нестареющее

начало (ч.0–4)
начало (ч.5–9)

10. Долой все тривиальное и несущественное. Бывает так, что утверждение, очевидное настолько, что об этом и говорить не стоит, формулируется в плохой фразе, которая задерживает внимание, запутывает и смущает. Я имею в виду что-нибудь такое: «Пусть R - коммутативное полупростое кольцо с единицей и пусть x, y Î R; тогда х² – у² = (х – y)(х + y)». Бдительный читатель начнет себя спрашивать, какое значение полупростота и единица имеют для того факта, который он всегда считал очевидным. Не относящиеся к делу предположения, бессмысленно втиснутые в текст, неверный акцент или даже отсутствие правильного акцента могут разрушить все изложение.

Отвлекающие и ненужные предположения служат причиной лишней траты читательского времени; почти столько же времени отнимает автор, не завоевавший доверия читателя явным упоминанием тривиальных случаев, или, если нужно, исключением их. Всякое комплексное число является произведением некоторого неотрицательного числа и некоторого числа с модулем 1. Это верно, но читатель будет себя чувствовать неуверенно, если сразу после сказанного (быть может, ему напоминали это по какому-нибудь поводу, перед введением очередного обобщения) ему не сообщили ничего о сомнительном поведении нуля (тривиальный случай). Дело не в том, что отказ от отдельного разбора тривиальных случаев может иногда составлять математическую ошибку; я не говорю здесь: «Не делайте ошибок». Дело в том, что отстаивание формально правильных, но недостаточно подробных объяснений («Утверждение верно в приведенной формулировке — чего вы еще хотите?») приводит к искаженному, плохому изложению, плохому в психологическом отношении. Оно может быть плохим и с точки зрения математики. Если, например, автор собирается обсуждать теорему о том, что, при соответствующих условиях, каждое линейное преобразование является произведением растяжений и вращения, но обходит молчанием случай нуля на одномерном пространстве, то у читателя складывается неверное представление о поведении вырожденных линейных преобразований в общем случае.

Здесь, пожалуй, уместнее всего сказать несколько слов о формулировках теорем: именно в них, более, чем где бы то ни было, необходимо избегать не относящихся к делу деталей.

Первый вопрос по этому поводу: когда формулировать теорему? Мой ответ: сразу. Избегайте праздных бесед бог весть о чем, в конце которых внезапно объявляется: «Итак, мы доказали, что…». Читатель будет гораздо внимательнее к доказательству, когда он знает, чтó вы доказываете; ему будет яснее, где используются предпосылки, если он знает их. (Праздный подход часто приводит к теоремам, повисающим в воздухе, что, по-моему, безобразно. Я имею в виду такие пассажи: «Итак, мы доказали

Т е о р е м у 2. …».

Такой перепад разрубает фразу; после того как читатель соберется с мыслями и сообразит, какую шутку с ним сыграли, этот прием произведет нежелательное отделение утверждения теоремы от ее формулировки.)

Я не хочу сказать этим, что теорема должна появляться без вводных замечаний, предварительных определений и вспомогательных мотивировок. Все это идет сначала; потом — формулировка, и, наконец, доказательство. Формулировка теоремы должна состоять, по возможности, из одной фразы: простой импликации, или, если некоторые общие предпосылки были сформулированы заранее и остаются в силе, — простого утверждения. Разговоры вроде: «Без нарушения общности мы можем предположить…» или «Более того, из теоремы 1 следует…» оставляйте за пределами формулировки.

В идеале утверждение теоремы — это не просто одна фраза, а фраза короткая. Теоремы, формулировки которых занимают почти всю страницу (или еще больше!), трудно воспринимать, труднее, чем следует. Они показывают, что автор не продумал материал, и не организовал его. Список из восьми предпосылок (даже если они аккуратно сформулированы) и список из шести утверждений — это не теорема: это — плохо изложенная теория. Все ли предпосылки нужны для каждого утверждения? Если ответ отрицателен, то очевидно, что формулировка плоха; если же ответ положителен, то, вероятно, предпосылки описывают некое общее понятие, которое заслуживает быть выделенным, специально названным и изученным.

