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Introduzione
Una delle più forti specificità del progetto culturale che ha dato vita alla sperimentazione, tuttora vigente nell'Istituto Statale d'Arte di Monza, è quella di considerare i saperi come linguaggi: il linguaggio logico, il linguaggio espressivo-comunicativo e la cultura del progetto. In tale contesto i vari ambiti disciplinari vengono considerati come aree dotate di strumenti specifici per indagare il mondo e sono caratterizzati dalle diversità degli approcci che ne derivano.

Il linguaggio logico vede affiancate discipline quali Le Matematiche, Teoria e Applicazioni della Geometria Descrittiva e Proiettiva, i Laboratori delle Arti Applicate, discipline apparentemente diverse ma straordinariamente unite da fili invisibili che si dispiegano lungo i confini di ciascuna di esse.

Nella mostra allestito in occasione del convegno internazional "Nexus 2000: Relationships Between Architecture and Mathematics", tenutosi dal 4 al 7 giugno 2000 a Ferrara, vengono esposti alcuni percorsi didattici eseguiti all'interno del linguaggio logico e in particolare nella struttura indicata con il nome di "Laboratorio dei modelli". Il laboratorio è il luogo dello studio, della ricerca, del pensare, dell'ideazione oltre che del fare; il luogo dove l'acquisizione e la trasmissione delle conoscenze costituisce un fondamentale metodo di crescita sia per gli studenti sia per i docenti; il luogo dove discipline non sempre considerate affini, possono incontrarsi e confrontarsi.

Il modello in tale contesto, viene inteso non solo nella sua completa accezione:

• il modello come rappresentazione e quindi prossimo all'oggetto: è il campo della riproduzione;
• il modello come descrizione che lega insieme forme e concetti: è il campo della sperimentazione;
• il modello come interpretazione prossimo, fondamentalmente, ai concetti: è il campo della progettazione.

L'oggetto di studio e di ricerca primaria è stata l'indagine nel campo delle forme; è proprio il particolare approccio allo studio della forma che accomuna le discipline del linguaggio logico: conoscere, classificare, saper distinguere, inventare famiglie di forme sulla base di proprietà matematiche che fungono da agenti morfogenetici. Le forme vengono poi analizzate e studiate in relazione alle reciproche funzioni, alla loro stabilità, alla possibile modellizzazione e questo fa sì che ogni linguaggio disciplinare, attraverso le proprie specificità, percorre questo cammino illuminando anche i percorsi contigui delle altre discipline e richiedendone gli apporti.

Il modello in tale ambito viene inteso nel suo significato più completo e descrive totalmente il percorso di studio e di ricerca che ciascuna disciplina esegue nelle diverse fasi della sua interpretazione, della sua descrizione e della sua realizzazione.

Il modello diventa sperimentale, euristico, a volte permette di simulare situazioni indagate attraverso percorsi che consentono di intravedere itinerari sempre nuovi ma, in quanto tali, ancora oscuri; in essi non è sempre facile individuare un cammino all'interno del quale avventurarsi con certezza.

I percorsi didattici analizzati costituiscono evidenti esempi del legame tra Matematica e Architettura e della connessione tra queste e tutte le altre discipline coinvolte quali fisica, chimica, scienze, storia dell'arte dell'architettura e del design, progettazione. E' il carattere multimediale dell'indagine a garantire un prodotto finale che non ha bisogno di traduzioni, di interpretazioni o di letture intermedie ma che porta in sé un messaggio che chiunque con il proprio linguaggio e con la propria conoscenza può facilmente cogliere e diffondere.

I materiali esposti
I lavori in mostra sono di natura e carattere eterogeneo, non sempre frutto della didattica curricolare, ma comunque "prodotto" del clima culturale della scuola, come ad esempio la Grande torre a tetraelica realizzata da due docenti in ambito extra scolastico ma che sta avendo una ricaduta in questo senso. Vi sono momenti di riflessione sulle forme geometriche pure, anche se con un occhio sempre rivolto alle loro valenze linguistiche, alle occasioni che esse sanno offrire al progetto.

Nella sala dedicata ai poliedri (Figura 1) vi è una serie di tavole corredate di testo, prodotte dalla classe quarta della sezione di beni culturali del Liceo Artistico di Busto Arsizio, che analizza con rigore e chiarezza il problema della classificazione delle famiglie di poliedri. Nella stessa sezione troviamo numerosi modelli di poliedri che trattano il problema della coniugazione tra queste forme ideali e il loro incontro con materiali e strategie costruttive diverse. Al culmine del percorso "puro" sui poliedri troviamo i politopi della quarta dimensione, non c'è il famoso ipercubo ma in compenso c'è un modello inedito di 120-cella(!) che con il suo affascinante intrico ci fa percepire lo sforzo di rappresentare la complessità.

