Zentralblatt MATH

Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No:  439.10037
Autor:  Elliott, P.D.T.A.; Erdös, Paul
Title:  Additive arithmetic functions bounded by monotone functions on thin sets. (In English)
Source:  Ann. Univ. Sci. Budap. Rolando Eötvös, Sect. Math. 22-23, 97-111 (1980).
Review:  Die Verff. befassen sich mit folgender Problemstellung: Aus der Beschränktheit einer additiven Funktion f sollen Ergebnisse über die Werte f(p) der additiven Funktion im Mittel hergeleitet werden. Man setze
|y| = 1 für |y| > 1,
y für |y| \leq 1.
Ist eine positive, monoton nicht-abnehmbare Funktion g gegeben, so zeigen die Verff.: Gilt

0 < C1 \leq \frac{|f(aj)|}{g(aj)} \leq C2    (*)

auf einer Folge a1 < a2 < ... natürlicher Zahlen mit natürlicher unterer Dichte \alpha > ½, so gilt (mit geeigneten Konstanten B und C)

g(x2) \leq B· g(x),    (1)

sump \leq x 1/p · |\frac{f(p)}{g(x)}|2 \leq C für alle x \geq 2.     (2)

Wird an Stelle von (*) nur |f(aj)| \leq g(aj) vorausgesetzt, so gilt statt (1) und (2) nur

sump \leq x 1/p |\frac{f(p)}{g(x\beta)}|2 \leq C für ein geeignetes \beta > 1.    (2')

Als Folgerung ergibt sich folgendes schönes Ergebnis: Es gibt eine positive Konstante A, so daß für jede additive Funktion die Ungleichung

sump \leq x\frac{|f(p)|2}{p} \leq A·maxn \leq x |f(n)|2

gilt. Wählt man g als konstante Funktion, so enthalten die Ergebnisse der Verff. bekannte Ergebnisse [man vgl. etwa P.D.T.A.Elliott's Buch über Probabilistic number theory. I, II (1979 und 1980; Zbl 431.10029 und 431.10030)]. Ein Beispiel zeigt, daß das Ergebnis (1) falsch wird, wenn nicht mehr vorausgesetzt wird, daß die untere Dichte \alpha \geq ½ ist. Der Beweis der Ergebnisse verwendet Techniken aus der Theorie der zahlentheoretischen Funktionen und der Wahrscheinlichkeitstheorie.
Reviewer:  W.Schwarz
Classif.:  * 11K65 Arithmetic functions (probabilistic number theory)
                   11N99 Multiplicative number theory
Keywords:  additive functions; bounded additive functions; boundedness of arithmetic functions on thin sets
Citations:  Zbl.431.10029; Zbl.431.10030

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