11. Повторяйтесь и не повторяйтесь. Одно важное правило хорошего математического стиля требует повторений, а другое — требует избегать их.

Под повторением в первом правиле я подразумеваю не произнесение одной и той же вещи несколько раз с помощью разных слов. Я имею ввиду дословное повторение фразы или даже нескольких фраз в изложении такого точного предмета, как математика, с той целью, чтобы подчеркнуть небольшие изменения в соседнем предложении. Если вы что-то определили, сформулировали или доказали в главе 1, а в главе 2 хотите заняться параллельной или более общей теорией, то вы очень поможете читателю, повторяя те же слова и в том же порядке, пока это возможно; только после этого, под приличествующий барабанный бой, введите новшество. Барабанный бой необходим. Недостаточно перечислить шесть прилагательных в одном предложении, а в другом просто повторить пять из них, слегка ослабив шестое. Сверх этого нужно еще сказать: «Обратите внимание на то, что первые пять условий в определениях p и q одинаковы; различие между p и q заключено в ослаблении шестого условия».

Зачастую для того, чтобы поступить так в главе 2, вам придется вернуться к главе 1 и переписать в ней то, что вам казалось написанным уже достаточно хорошо, — на этот раз для подчеркивания параллелизма с соответствующей частью главы 2. Это, кстати, другая иллюстрация неизбежности спирального плана при сочинении, и другой аспект организации материала.

В предыдущих абзацах описывалась важная разновидность математического повторения — полезная; вот две другие — вредные.

Одна из причин, по которой повторение часто рассматривается как прием эффективного обучения, заключается в следующем: предполагается, что чем чаще вы повторяете одно и то же, тем более вероятно, что вы втолкуете сим материал. Я не согласен. Когда вы что-нибудь повторяете во второй раз, даже самый тупой читатель смутно припомнит, что ведь был и первый раз, и начнет спрашивать себя, то ли это самое, что уже было, или только похожее. (Тут может помочь фраза вроде: «Сейчас я говорю в точности то же самое, что впервые сказал на стр. 3».) Если хоть тень такого недоумения появляется, это плохо. Все то плохо, что без необходимости настораживает, развлекает по пустякам или каким-нибудь другим способом отвлекает внимание. (Нечаянные двусмысленности — проклятие многих авторов.) Кроме того, хорошая организация материала и, в частности, спиральный план, о котором речь шла выше, заменяют повторения гораздо эффективнее.

Вторая разновидность вредных повторений описана в короткой и лишь отчасти неточной заповеди: никогда не повторяйте доказательство. Если некоторые шаги в доказательстве теоремы 2 очень похожи на некоторые части доказательства теоремы 1, то это сигнал недопонимания. Вот другие симптомы этой болезни: «С помощью той же техники (того же метода, приема), которая применялась (или который использовался) в доказательстве теоремы 1…»; еще хуже: «См. доказательство теоремы 1». Когда случается такая вещь, то очень может быть, что на самом деле существует лемма, из которой с большой легкостью и ясностью выводятся обе теоремы; такую лемму стоит поискать, сформулировать и доказать.

12. Книжное «мы» не всегда плохо. Начинающих авторов часто беспокоит выбор между «я», «мы» и безличными формулировками. В случаях, подобных этому, здравый смысл важнее всего. По причинам целесообразности я выскажу здесь свои рекомендации.

Поскольку лучший стиль — наименее навязчивый, я склоняюсь к нейтральным оборотам. Но это не означает, что нужно один из них использовать чаще других или, того хуже, всегда. (Фразы типа: «итак, установлено, что…» ужасны.) Это означает полное отсутствие личных местоимений первого лица как в единственном, так и во множественном числе. «Так как имеет место р, q также справедливо…». «Из этого следует p». «Применение p к q дает r». Почти все (все?) математические сочинения — информативны (или должны быть такими?); простые повествовательные предложения — лучшее средство для сообщения фактов.

