eki\phir | \leq \psi(k) (k = 1,...,m), m = m(n) \geq 1, dann gilt für jedes 0 \leq \alpha < \beta \leq 2 \pi
|{sum\nu}\alpha \leq \phi\nu \leq \beta mod 2\pi 1-{\beta-\alpha \over 2\pi}| < C ({n \over m+1}+sumk = 1m{\psi(k) \over k} ). In dieser Note werden die beiden Sätze diskutiert und gezeigt, daß sich die Abschätzung in (1) in bezug auf n nicht weiter verbessern läßt. Weiter wird der Beweis des ersten Satzes vorbereitet, in dem gezeigt wird, daß man ihn auf den Fall zurückführen kann, wo alle z\nu auf |z| = 1 liegen.
Reviewer: Hlawka (Wien)
Classif.: * 11K06 General theory of distribution modulo 1
Index Words: Number theory
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