Sono presenti anche due lavori individuali di studenti oramai usciti da qualche anno dalla scuola, ma nei quali è comunque riconoscibile lo spirito del nostro lavoro. Lavori di cui vediamo solo una parte, frutto entrambi di percorsi individuali poi proseguiti in altre forme. Il primo è un lavoro sul tetraedro che si svolge con una serie di tavole commentate e annotate che fanno intuire quali ricchezze si possano celare in questa "forma" intesa nel senso più vasto di questo termine. L'altro invece si rivolge al settore delle costruzioni leggere apparentemente più riferito al versante tecnologico del progetto. Si tratta di un giunto universale, per cupole geodetiche a doppio strato, capace di accogliere 12 aste orientabili nello spazio (Figura 2). Sono due momenti di grande ricchezza ideativa, due modi dell'infinita varietà di espressione del pensiero visivo.

Vi sono riflessioni ed analisi, svolte attraverso modelli, sull'opera di grandi architetti che hanno saputo misurarsi con la bellezza e la razionalità della geometria. Qui vediamo opere di Ledoux (Figura 3) e Le Courbusier (Figura 4), la scelta limitata è comunque rappresentativa.
Un filone che fa parte delle tradizioni della scuola è quello dell'attenzione verso l'opera di architetti-ingegneri quali Nervi, Musmeci, Torroja, Candela, Frei Otto, Le Ricolais, dei quali in questa mostra si avverte la presenza. In particolare qui troviamo diversi richiami al lavoro di Fuller: la tetraelica, la grande "sfera" Geoscope (Figura 5), i riferimenti ai geoidi e più in generale l'approccio interdisciplinare allo studio della forma. Infine si può osservare una serie di tavole e modelli dedicate al tema della tassellatura del piano. Il problema geometrico astratto è rappresentato ad esempio dalla scatola dei tasselli poligonali fatti con essenze di legno diverse, ove la innocente elencazione di forme produce un gioco di colori, spessori, finiture, riflessi che ha come regola la seduzione tattile.
Accanto a questi vi è la serie dei pavimenti italiani riprodotti a tarsia lignea, ove le direzioni visive impresse al piano dai disegni si offrono al dialogo con quelle dei volumi architettonici per cui sono stati concepiti.

Altri oggetti sparsi per la mostra, che non rientrano in uno dei percorsi descritti, riflettono comunque lo spirito e gli intenti da cui hanno tratto forma. La loro presenza, la cui valenza si esprime attraverso la bellezza della forma, indica nuovi ulteriori possibili percorsi di indagine.

E' evidente che la ricerca dell'armonia e della perfezione appartiene al patrimonio di discipline diverse ed è importante quando lo studio e la ricerca sono finalizzati a mettere insieme questi percorsi. Tale finalità è rintracciabile nella poetica e nel pensiero di studiosi e di artisti diversi. Ne citiamo due - lontani temporalmente ma tra loro vicinissimi e soprattutto attualissimi in tale contesto.
Il primo Leon Battista Alberti afferma che "La bellezza è accordo e armonia delle parti in relazione ad un determinato numero al quale esse sono legate secondo un determinato numero, delimitazione e collocazione, così come esige la legge fondamentale e più esatta della natura". D'altronde per Alberti il numerus è: numero come quantità, numero come qualità, numero come forma. Numero e forma sono strettamente associati; infatti il termine latino numerus - al quale Alberti si ispira - era utilizzato nel doppio significato sia di numero (arithmos) sia di forma (rhythmos). Lo stesso termine traduceva infatti gli altri due, "rhythmos e arithmos sono accumunati dal fatto di essere entrambi fattori delimitanti. Rhythmos delimitava lo spazio allo scopo di produrre la forma, arithmos delimitava l'infinito allo scopo di produrre una quantità specifica".
Il secondo Le Corbusier nel capitolo 3 dell'opera Le Modulor in diversi punti afferma:

Le matematiche sono l'edificio magistrale immaginato dall'uomo per la sua comprensione dell'universo...
L'architettura non è un fenomeno in sincronia, ma successivo, fatta di spettacoli che si aggiungono gli uni agli altri e si susseguono nel tempo e nello spazio, così come d'altronde fa la musica...
L'armonia regnando su tutte le cose, regolando le cose intorno alle nostre vite, è l'aspirazione spontanea, assidua e irrinunciabile dell'uomo ispirato da una forza: la forza divina, e incaricato di una missione: realizzare sulla terra il paradiso...

