Джумадильдаев А.
n-Лиево свойство якобиана как условие вполне интегрируемости

Доказано, что ассоциативная коммутативная алгебра U с дифференцированиями D₁,…,D_n∈ DerU относительно n-умножения D₁ˆ…ˆ D_n превращается в n-лиеву алгебру, если система {D₁,…,D_n} находится в инволюции. В случае, когда дифференцирования попарно коммутируют, этот факт установлен В. Т. Филипповым. Получена еще одна формулировка условия Фробениуса о вполне интегрируемости в терминах n-лиевых умножений. Дифференциальная система {D₁,…,D_n} ранга n на многообразии M^m находится в инволюции тогда и только тогда, когда пространство гладких функции на M относительно якобиана Det (D_iu_j) превращается в n-лиеву алгебру.

Dzhumadil’daev A.
The n-lie property of the Jacobian as a condition for complete integrability

We prove that an associative commutative algebra U with derivations D₁,…,D_n∈ DerU is an n-Lie algebra with respect to the n-multiplication D₁ˆ…ˆ D_n n if the system {D₁,…,D_n} is in involution. In the case of pairwise commuting derivations this fact was established by V. T. Filippov. One more formulation of the Frobenius condition for complete integrability is obtained in terms of n-Lie multiplications. A differential system {D₁,…,D_n} of rank n on a manifold M^m is in involution if and only if the space of smooth functions on M is an n-Lie algebra with respect to the Jacobian Det (D_iu_j).

Полный текст статьи / Full texts:

• PDF file (455 KB)
• PostScript file (900 KB)