Иногда эффективно и желательно использование повелительного наклонения. «Чтобы найти р, умножьте q на r». «При данном р приравняйте q и r». (Два отступления по поводу «Дано». (1) Не употребляйте это слово, когда оно ничего не обозначает. Например: «Для любого данного р существует q». (2) Помните, что оно происходит от активного глагола и не любит болтаться просто так. Пример: не «если дано p, то существует q», а «для данного p найдем q».)

Нет ничего худого в книжном «мы», но, если оно вам нравится, пользуйтесь им правильно. Пусть «мы» означает «автор и читатель» (или «лектор и аудитория»). Вы можете благополучно сказать «Используя лемму 2, мы можем обобщить теорему 1» или «Лемма 3 дает нам технику доказательства теоремы 4». Но не годятся утверждения вроде: «Мы получили этот результат в 1969 году» (если только это не будет голосом двух или более авторов, говорящих в унисон), или «Мы благодарим нашу жену за помощь при перепечатке рукописи».

Местоимение «я» и, особенно, его неизменное повторение, порой производит отталкивающий эффект, как высокомерие или проповеднический тон; по этой причине я стараюсь избегать его, где только возможно. В коротких заметках, в личных замечаниях, или в очерках вроде этого оно на своем месте.

13. Правильно используйте слова. Единицы информации, в порядке убывания, таковы: тема, глава, абзац, фраза, слово. Раздел о местоимениях был посвящен словам, хотя, в несколько более строгом смысле, он содержал рекомендации о стратегии стиля. Мой следующий совет, как он звучит в заголовке, не следует понимать прямолинейно; само собой разумеется, что слова надо использовать правильно. Но вот что я хочу подчеркнуть: следует тщательно обдумывать и точно дозировать слова, взывающие к здравому смыслу и интуиции, с одной стороны, и специальные математические слова (технические термины), — с другой. Это может глубоко влиять на математический смысл.

Общее правило: корректно пользуйтесь терминами логики и математики. Я не призываю к педантизму и не предлагаю размножать технические термины для понятий, на волосок отличающихся друг от друга. Наоборот, я имею в виду мастерство настолько тонкое, чтобы оно не бросалось в глаза.

Вот пример: «Доказать, что какое-то (any) комплексное число является произведением некоторого неотрицательного числа и числа с модулем 1». У меня были студенты, которые доказывали это так: «–4i — комплексное число; оно является произведением неотрицательного числа 4 и числа –i, имеющего модуль 1; это и требовалось доказать». Дело в том, что в разговорном английском языке слово «any» — двусмысленное; в зависимости от контекста оно может отвечать либо квантору существования либо квантору общности. Вывод: никогда не используйте слово «any» в математических сочинениях. Заменяйте его на «every» или на «each» или переделывайте фразу.

Вот один способ переделать фразу предыдущего абзаца, данную в качестве примера: условиться, что все «отдельные переменные» пробегают множество комплексных чисел, а потом написать нечто вроде такого выражения:

«z $p $u [(p = |p|) Ù (|u| = 1) Ù (z = pu)].

Я настоятельно советую не делать этого. Символика формальной логики необходима в обсуждении логики и математики, однако в качестве средства сообщения идей от одного смертного к другому она превращается в громоздкий шифр. Автор должен сначала перекодировать свою мысль (я отрицаю, что кто бы то ни было мыслит в терминах $, », Ù и т.п.), а затем читатель вынужден расшифровать написанное автором; оба шага приводят к растрате времени и затрудняют понимание. Символическая запись, все равно, в стиле современного логика или классического эпсилониста, — это текст, который могут писать машины, и едва ли кто-нибудь, кроме машин, может этот текст читать.

