International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences
Volume 2005 (2005), Issue 9, Pages 1461-1472
doi:10.1155/IJMMS.2005.1461

Remarks on the biharmonic Martin boundary and the integral representation of biharmonic functions

Abstract

Soit (Ω,ℋ) un espace biharmonique fort au sens de Smyrnelis dont les espaces harmoniques associés sont des espaces de Brelot qui vérifient l'axiome de proportionnalité. On montre que s'il existe un couple ℋ-harmonique >0 sur Ω, alors lénsemble des points minimaux de la frontière de Martin biharmonique de Ω qui ne sont pas les pôles de couples biharmoniques minimaux est négiligeable dans un sens que l'on précisera. Dans le cas classique d'un domaine lipschitzien borné de ℝn, nous montrons que cet ensemble est vide.Let (Ω,ℋ) be a strong biharmonic space of Smyrnelis such that the harmonic spaces associeted are Brelot spaces satisfying the axiom of proportionnality. We prove that if there exists a biharmonic pair greater than 0 on Ω, then the set of minimal points of the biharmonic Martin boundary of Ω, that are not the poles of minimal biharmonic pairs, is negligible in some meaning that we will precise. For the classical case of a bounded Lipschitz domain of ℝn, we prove that this set is empty.