Zentralblatt MATH
Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No: 122.05904
Autor: Davenport, H.; Erdös, Pál
Title: A theorem on uniform distribution (In English)
Source: Publ. Math. Inst. Hung. Acad. Sci., Ser. A 8, 3-11 (1963).
Review: Es sei {Ij}ooj = 1 eine Folge von paarweise elementfremden Intervallen Ij = (xj,yj) derart, daß 0 \leq x1 < y1 < x2 < y2 < ··· und limj ––> oo xj = oo gilt. Für Z > 0 sei I(Z) das Lebesguesche Maß der Punktmenge \cupj = 1oo Ij \cap (0,Z). Für \alpha > 0 und für jede natürliche Zahl N sei F\alpha(N) die Anzahl der Punkte n \alpha in \cupj = 1oo Ij mit 1 \leq n \leq N. Die Verff. beweisen folgenden Satz: Es sei Z/(I(Z) beschränkt für Z ––> oo, und die Anzahl der xj \leq N sei O(N2-\delta) für N ––> oo (\delta > 0). Dann gilt für fast jede reelle Zahl \alpha > 0 limN ––> oo {\alpha F\alpha(N) \over I(N\alpha)} = 1. Wird yj = xj+\lambda(xj+1-xj) (0 < \lambda < 1) gesetzt, dann folgt insbesondere: Unter den angegebenen Voraussetzungen für die Folge {xj}ooj = 1 ist die Folge {n \alpha}oon = 1 für fast jede reelle Zahl \alpha > 0 gleichverteilt modulo der Folge {xj}ooj = 1 im Sinne von LeVeque (Zbl 051.28503). Das Hauptresultat folgt aus der Abschätzung
int\alpha1\alpha2 (F\alpha (N) - \alpha-1 I(N\alpha))2 d\alpha = O(N2-\delta) (0 < \alpha1 < \alpha2). (*) Um diese zu erhalten, wird der Ausdruck F\alpha(N)-\alpha-1 I(N\alpha) durch einen etwas einfacheren ersetzt und dieser (als Funktion von xj\alpha-1 bzw. yj (\alpha-1) in Fourierreihen entwickelt. Geeignete Zerlegungen dieser Reihen und sorgfältige Abschätzungen der Produkte der einzelnen Summanden führen schließlich auf (^*).
Reviewer: G.Helmberg
Classif.: * 11K06 General theory of distribution modulo 1
Index Words: number theory
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