О слове «any» достаточно. А вот — другие нарушители, которые, правда, обвиняются в меньших преступлениях: «где», «эквивалентно», «если… то… если… то». «Где» — обычно знак того, что автор нехотя подумал о том, о чем должен был подумать заранее. «Если n достаточно велико, то |а_n|<e, где e — любое наперед заданное положительное число»; болезнь и лечение от нее ясны. Слово «эквивалентный» для теорем — логическая бессмыслица. (Под теоремой я подразумеваю математическую истину, нечто доказанное. Осмысленное утверждение может быть неверным, но теорема быть неверной не может: «неверная теорема» — внутренне противоречивый термин.) Какой смысл говорить, что полнота пространства L² эквивалентна теореме о представлении линейных функционалов на L²? Имеется в виду, что доказательства обеих теорем — средние по трудности, и если одна из них (любая) уже доказана, то другую можно доказать с относительно меньшими усилиями. Логически точное слово «эквивалентный» здесь не годится. Оборот «если… то… если… то» представляет собой стилистический прием, часто употребляемый скорыми авторами и огорчающий медлительных читателей. «Если справедливо р, то если имеет место q, то выполняется r». Логически тут все в порядке (р Þ (q Þ r)), но психологически на этом месте непременно споткнешься. Обычно нужно только переделать фразу; однако, универсального способа переделать ее нет. Все зависит от того, что важнее в данном конкретном случае. Можно так: «если p и q, то r»; или «при условии p из предположения q следует вывод r»; есть и многие другие варианты.

14. Правильно пользуйтесь техническими терминами. До сих пор речь шла, по существу, о логических аспектах стиля в математике. Теперь я хочу показать, что такое ненавязчивая точность языка в повседневной работе математика на трех примерах: функции, последовательности и включения.

Я принадлежу к школе, для которой функции и их значения — настолько разные вещи, что это различие должно соблюдаться. Не надо суетиться, по крайней мере на людях; просто старайтесь не произносить слова типа «функция z² + 1 — четная». Формулировка «функция f, определенная равенством f(z) = z² + 1 — четная», или, что предпочтительнее с многих точек зрения, «функция z ® z² + 1 — четная» немногим длиннее, но хорошая привычка к ней порой спасает читателя и автора от грубых заблуждений и всегда делает изложение более гладким.

«Последовательность» — это функция, область определения которой является множеством натуральных чисел. Когда какой-нибудь автор пишет «объединение последовательности измеримых множеств измеримо», он отвлекает внимание читателя на ложный путь. В этой теореме совершенно неважно, что первое множество является первым, второе — вторым и т.д.; слово последовательность не относится к делу. Правильная формулировка такова: «объединение счетного множества измеримых множеств измеримо» (или, если нужно иначе поставить акцент, — «объединение счетного бесконечного множества измеримых множеств измеримо»). Теорема о том, что «предел последовательности измеримых функций измерим» — совсем другое дело; здесь слово «последовательность» на месте. Если читатель знает, что такое последовательность, если у него это понятие в крови, то неправильное употребление этого слова будет его отвлекать и замедлять чтение, пусть совсем не намного. Если же читатель на самом деле не знает этого понятия, то неправильное его употребление серьезно отсрочит окончательное понимание.

Слова «содержать» и «включать» — почти всегда употребляются как синонимы, и часто теми же самыми людьми, которые старательно учат своих студентов, что символы Î и Ì — это вовсе не одно и то же. Совершенно не правдоподобно, что использование этих слов вперемешку приведет к недоразумению. Тем не менее, несколько лет назад я начал эксперимент, который продолжаю и теперь: я систематически устно и письменно использовал глагол «содержать» для Î и «включать» — для Ì. Едва ли я что-нибудь доказал этим, но могу сообщить, что (а) это очень легко; (б) вреда от этого — никакого; (в) думаю, что никто ни разу этого не заметил. Полагаю, хотя, по-видимому, это и недоказуемо, что такого сорта терминологическое постоянство (без суетливости) могло бы тем не менее сделать жизнь читателя (и слушателя) удобнее.

Постоянство, между прочим, — великое достоинство изложения, а непостоянство — смертный грех. Постоянство важно в языке, обозначениях, ссылках, разметке шрифтов — оно важно всюду, а его отсутствие может вызвать все, что угодно, начиная с легкого раздражения и кончая полной дезинформацией.

