Zentralblatt MATH
Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No: 031.34803
Autor: de Bruijn, N.G.; Erdös, Pál
Title: Sequences of points on a circle. (In English)
Source: Proc. Akad. Wet. Amsterdam 51, 46-49 (1949).
Review: Die Verff. betrachten Folgen {a} von Punkten a1, a2, a3,... auf einem Kreis vom Radius ½\pi, also Zahlen mod 1. Die Zahlen a1, a2, an,... bestimmen auf dem Kreis n Intervalle der Gesamtlänge 1. Es sei M1n (a) bzw. m1n(a) die größte bzw. kleinste Länge der n Intervalle, allgemeiner sei Mrn(a) bzw. mrn(a) die größte bzw. kleinste Summe von r aufeinander folgenden Intervallen. Es gelten dann, wie die Verff. beweisen, die Abschätzungen limsupn ––> oo n Mrn(a) \geq 1/ log (1+1/r),
liminfn ––> oo n mrn(a) \leq {r \over R+1}/ log (1+1/r),
limsupn ––> oo Mrn(a) mrn(a) \geq 1+1/r.
\smallskip
The authors investigate sequences {a} of points a1, a2, a3,... on the circle of radius ½\pi, that are numbers mod 1. The numbers a1, a2, an,... determine n Intervalle of whole length 1 on the sphere. Let M1n (a) resp. m1n(a) be the maximal resp. minimal length of the n intervals, more generally let Mrn(a) resp. mrn(a) be the maximum resp. the minimum of sums of r consecutive intervals. Then the following estimates are valid
limsupn ––> oo n Mrn(a) \geq 1/ log (1+1/r),
liminfn ––> oo n mrn(a) \leq {r \over R+1}/ log (1+1/r),
limsupn ––> oo Mrn(a) mrn(a) \geq 1+1/r.
Reviewer: Heinhold (München)
Classif.: * 11K06 General theory of distribution modulo 1
Index Words: Number theory
© European Mathematical Society & FIZ Karlsruhe & Springer-Verlag