Zentralblatt MATH
Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No: 156.07102
Autor: Erdös, Pál; Sharma, A.
Title: On Tchebycheff quadrature (In English)
Source: Can. J. Math. 17, 652-658 (1965).
Review: In Verallgemeinerung eines Chebyshevschen Problems wird die folgende Frage untersucht: Man bestimme bei gegebener fester ganzer Zahl k \geq 0 und einer ganzen Zahl n \geq k+2 Zahlen Ai, yi(i = 1,2,...,k),xj(j = 1,2,...,n-k) und B, so daß die Formel int-1+1 f(x) dx = sumi = 1k (Ai f(xi)+Bsumj = 1n-k f(xj) für jedes Polynom vom Grade \leq n+k richtig ist (hierbei sollen die yi und xj dem Intervall [-1,+1] angehören). Ist dies immer möglich?
Es wird gezeigt, daß es eine Zahl n0 gibt, so daß für n > n0 keine Lösung des Problems existiert. Für k = 0 ist n0 = 10, wie durch S. N. Bernstein bekannt ist.
Weiter wird bewiesen: Gibt es eine Formel der obigen Art, die für alle Polynome vom Grade m = m(n) richtig ist, so gibt es eine nur von k abhängige positive Zahl Ck, so daß m \leq Ck \sqrt n ist. Die Güte dieser Abschätzung bleibt offen.
Reviewer: G.Meinardus
Keywords: 41A55
Index Words: approximation and series expansion
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