Lo spirito sul quale si basa il Laboratorio dei modelli si identifica particolarmente in queste due testimonianze.
E' molto importante pensare che la bellezza e l'armonia non sono necessariamente costrette in un ambito disciplinare ma fanno parte della cultura e del lavoro di tutti gli ambiti disciplinari che solo andando a convergere tutte - ciascuna con la propria specificità - nella stessa direzione riescono operativamente ad evidenziare sotto forme e tipologie differenti.

Presentiamo in modo più approfondito i seguenti percorsi:

Tassellature Piane
Pavimenti Italiani

Questo settore della mostra presenta un percorso didattico affrontato dagli studenti della classe 1B all'interno del Laboratorio del linguaggio logico, contemplato nel biennio dell'ISA. In tale Laboratorio convergono le discipline di Matematica, Geometria Descrittiva e il Laboratorio di Arti Applicate all'Ebanisteria. Il percorso ha previsto un'analisi sulle trasformazioni geometriche nel piano dal punto di vista matematico e la trattazione sintetica delle stesse, analizzate sia con schizzi che con tavole, fino al riconoscimento delle applicazioni e delle combinazioni di trasformazioni piane nell'architettura.
E' stato visto e commentato un video sui mosaici dell'Alhambra di Granada all'interno dei quali - come è ormai ben noto - il matematico spagnolo Montesinos ha ritrovato tutti i 17 gruppi di simmetria catalogati secondo la classificazione cristallografica.
Particolarmente significativo per gli studenti è stato riprodurre alcuni esempi tratti dall'architettura, in particolare l'esecuzione di alcuni modelli in tarsia lignea di noti pavimenti italiani scelti con la collaborazione dell'Arch. Kim Williams autrice del testo Italian Pavements Patterns in Space da cui sono state tratte le immagini e che ringraziamo (Figura 6, Figura 7, Figura 8).
Basta osservare i prodotti ottenuti per rendersi conto della valenza didattica che tale lavoro ha assunto per studenti non ancora completamente strutturati nel campo esecutivo.
Dal punto di vista operativo i primi passaggi eseguiti sono stati le tassellature del piano regolari e semi-regolari, costruite con le "cannucce". Successivamente alcuni allievi hanno realizzato la "scatola delle tassellazioni " con legno di varie essenze.
Dalle immagini dei pavimenti gli studenti hanno dovuto poi ricostruire da soli la struttura geometrica di ogni pavimentazione e solo in quelli più complessi sono stati supportati dal consiglio dei docenti. A questo si aggiunga il tentativo di alcuni di riprodurre la pavimentazione attraverso strumentazione informatica usando il software didattico Cabri II.

Quello presentato è un lavoro in itinere, alcuni dei modelli esposti sono in fase di completamento, ma tutti sono particolarmente significativi circa la testimonianza delle difficoltà incontrate, le analisi affrontate e le forme risolutive scelte.

In appendice ai lavori del biennio vi sono alcune tavole di analisi di tassellature islamiche tratte dal classico testo di Burgoing prodotte da alcuni studenti del quinto anno di corso, essi testimoniano la trasversalità e la ricchezza di questi temi che possono essere affrontati più volte e sempre in modo diverso all'interno della didattica.
Nella sala vediamo anche altri oggetti: un gruppo di poliedri, molti dei quali tratti dai disegni che Leonardo fece per illustrare il "De Divina proportione" di Luca Pacioli (Figura 9); un curioso "fiore", posto al centro della sala, che richiama per associazione visiva alcuni dei pavimenti esposti, anche se in realtà si tratta del modello di un iperboloide a una falda che, collassando, produce questa curiosa configurazione.

La Tetraelica
La torre posta al centro della sala rappresenta una figura geometrica non molto conosciuta ma di grande fascino visivo, nota come tetraelica. La forma è costituita da una colonna teoricamente infinita di tetraedri regolari, aggregati in modo tale che ogni poliedro condivida interamente con altri due una faccia e con altri tre un vertice. Tutti i vertici della struttura sono uguali tra loro e in ogni vertice concorrono sei spigoli.

