Zentralblatt MATH
Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No: 032.01602
Autor: Erdös, Pál
Title: Some remarks on diophantine approximations. (In English)
Source: J. Indian Math. Soc., II. Ser. 12, 67-74 (1948).
Review: Mittels einiger bekannter Abschätzungen über die Näherungsbrüche der Kettenbruchentwicklung einer reellen Irrationalzahl \alpha und mittels eines Behnkeschen Satzes über die Reziproken {1 \over { m \alpha }} für natürliche m wo {u} das nächste Ganze an u bezeichnet, verbessert der Verf. zunächst Resultate von S.D.Chowla [Math. Z. 33, 544-563 (1935; Zbl 001.32501)] und schärfer A.Walfisz [Math. Z. 35, 774-778 (1935; Zbl 004.34102)] über die Teileranzahl d(n) und die Anzahlen r2(n), r4(n) der Darstellungen von n als Summe von 2 bzw. 4 Quadraten. Er zeigt nämlich, daß in den für fast alle \alpha (d.h. alle \alpha bis auf eine Ausnahmemenge vom Maß 0) gültigen Walfiszschen Abschätzungen summ = 1n d(m) e2\pi i m \alpha = O (\sqrt {n (log n)1+\epsilon}),
summ = 1n r2(m) e2\pi i m \alpha = O(\sqrt{n (log n)1+\epsilon}),
summ = 1n r4(m) e2\pi i m \alpha = O(\sqrt {n (log n)2+\epsilon}) das willkürliche \epsilon > 0 durch 0 ersetzt werden kann.
Mittels eines Khintchine-Ostrowskischen Satzes über Summen von {1 \over { m \alpha}} behandelt der Verf. ferner die Größenordnung der Summe S(n) = summ = 1n {1 \over m{ m \alpha }}. Nach Spencer [Proc. Cambridge Philos. Soc. 35, 527-547 (1939; Zbl 022.30904] ist einerseits S(n) = O (log n)2 für fast alle \alpha, und nach Hardy-Littlewood [Bull. Calcutta Math. Soc. 20, 251-266 (1930)] ist anderseits S(n) = \Omega (log n2) für alle irrationalen \alpha. Der Verf. beweist, daß genau S(n) = (1+o(1))(log n)2 für fast alle \alpha ist, und allgemeiner
summ = 1n {1 \over ma{m\alpha}} = (1+o(1)){2n1-a log n \over a} für 0 < a < 1 und fast alle \alpha.
Schließlich spricht der Verf. ohne Beweis noch folgende Behauptung aus. Für fast alle \alpha ist
sumn = 1x {1 \over summ = 1n {m \alpha}-1} = (1+o(1)){log log x \over 2}, so daß insbesondere die sumn = 1oo für fast alle \alpha divergiert. Ist f(n) eine wachsende Funktion, für die f(n) > (2+c) n log n und sumn = 1oo {1 \over f(n)} konvergent ist, so ist für fast alle \alpha
summ = 1oo {1 \over{ m \alpha }} < f(n) für alle n > n0(\alpha). Auf die letzteren beiden Behauptungen ist der Verf. durch Arbeiten von Khintchine [Compositio Math., Groningen 1, 361-382 (1935; Zbl 010.34101)] und Paul Levy [ebenda 3, 286-303 (1936; Zbl 014.26803)] gekommen.
Reviewer: Hasse (Berlin)
Classif.: * 11K06 General theory of distribution modulo 1
Index Words: Number theory
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