Коробков М. В.
Свойства C¹-гладких функций, множество значений градиента которых является нигде не плотным множеством

Одним из основных результатов настоящей статьи является
Теорема. Пусть υ : Ω → R — C¹-гладкая функция на области ΩR². Предположим, что Intυ (Ω) = ∅. Тогда для любой точки z Ω . найдется прямая L z такая, что υ ≡ const на компоненте связности множества L∩ Ω, содержащей точку z.
Доказано также, что при выполнении условий теоремы множество значений градиента υ (Ω) локально представляет собой кривую, причем у этой кривой имеются касательные в слабом смысле и направление этих касательных есть функция ограниченной вариации.

Korobkov M. V.
Properties of the C¹-smooth functions with nowhere dense gradient range

One of the main results of the present article is as follows
Theorem. Let υ : Ω → R be a C¹-smooth function on a domain ΩR². Suppose that Intυ (Ω) = ∅. Then, for every point z Ω, there is a straight line L z such that υ ≡ const on the connected component of the set L∩ Ω containing z.
Also, we prove that, under the conditions of the theorem, the range of the gradient υ (Ω) is locally a curve and this curve has tangents in the weak sense and the direction of these tangents is a function of bounded variation.

Полный текст статьи / Full texts:

• PDF file (525 KB)
• PostScript file (980 KB)