Макаренко Н. Ю.
Градуированные алгебры Ли с малым числом нетривиальных компонент

Доказывается, что (Z/nZ) –градуированная алгебра Ли с малым числом d
нетривиальных компонент L_i и компонентой L₀ конечной размерности m обладает однородным разрешимым идеалом ступени разрешимости, ограниченной функцией от d, и коразмерности, ограниченной функцией от m и d. Верен также аналогичный результат для (Z/nZ)-градуированных колец Ли с малым числом d нетривиальных компонент L_i и компонентой L₀ конечного порядка m. Эти результаты обобщают теорему Шалева о разрешимости (Z/nZ)-градуированных колец Ли с малым числом d нетривиальных компонент L_i и нулевой компонентой L₀. Доказательство базируется на методе обобщенных централизаторов, созданном Е. И. Хухро для колец Ли и нильпотентных групп с почти регулярными автоморфизмами простого порядка [1], и технике, развитой в работе Н. Ю. Макаренко и Е. И. Хухро о почти разрешимости алгебр Ли с почти регулярным автоморфизмом конечного порядка [2].

В последующей совместной работе Хухро, Шумяцкого и Макаренко с помощью доказанных теорем улучшается заключение в обобщении классической теоремы Джекобсона, полученном недавно Хухро и Шумяцким. Доказывается существование идеала (вместо подалгебры) ограниченной коразмерности и ступени разрешимости в конечномерной алгебре Ли L, допускающей нильпотентную алгебру Ли D дифференцирований с d весами в L, и нулевой компонентой Фиттинга по отношению к D размерности m.

Makarenko N. Yu.
Graded Lie algebras with few nontrivial components

We prove that if a (Z/nZ)-graded Lie algebra has d nontrivial components L_i and the null component L₀ has finite dimension m, then L has a homogeneous solvable ideal of derived length bounded by a function of d and of codimension bounded by a function of m and d. An analogous result holds also for the (Z/nZ)-graded Lie rings with few nontrivial components L_i if the null component L₀ has finite order m. These results generalize Kreknin’s theorem on the solvability of the (Z/nZ)-graded Lie rings with trivial component L₀ and Shalev’s theorem on the solvability of such Lie rings with few nontrivial components L_i . The proof is based on the method of generalized centralizers which was created by E. I. Khukhro for Lie rings and nilpotent groups with almost regular automorphisms of prime order [1], as well as on the technique developed in the work of N. Yu. Makarenko and E. I. Khukhro on the almost solvability of Lie algebras with an almost regular automorphism of finite order [2].

Полный текст статьи / Full texts:

• PDF file (555 KB)
• PostScript file (1,1 MB)