Мои советы об использовании слов можно резюмировать так. (1) Избегайте технических терминов, где только можно, и особенно старайтесь не сочинять новых. (2) Крепко подумайте над новыми терминами, если уж без них не обойтись. Справьтесь по словарю Роже и выберите их как можно удачнее. (3) Употребляйте старые термины правильно и всегда в одном и том же смысле, но без излишнего педантизма.

15. Воздерживайтесь от обозначений. Все сказанное об употреблении слов с соответствующими изменениями и оговорками применимо к еще более мелкой единице математического сочинения — к математическим символам. Лучшее обозначение — отсутствие обозначений. Где только возможно, избегайте громоздкого алфавитного аппарата. Хорошо готовить письменное математическое сообщение, представляя себе, что оно — устное. Вообразите, будто бы рассказываете все другу на какой-нибудь долгой лесной прогулке и у вас нет бумаги. Прибегайте к обозначениям только тогда, когда это необходимо.

Вот следствие из принципа «чем меньше обозначений, тем лучше их система»: не вводите ненужных букв, точно так же, как ненужных предложений. Пример: «На компактном пространстве всякая вещественнозначная непрерывная функция f ограничена». Зачем здесь f? Разве утверждение от этого становится яснее? Другой пример: «Если 0 £ lim a_n^1/n = r < 1, то lim a_n = 0». Зачем тут r? Ответ одинаков в обоих случаях (незачем), но причины присутствия лишних букв могут быть различны. В первом случае f может появиться в результате дурной привычки; во втором случае r, возможно, подготавливает доказательство. От дурной привычки можно отвыкнуть. С другим излишеством труднее, потому что здесь автор должен поработать. Без r в формулировке доказательство станет на полстрочки длиннее; его нужно будет начать как-нибудь так: «Положим r = lim a_n^1/n». Повторение (символа lim a_n^1/n) в этом случае целесообразно: и формулировка и доказательство читаются так легче и становятся естественнее.

Эффективная формулировка принципа «не используйте ненужных букв» такова: «Не используйте ни одну букву однократно». Логики сказали бы это так: «Не оставляйте свободных переменных». В приведенном выше примере о непрерывных функциях символ f является свободной переменной. Лучший способ исключить это f — опустить его. Иногда предпочтительнее превратить f из свободной переменной в связанную. Большинство математиков сделало бы это так: «Пусть f — вещественнозначная непрерывная функция на компактном пространстве; тогда f ограничена». Некоторые логики станут, вероятно, настаивать на том, что f — по-прежнему свободная переменная в новой фразе (дважды свободная) и, с технической точки зрения, они будут правы. Чтобы сделать f связанной переменной, необходимо в каком-нибудь грамматически подходящем месте вставить оборот «для всех f», но в математике общепринято молчаливое соглашение, по которому всякой фразе предшествуют все кванторы общности, нужные для обращения всех свободных переменных в связанные.

Правило «никогда не оставлять в предложении свободные переменные», как и многие другие правила, сформулированные мной, иногда лучше нарушать, чем соблюдать. В конце концов, фраза — это условная единица изложения и если вам хочется оставить висеть в ней свободную переменную f, чтобы позднее, скажем, в этом же абзаце, этой f воспользоваться, то не думаю, что вас обязательно нужно гнать из авторского полка. Тем не менее, это — здоровый принцип, он гибок, но бить его вдребезги не следует.

Существуют и другие логические тонкости, способные остановить, или, в лучшем случае, задержать читателя, если с ними небрежно обращаться. Предположим, например, что в каком-то пункте вы написали

(*)

ò

| f (x)| 2 dx < ¥

как некоторую, скажем, теорему о фиксированной функции f. Если позже вы столкнетесь с другой функцией g, которая тоже обладает этим свойством, то воспротивьтесь желанию сказать: «g также удовлетворяет (*)». Ведь это — бессмыслица с точки зрения и логики и обозначений. Вместо этого скажите «условие (*) остается верным, если заменить f на g» или, что еще лучше, назовите как-нибудь свойство (*) (в данном случае общепринятое название уже есть) и говорите так: «g тоже принадлежит пространству L²(0,1)».

