Zentralblatt MATH
Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No: 068.03704
Autor: Erdös, Pál
Title: On the product of consecutive integers. III. (In English)
Source: Nederl. Akad. Wet., Proc., Ser. A 58, 85-90 (1955); Indag. Math. 17, 85-90 (1955).
Review: In Fortführung von Untersuchungen des Verf. (z.T. mit C.L.Siegel und parallel mit O.Rigge, die nicht alle veröffentlicht wurden) wird nunmehr gezeigt: Es gibt eine Konstante c derart, daß Ak(n) = n(n+1) ··· (n+k-1) für k > c, l > 1 keine l-te Potenz ist. Der Fall l = 2, war in Teil I für alle k (Zbl 021.20704), der Fall l > 2 in Teil II (Zbl 026.38801) für k > c(l) nur mit einem von l abhängigen c bewiesen worden. Das jetzige Resultat bestätigt für genügend großes k eine lange gehegte Vermutung. Der Verf. meint, daß der Wert von c als nicht zu groß explizit bestimmbar sei und daher die Gültigkeit der Vermutung für die restlichen k numerisch geprüft werden könnte.
Der Beweis ist elementar und zeigt noch etwas mehr, daß nämlich für k > c eine Primzahl p > k existiert, für die die genaue Potenz, mit der in p in Ak(n) aufgeht, nicht durch l teilbar ist. Eine etwas sorgfältige Abschätzung würde, wie der Verf. bemerkt, sogar ergeben: Für l > 2, \epsilon > 0 gibt es ein c = c(\epsilon) derart, daß für k > c, n > kl, falls beliebig in Ak(n) weniger als (1-\epsilon)k log log k/ log k Faktoren gestrichen werden, das Produkt der restlichen keine l-te Potenz ist.
Reviewer: H.Rohrbach
Classif.: * 11D61 Exponential diophantine equations
Index Words: Number theory
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