Решетняк Ю. Г.
О дифференциальных свойствах одного класса поверхностей в евклидовом пространстве
Рассматриваются гладкие n-мерные поверхности класса  1 в евклидовом пространстве размерности n + m, удовлетворяющие следующему условию. Для любых двух различных точек поверхности нормали к поверхности в этих точках либо не пересекаются, либо их точка пересечения отстоит от каждой из данных точек на расстояние, не меньшее некоторой фиксированной положительной постоянной. Устанавливается, что для всякой такой поверхности в окрестности любой точки существует параметризация, имеющая ограниченные обобщенные в смысле Соболева производные второго порядка. Доказательство основано на использовании геометрических свойств поверхностей данного вида и на некотором предложении, устанавливающем достаточные условия существования у произвольной вещественной функции ограниченных обобщенных производных второго порядка. В приложении доказывается аналог этой леммы для случая производных произвольного порядка.
|
Reshetnyak Yu. G.
The differential properties of one class of surfaces in Euclidean space
We consider n-dimensional smooth surfaces of class 1 in the Euclidean space of dimension n + m satisfying the following condition. Given two distinct points of the surface, the surface normals at these points either are disjoint or meet at the distance from both of these points bounded below by some fixed positive constant. We establish that every surface of this type carries in a neighborhood of each point a parametrization with bounded second order generalized derivatives in the sense of Sobolev. The proof is based on using geometric properties of the surfaces of this form and on the proposition that establishes sufficient conditions for the existence of bounded second order generalized derivatives of an arbitrary real function. In the Appendix we prove an analog of this lemma in the case of derivatives of arbitrary order.
|
