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Volume 29 (June 1997) Number 3
Analyses: Fostering of mathematical creativity
The state-of-art in mathematical creativity
Erkki Pehkonen, Helsinki (Finland)
Creativity is a topic which is often neglected within mathematics teaching. Usually teachers think that it is logic that is needed in mathematics in the first place, and that creativity is not important in learning mathematics. On the other hand, if we consider a mathematician who develops new results in mathematics, we cannot overlook his/her use of the creative potential. Thus, the main questions are as follows: What is the meaning of creativity within school mathematics? What methods could be used to foster mathematical creativity within school situations? What scientific knowledge, i.e. research results, do we have on the meaning of mathematical creativity?
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Mathematische Kreativität - eine Übersicht. Kreativität wird im Mathematikunterricht häufig vernachlässigt. Lehrer sind in der Regel der Ansicht, daß an erster Stelle in der Mathematik Logik gebraucht würde, und daß Kreativität beim Mathematiklernen nicht so wichtig sei. Wenn wir andererseits Mathematiker betrachten, die neue Erkenntnisse in Mathematik entwickeln, so können wir ihr kreatives Potential nicht übersehen. Die wesentlichen Fragen sind also: Was bedeutet Kreativität in der Schulmathematik? Welche Methoden zur Förderung mathematischer Kreativität in der Schule können benutzt werden? Welches wissenschaftliche Wissen, d.h. welche Forschungsergebnisse, haben wir über die Bedeutung mathematischer Kreativität?
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Recognising mathematical creativity in
schoolchildren
Derek Haylock, Norwich (Great Britain)
Examples of tasks designed to recognise creative thinking within mathematics, used with 11-12-year-old pupils, are described. The first construct employed in the design of these tasks is the ability to overcome fixation, by restricting their thinking about a problem to an insufficient or inappropriate range of elements. Other times they show algorithmic fixation by continuing to adhere to a routine procedure or stereotype response even when this becomes inefficient or inappropriate. The second construct employed is that of divergent production, indicated by flexibility and originality in mathematical tasks to which a large number of appropriate responses are possible. Examples of three categories of such tasks are described: (1) problem-solving, (2) problem-posing and (3) redefinition. Examples of pupils' responses to various tasks are used to argue that they do indeed reveal thinking that can justifiably be described as creative. The relationship to conventional mathematics attainment is discussed - mathematics attainment is seen to limit but not to determine mathematical creativity.
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Mathematische Kreativität bei Schulkindern erkennen. Es werden Beispielaufgaben beschrieben, die dem Erkennen kreativen Denkens in Mathematik bei 11-12 jährigen Schülern dienen sollen. Die erste Aufgabengruppe dient der Fähigkeit, Fixierungen zu überwinden. Manche Schüler zeigen eine Fixierung in der Gesamtheit eines Inhaltsbereichs, die dazu führt, daß sie ihr Problemdenken auf einen unzureichenden oder ungeeigneten Teilbereich von Möglichkeiten beschränken. Andere Schüler wiederum zeigen eine algorithmische Fixierung, indem sie Routinemethoden oder stereotype Antworten auch dann noch verwenden, wenn sich diese als uneffizient oder ungeeignet herausstellen. Die zweite Aufgabengruppe soll divergentes Denken fördern; sie ist gekennzeichnet durch Flexibilität und Originalität der mathematischen Aufgaben, zu denen es eine Vielzahl möglicher Ergebnisse gibt. Drei Kategorien solcher Aufgaben werden beispielhaft beschrieben: (1) Problemlösen, (2) Problemstellen und (3) Neudefinition. Beispielhafte Schülerantworten zu verschiedenen Aufgaben werden benutzt, um zu zeigen, daß sie tatsächlich ein Denken enthüllen, das kreativ genannt werden kann. Die Beziehung zu konventionellen mathematischen Leistungen wird diskutiert -- diese scheinen mathematische Kreativität eher zu hemmen.
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Fostering creativity through instruction rich in
mathematical problem solving and problem posing
Edward A. Silver, Pittsburgh (USA)
Although creativity is often viewed as being associated with the notions of "genius" or exceptional ability, it can be productive for mathematics educators to view creativity instead as an orientation or disposition toward mathematical activity that can be fostered broadly in the general school population. In this article, it is argued that inquiry-oriented mathematics instruction which includes problem-solving and problem-posing tasks and activities can assist students to develop more creative approaches to mathematics. Through the use of such tasks and activities, teachers can increase their students' capacity with respect to the core dimensions of creativity; namely, fluency, flexibility, and novelty. Because the instructional techniques discussed in this article have been used successfully with students all over the world, there is little reason to believe that creativity-enriched mathematics instruction cannot be used with a broad range of students in order to increase their representational and strategic fluency and flexibility, and their appreciation for novel problems, solution methods, or solutions.
