läßt sich in der Sprache der Wahrscheinlichkeitsrechnung so formulieren, daß die Wahrscheinlichkeit für die Relation (nm) = 1 gleich 6/\pi² ist; hier bedeuten n und m zwei zufällig und unabhängig gewählte natürliche Zahlen. Die Verff. behandeln die entsprechende Frage, wenn n und m nicht unabhängig sind, sondern etwa m von n abhängt, d. h. m = g(n) ist. Das Hauptergebnis der Arbeit lautet folgendermaßen:
Satz 2. Es sei f(x) eine differenzierbare, (mod 1) "homogen gleichverteilte" Funktion, d. h. die Folge f(dx)/d(x = 1,2,...) sei für jedes natürliche d (mod 1) gleichverteilt. Ferner sei vorausgesetzt, daß die folgenden Beziehungen gelten: (A) f(x) = o({x \over log log x}) ; (B) x f'(x)/ log log log x ––> oo für x ––> oo (c) Es ist f'(y) \leq M f'(x) für y \geq x, wobei M eine numerische Konstante ist. Man setze g(x) = [f(x)]. Dann ist die "Wahrscheinlichkeit" für (n,g(n)) = 1 gleich 6/\pi². Unter "Wahrscheinlichkeit" wird der Grenzwert der relativen Häufigkeit der Zahlen n mit (n,g(n)) = 1 unter N für N ––> oo verstanden. Es wird gezeigt, daß sich die Beschränkung (B) nicht durch eine mildere ersetzen läßt. Die Verff. behandeln auch den Grenzwert lim_{x ––> oo} {S(x) \over x}, wobei S(x), die Summe der Teileranzahlen von (n,g(n)) mit n \leq x bedeutet. In dieser Richtung wird folgender Satz bewiesen:
Satz 3. Ist f(x) = O(x/ log x) und x f'(x)/ log log x ––> oo für x ––> oo, bezeichnet ferner wieder g(x) = [f(x)], so gilt

Reviewer:  P.Szüsz
Classif.:  * 11K99 Probabilistic theory
Index Words:  number theory

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