Егоров А. А., Коробков М. В.
Устойчивость классов липшицевых отображений, теорема Дарбу и квазивыпуклые множества
Egorov A. A., Korobkov M. V.
Stability of classes of Lipschitz mappings, the Darboux theorem, and quasiconvex sets

В работе доказан следующий результат. Пусть для компакта $G$ пространства $L(\Bbb R^n,\Bbb R^m)$ линейных отображений из $\Bbb R^n$ в $\Bbb R^m$ имеет место представление $$ G=\bigcap\limits_{\alpha\in A} \bigcup\limits_{i=1}^{k_\alpha}G_i^\alpha, $$ где $G^\alpha_i$ --- квазивыпуклые компактные множества, причем $G^\alpha_i\cap G\cap G^\alpha_j=\emptyset$ для всех $\alpha\in A$ и любой пары индексов $i\ne j$. Тогда класс всевозможных локально липшицевых отображений $g:\Delta\to\Bbb R^m$ областей $\Delta\subset\Bbb R^n$, для каждого из которых при любом $\alpha\in A$ найдется номер $i\in\{1,\hdots,k_\alpha\}$ такой, что $$ g'(x)\in G_i^\alpha\text{ для почти всех }x\in\dom g, $$ является $\omega$-устойчивым по А. П. Копылову. Отсюда, в частности, вытекает, что $\omega$-устойчивыми являются класс $I_n$ изометрических отображений (как сохраняющих, так и меняющих ориентацию), а также класс аффинных отображений, производные которых лежат в объединении $G=SO(n)a_1\cup\hdots\cup SO(n)a_k$, $\det a_i\ne0$, $SO(n)a_i\cap SO(n)a_j=\emptyset$ при $i\ne j$. С целью геометрического описания найденных $\omega$-устойчивых классов отображений в статье введено понятие $qc$-связности множеств в пространстве линейных отображений. Это понятие находит также важное применение в классическом дифференциальном исчислении. А именно установлено, что если дифференцируемое отображение $f:\Delta\to\Bbb R^m$ области $\Delta\subset\Bbb R^n$ локально удовлетворяет условию Липшица, то образ $\Im f'$ производной $f$ является $qc$-связным множеством.

Полный текст статьи / Full texts:

• PDF file (479 KB)
• PostScript file (918 KB)