Что можно сказать о выражениях типа «неравенство (*)», «уравнение (7)» или «формула (iii)»? Следует ли отмечать либо нумеровать все, что вынесено между строк? Мой ответ: нет. Причина: бесполезные ярлычки не нужны так же, как излишние предпосылки или никчемные обозначения. Небольшая часть внимания отвлекается на этот значок и уголком мозга читатель станет думать, к чему бы это. Если номер и вправду нужен, то внимание читателя будет незаметно подготовлено к будущей ссылке на эту же идею, но если ни к чему, то внимание и ожидание пропали впустую.

Итак, пользоваться ярлычками следует скупо, но не впадайте в крайность. Я не советую поступать так, как однажды поступил Диксон [2]. На стр. 89 он говорит: «Затем… мы получаем (1)» — а ведь на стр. 89 начинается новая глава и там вообще нет ни одной выделенной формулы, тем более с номером (1). Оказывается, ссылка (1) находится на стр. 90, на обороте, а мне бы и в голову не пришло искать ее там. Минут пять я был в шоке после этой шутки; когда же, наконец, я увидел свет, то почувствовал себя околпаченным и замороченным, и уже никогда не простил этого Диксону.

Громоздкие обозначения часто возникают при проведении индукции. Порой это неизбежно. Однако чаще достаточно объяснить переход от 1 к 2 и заключить воздушным «и так далее». Это не проигрывает в строгости подробным вычислениям, зато гораздо понятнее и убедительнее. Точно так же какое-нибудь общее утверждение об (n×n)-матрицах часто лучше всего доказывается не подробным выписыванием всевозможных символов a_ij с многоточиями, расположенными горизонтально, вертикально и по диагонали, а рассмотрением типичного частного случая (скажем 3×3).

Во всех моих рассуждениях о вреде обозначений есть своя логика. Дело в том, что для глупой вычислительной машины существует лишь одно строгое понятие математического доказательства. Для человеческого же существа, одаренного геометрической интуицией, ежедневно растущим опытом, нетерпением и неспособностью сосредоточиться на надоедливых деталях, это не годится. Еще одним примером тому может служить любое доказательство, состоящее из цепи выражений, соединенных знаками равенства. Такое доказательство легко написать. Автор начинает с первого равенства, совершает естественную подстановку, чтобы получить второе, группирует, переставляет, вносит и тут же вдохновенно сокращает множители и так продолжает до тех пор, пока не получит последнее равенство. Это — опять-таки разновидность кодирования, и читателю приходится одновременно расшифровывать и учиться по ходу дела. Такое удвоение работы бессмысленно. Если автор потратит лишние десять минут и напишет абзац тщательно обдуманных слов, он сбережет полчаса времени каждого из читателей и избавит их от лишних недоумении. Такой абзац должен представлять собой руководство к действиям, заменив бесполезный шифр, который лишь сообщает результаты действий и оставляет читателю гадать, как они получились. Руководство должно быть примерно таким: «Для доказательства подставим p вместо q, затем сгруппируем члены, переставим множители и, наконец, умножим и разделим на множитель r».

Известный прием плохого обучения — начинать доказательство со слов: «Для данного e положим d равным (e/(3M² + 2))^½». Это — восходящий к традициям классического анализа способ писать доказательство от конца к началу. Его преимущество в том, что его легко проверить машине (но трудно понять человеку). Еще одно сомнительное преимущество этого же способа состоит в том, что в самом конце нечто оказывается меньше e, а не, скажем, (e(3M² + 7)/24)^½. Как облегчить в данном случае жизнь читателю, очевидно: напишите доказательство от начала к концу. Начните, как всегда начинают авторы, фиксировав нечто меньшее, чем e, а потом делайте все, что нужно делать — когда нужно, умножайте на ЗM² + 7, потом — делите на 24 и т.д. и т.д. — пока не выйдет то, что выйдет. Ни одно из расположений материала не отличается изяществом, но второй способ по крайней мере легче схватывается и запоминается.