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Kreativität fördern durch einen Unterricht, der reich ist an Situationen des mathematischen Problemlösens und Aufgabenerfindens. Kreativität wird oft im Zusammenhang gesehen mit Begriffen wie "Genie'' oder außergewöhnliche Fähigkeiten. Demgegenüber kann es für Mathematiklehrer jedoch produktiver sein, Kreativität als Orientierung für mathematische Aktivitäten zu nehmen, die auf diese Weise bei der Allgemeinheit der Schüler breit gefördert werden kann. In diesem Beitrag wird gezeigt, daß forschender Mathematikunterricht, der Aufgaben zum Problemlösen und zum Aufgabenerfinden beinhaltet, Schüler dabei unterstützen kann, mehr kreative Zugänge zur Mathematik zu entwickeln. Durch solche Aktivitäten und Aufgaben kann der Lehrer die Fähigkeiten seiner Schüler im Hinblick auf die Kernaspekte von Kreativität erweitern, nämlich Gewandtheit, Flexibilität und Neues. Die hier diskutierten Unterrichtsmethoden wurden weltweit erfolgreich angewendet, so daß es keinen Grund gibt, daran zu zweifeln, daß ein solcher kreativitätsfördernder Mathematikunterricht nicht auch bei einem großen Teil aller Schüler eingesetzt werden kann, um ihre Gewandtheit und Flexibilität im Hinblick auf Darstellung und Strategien sowie ihr Interesse an neuartigen Aufgaben, Lösungsmethoden oder Lösungen zu fördern.
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On the role of creative
thinking in problem solving
Shuk-kwan S. Leung, Chiayi (Taiwan)
This paper addresses the relationship between creative thinking and problem posing as well as problem posing tasks in mathematics domains. Empirical studies were conducted to investigate on relationships and on tasks. Results of a study on arithmetic problem posing and its replication suggested that fluency is general in verbal creativity and problem posing. Further investigations into general mathematical problem posing were also carried out, having each of ninety-six elementary school children of Taiwan completing 18 problem posing test items in the Test on General Problem Posing. Results suggested that a general, rather than specific, problem posing competence exists in children and can be measured by the test.
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Über die Rolle des kreativen Denkens beim Aufgabenerfinden. In dem Beitrag geht es um die Beziehung zwischen kreativem Denken und dem Aufgabenerfinden sowie Aufgaben zum Erfinden von Problemen in Mathematik. Dazu gibt es empirische Untersuchungen. Die Ergebnisse einer Untersuchung über das Erfinden arithmetischer Probleme und ihre Reproduktion legen nahe, daß Gewandtheit eine allgemeine, und Flexibilität eine spezifische Fähigkeit ist. Weitere Untersuchungen zum Erfinden mathematischer Probleme mit je 96 Grundschulkindern aus Taiwan, die 18 Testaufgaben des "Tests zum Erfinden allgemeiner Probleme'' zu bearbeiten hatten, wurden durchgeführt. Den Ergebnissen nach zu schließen scheinen Kinder eher eine allgemeine statt eine spezifische Fähigkeit zum Erfinden von Problemen zu besitzen, die durch den Test gemessen werden kann.
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The methods of fostering creativity through mathematical
problem solving
Yoshihiko Hashimoto, Tokyo (Japan)
Which methods could be used to foster mathematical creativity in school situations? The following topics are treated with respect to this question: 1. "Open-ended approach" and "From problem to problem", 2. Relation to mathematical creatvity, 3. Teacher's belief and the mathematics textbook.
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Methoden, Kreativität durch mathematisches Problemlösen zu fördern. Welche Methoden gibt es, mathematische Kreativität in der Schule zu fördern? Im Hinblick auf diese Frage werden folgende Punkte angesprochen: 1. Methode "Offener Zugang'' und "Vom Problem zum Problem'', 2. Beziehung zur mathematischen Kreativität, 3. Lehrereinstellung und Mathematikschulbuch.
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Acting artist-like in the classroom - Modern rational
technological world comes to life through the creativity arising from the
artistic paradigm of acting
Hartmut Köhler, Stuttgart (Germany)
Mathematics education, in spite of all attempts to change it, has generally remained rigid instruction to use formulas in a technical way. The paper claims revitalizing mathematics lessons by artist-like (mathematical!) activities. It incorporates aspects of developmental psychology as well as social demands, pedagogical principles as well as practical problems of everyday classes. Examples highlight the artistic paradigm giving creativity a real chance in mathematics education. Thus the personality of the pupil as well as demands of modern rapidly changing technically dominated societies are adequately respected.
