Чой С., Ли Дж.
Максимальные трубки при деформациях трехмерных гиперболических конических многообразий

Используя деформации гиперболических конических многообразий, Ходжсон и Керкгоф показали, что мощность множества трехмерных многообразий, полученных хирургиями Дена на гиперболических узлах и не допускающих гиперболическую структуру, конечна. Они поставили следующий вопрос: «Убывает ли квадрат длины меридиана, нормированный площадью, максимальной трубчатой окрестности сингулярного множества конического многообразия при изменении конических углов и возрастает ли, если к нему добавить квадрат конического угла?» В работе дан положительный ответ на этот вопрос в окрестности нулевых конических углов для бесконечного семейства гиперболических конических многообразий, полученных хирургиями Дена вдоль дополнений к зацеплению Уайтхеда. Основной используемый метод опирается на явные вычисления групп голономий с помощью A-полиномов и максимальных трубок. Один из ключевых инструментов — разложение в ряд Тейлора геометрической компоненты множества нулей A-полинома в терминах конических углов. Также показано, что последовательность данных разложений в ряд Тейлора для многообразий, полученных хирургиями Дена, сходится к разложению для предельного гиперболического многообразия.

Choi S., Lee J.
Maximal tubes under the deformations of 3-dimensional hyperbolic cone-manifolds

Hodgson and Kerckhoff found a small bound on Dehn surgered 3-manifolds from hyperbolic knots not admitting hyperbolic structures using deformations of hyperbolic cone-manifolds. They asked whether the area normalized meridian length squared of maximal tubular neighborhoods of the singular locus of the cone-manifold is decreasing and that summed with the cone-angle squared is increasing as we deform the cone-angles. We confirm this near 0 cone-angles for an infinite family of hyperbolic cone-manifolds obtained by Dehn surgeries along the Whitehead link complements. The basic method rests on explicit holonomy computations using the A-polynomials and finding the maximal tubes. One of the key tools is the Taylor expansion of a geometric component of the zero set of the A-polynomial in terms of the cone-angles. We also show that a sequence of Taylor expansions for Dehn surgered manifolds converges to 1 for the limit hyperbolic manifold.

Полный текст статьи / Full texts:

• PDF file (375 KB)
• PostScript file (1,2 MB)