La tetraelica fu studiata per la prima volta negli anni '50 da R. Buckminster Fuller ( 1895 - 1983 ), uno dei maggiori esponenti della cultura americana del novecento, attivo come architetto, ingegnere, filosofo e studioso della natura da cui, con occhio disincantato e con respiro da grande utopista, traeva principi e metafore per i suoi progetti che riguardavano sempre l'intera umanità.

Il tetraedro per Fuller non era solo il ben noto solido regolare, ma rappresentava il "quantum spaziale", l'elemento primo dello spazio tridimensionale - i quattro vertici del tetraedro sono il numero minimo di punti con cui è possibile descrivere una figura nello spazio -.
Da Synergetics. Exploration in the Geometry of Thinking (1975) alcune immagini, a lato, ci aiutano a capire quale ruolo determinante avesse la metafora tetraedrica nel suo pensiero: modello fisico che aiuta a comprendere gli stati e i comportamenti della materia, ma anche struttura linguistica che indica i modi di coniugare enti primi per creare la molteplicità.

La tetraelica è vista come struttura lineare di massima rigidità teorica e come modello fisico- concettuale della doppia elica del DNA. Fuller propone analogie tra il comportamento delle quattro basi GTCA, (quattro come i vertici del "quantum spaziale") e la struttura tetraedrica più complessa che coniuga i propri elementi secondo un analogo pattern elicoidale.

Il modello elicoidale visualizza in modo immediato le eliche che si "annidano" nella tetraelica. Il modello è ottenuto attraverso un'ideale proiezione della figura sul cilindro in cui è inscritta a partire da tutti i punti del suo asse. Gli spigoli spezzati si trasformano in eliche continue di facile lettura.
Eliche dello stesso tipo, cioè sovrapponibili tra loro con una rotazione, hanno lo stesso colore. E' facile osservare che tutta la torre, teoricamente fino all'infinito, è costituita da sole sei eliche di tre tipi diversi :

• l'elica bianca passa per tutti i vertici;
• le due eliche verdi passano per un vertice si e uno no;
• le tre eliche rosse passano per un vertice si e due no.

L'elica nera e le tre rosse vanno nella stessa direzione, le due eliche verdi vanno in senso contrario; se le verdi sono destrogire le altre saranno levogire e viceversa.
Questi patterns evocano altre immagini: la fillotassi, alcune strutture elicoidali di rinforzo presenti in organismi marini di forma tubolare o in strutture lineari progettate dall'uomo.

PER SAPERE DI PIU'
Kim Williams, Italian Pavements: Patterns in Space (Houston: Anchorage Press, 1998). Per ordinare una copia di questo libro da Amazon. com, cliccare qui.

Joachim Krausse, ed. Your Private Sky : R. Buckminster Fuller : The Art of Design Science (Lars Muller Publishers, 1999). Per ordinare una copia di questo libro da Amazon. com, cliccare qui.

Le Corbusier, Le Modulor. English edition (Birkhauser, 2000). Per ordinare una copia di questo libro da Amazon. com, cliccare qui.

Luca Pacioli, Divine Proportion, English edition (Abaris Books, 2000) Per ordinare una copia di questo libro da Amazon. com, cliccare qui.

L'Istituto statale d'Arte di Monza
L'Istituto statale d'arte di Monza è da vent'anni una scuola sperimentale nel campo della progettazione, della comunicazione visiva, del disegno industriale, e del'ambiente.
La sperimentazione ha lo scopo di fornire agli studenti sia specifiche competenze "pre-professionali", sia strumenti critici di conoscenza nel campo della cultura del progetto e dei linguaggi visuali. Il ciclo di studi dura cinque anni e si conclude con un diploma di stato. L'Istituto statale d'arte di Monza è unico in tutta la provincia di Milano.
La scuola ha sede nell'ala sud della Villa Reale, che aveva già ospitato negli anni Trenta l'Istituto per le industrie artistiche, legato alla storia delle Biennali e Triennali di Monza e Milano, dunque alla nascita dell'architettura moderna e del design in Italia. Nella scuola sono presenti i laboratori di plastica, fotografia, cinema, tv, tecniche grafiche, fotoincisione, modellistica, ebanisteria, metalli. L'Istituto è inoltre dotato di aule attrezzate e laboratori per storia dell'arte, chimica e tecnologia, fisica, scienze, inglese. All'informatica, applicata ai diversi indirizzi, sono destinate aule apposite.
Liliana Curcio è docente di Matematica e Fisica; Roberto Di Martino è docente di Teoria e Applicazioni di Geometria Descrittiva e Proiettiva.