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Künstlerisch Handeln im Mathematikunterricht -- die zweckrationale Welt lebt
aus der Kreativität des künstlerischen Handlungsparadigmas. Allen Änderungsbemühungen
zum Trotz, ist der Mathematikunterricht nach wie vor zu stark durch das
Antrainieren eines technischen Umgangs mit Formeln gekennzeichnet. Bibliotheken
voller Abhandlungen, die Wichtigkeit von Verständnis, Intensität, aktiv
entdeckendem Lernen, Bedeutungshaltigkeit, Schülerorientierung usw.
hervorheben, haben die Praxis zu wenig verändert. Im besten Fall lernen einige
Schüler einen Apparat zu handhaben. (Wie einen Bulldozer. Und später bedienen
sie ihn und walzen die Landschaft platt ohne zu merken, was sie da letztlich
tun. -- Wie Bengt Molander es formulierte.)
Die Bulldozer-Metapher weist auf einen wesentlichen Irrtum hin. Unser Leben wird
zwar inzwischen fast ausschließlich durch das zweckrationale Handlungsparadigma
bestimmt, doch ist es ein entscheidender methodischer Fehler, dieses
Handlungsmuster auch in die Pädagogik zu übernehmen. Es fehlt ein Bewußtsein
vom Unterschied zwischen der Logik eines Handlungsfeldes und der Weise des
(verantwortungsbewußten) Zuganges zu diesem Handlungsfeld sowie der Logik
seiner Entwicklung. Der Zugang öffnet sich nur durch das Verständnis von
Methoden und Handlungsweisen dieses Feldes und seiner Umgebung, er ist ein
konstruktives, ja kreatives Geschehen.
Der Beitrag fordert die Belebung des Mathematikunterrichtes durch künstlerisches
(mathematisches!) Handeln. Er umgreift Aspekte der Entwicklungspsychologie wie
auch soziale Forderungen, pädagogische Prinzipien wie praktische Probleme des täglichen
Unterrichts. Beispiele verdeutlichen, daß mit dem künstlerischen
Handlungsparadigma Kreativität eine Chance im Mathematikunterricht erhält, der
dadurch sowohl der Person des Schülers als auch Forderungen der modernen, sich
beschleunigt verändernden technisch dominierten Welt gerecht wird.
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An experiment to discover mathematical talent
in a primary school in Kampong Air
Teh Pick Ching, Brunei Darussalam
It is often said that many pupils have hidden talent in mathematics. This hidden ability is rarely seen in a normal class-room teaching and learning situation if the focus of the teacher is on drilling with routine exercises. To allow pupils to display their mathematical talent and to break from mental set and fixation in mathematics, they must be given opportunity to think by themselves with minimum cue or guidance. The pupils could be left entirely on their own to show their mathematical creativity even on mathematical topics which have not been exposed to them. With this approach, five non-routine questions were administered one at a time to a standard 5 class. One out of the 25 pupils in the class consistently exhibited mathematical creativity and talent in answering the questions. Her responses are shown and discussed in this paper.
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Ein Experiment, um mathematisches Talent bei Grundschülern in Kampong Air zu entdecken. Oft wird gesagt, daß viele Schüler verstecktes mathematisches Talent besitzen. Diese verborgene Fähigkeit kann kaum in einem normalen Unterricht und in normalen Lernsituationen erkannt werden, in denen der Lehrer überwiegend das Einüben von Routineaufgaben praktiziert. Damit Schüler ihre mathematische Begabung entfalten und mit mathematischer Fixierung brechen können, muß ihnen die Gelegenheit zum Selberdenken gegeben werden bei einem Minimum an Hilfestellung. Schüler könnten ganz allein gelassen werden, um ihre mathematische Fähigkeit selbst bei ihnen noch unbekannten mathematischen Themen zu zeigen. Nach dieser Methode wurde in einer ganz normalen Klasse jeweils eine von fünf Nicht-Routine-Aufgaben gestellt. Die Antworten einer von 25 SchülerInnen der Klasse, die konsistent mathematische Kreativität und Talent bei der Beantwortung der Fragen zeigte, werden vorgestellt und diskutiert.
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In memoriam Bent Christiansen
Hans-Georg Steiner, Bielefeld (Germany)
Das Wirken des 1996 verstorbenen Mathematikdidaktikers Bent Christiansen wird umrissen.
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In memoriam Bent Christiansen. The activities and contributions to didactics of mathematics of the mathematics educator Bent Christiansen, who died in 1996, are outlined.
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