Кая Ю.
Пространство параллельных погружений сфер

Пусть f:M^m→ R^m+1 — погружение m-мерного связного ориентируемого гладкого многообразия M без края и ξ — поле единичных нормалей вдоль f. Для вещественного t определим отображение f_tξ:M^m→ R^m+1, полагая f_tξ(p)=f(p)+tξ (p). Известно, что, когда f_tξ — погружение, для любого p∈ M число фокальных точек на промежутке, соединяющем f(p) и f_tξ(p), целое. Это число, называемое индексом параллельного погружения f_tξ, лежит в промежутке между 0 и m. Если f:S^m→ R^m+1 — вложение, то изучается наличие компоненты индекса μ в пространстве погружений Ω (f). Известно, что если существует компонента с индексом μ =m в Ω (f), то f — строго выпуклое вложение в S^m. Описана структура Ω (f), когда f(S^m) выпукло и невыпукло. Показано также, что наличие компоненты индекса μ в Ω (f) позволяет строить непрерывное поле касательных плоскостей размерности μ на S^m, откуда выводится, что для некоторых значений μ не существует компоненты индекса μ на Ω (f).

Kaya Y.
The push-out space of immersed spheres

Let f:M^m→ R^m+1 be an immersion of an orientable m-dimensional connected smooth manifold M without boundary and assume that ξ is a unit normal field for f. For a real number t the map f_tξ:M^m→ R^m+1 is defined as f_tξ(p)=f(p)+tξ (p). It is known that if f_tξ is an immersion, then for each p∈ M the number of the focal points on the line segment joining f(p) to f_tξ(p) is a constant integer. This constant integer is called the index of the parallel immersion f_tξ and clearly the index lies between 0 and m. In case f:S^m→ R^m+1 is an immersion, we study the presence of a component of index μ in the push-out space Ω (f). If there exists a component with index μ = m in Ω (f) then f is known to be a strictly convex embedding of S^m. We reveal the structure of Ω (f) when f(S^m) is convex and nonconvex. We also show that the presence of a component of index μ in Ω (f) enables us to construct a continuous field of tangent planes of dimension μ on S^m and so we see that for certain values of μ there does not exist a component of index μ in Ω (f).

Полный текст статьи / Full texts:

• PDF file (220 KB)
• PostScript file (930 KB)