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Singularités franco-japonaises
Jean-Paul Brasselet - Tatsuo Suwa (Éd.)
Séminaires et Congrès 10 (2005), xxxii+460 pages

Construction d'hypersurfaces affines à cohomologie d'intersection prescrite
Patrick Polo
Séminaires et Congrès 10 (2005), 255-264
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Résumé :
Soit $\rho (q) = a_1 q +\cdots + a_d q^d$ un polynôme de degré d, à coefficients entiers positifs ou nuls, et sans terme constant. On pose $a = \rho (1)$ et N = 2d +a. On exhibe une hypersurface quasi-homogène $V_\rho \subset { \mathbb C}^{N+1}$ dont le m-ième nombre de Betti, pour la cohomologie d'intersection, est a_i si m = 2i, et sinon. Explicitement, soient $x_1,y_1,\dots ,x_d,y_d$, $z_0,z_1,\dots ,z_a$ des indéterminées et, pour $s = 1,\dots ,d$, soit $\pi _s$ le produit des z_i, pour $1\leq i\leq a_1+\cdots +a_s$. Alors $V_\rho$ est définie par le polynôme $F_\rho = x_1 y_1 +\pi _1 x_2 y_2 +\cdots +\pi _{d-1}x_d y_d +\pi _d z_0$. Ceci est conséquence d'un travail antérieur de l'auteur, concernant les variétés de Schubert.

Mots clefs : Cohomologie d'intersection, hypersurfaces, variétés de Schubert, polynômes de Kazhdan-Lusztig

Abstract:
Construction of affine hypersurfaces with prescribed intersection cohomology
Let $\rho (q) = a_1 q +\cdots + a_d q^d$ be a polynomial of degree d, with non-negative integral coefficients and without constant term. Let $a = \rho (1)$ and N = 2d +a. We exhibit a quasi-homogeneous hypersurface $V_\rho \subset { \mathbb C}^{N+1}$ such that the m-th intersection cohomology Betti number of $V_\rho$ is a_i for m = 2i, and otherwise. Explicitly, let $x_1,y_1,\dots ,x_d,y_d$, $z_0,z_1,\dots ,z_a$ be indeterminates and, for $s = 1,\dots ,d$, let $\pi _s$ denote the product of the z_i, for $1\leq i\leq a_1+\cdots +a_s$. Then $V_\rho$ is defined by the polynomial $F_\rho = x_1 y_1 +\pi _1 x_2 y_2 +\cdots +\pi _{d-1}x_d y_d +\pi _d z_0$. This is a consequence of earlier work of the author about Schubert varieties.

Key words: Intersection cohomology, hypersurfaces, Schubert varieties, Kazhdan-Lusztig polynomials

Class. math. : 32S60, 14M15

ISBN : 2-85629-166-X
ISSN : 1285-2783