Коршунов Д. А.
Критический случай теоремы Крамера – Лундберга об асимптотике распределения максимума случайного блуждания с отрицательным сносом

Изучается асимптотическое поведение распределения максимума M= max {0,S_n, n≥1} частичных сумм S_n=ξ₁+…+ξ_n независимых одинаково распределенных случайных величин ξ ₁,ξ₂,… с отрицательным средним значением. Рассматривается так называемая крамеровская ситуация, когда найдется такое β > 0, что E e^{β ξ₁}=1. В классической теореме, восходящей к Лундбергу и Крамеру, доказывается экспоненциальное убывание вероятностей больших уклонений M в предположении конечности среднего E ξ₁ e^{β ξ₁}. В настоящей заметке основное внимание уделено критическому случаю, когда E ξ₁ e^{β ξ₁}= ∞.

Korshunov D. A.
The critical case of the Cramer-Lundberg theorem on the asymptotic tail behavior of the maximum of a negative drift random walk

We study the asymptotic tail behavior of the maximum M= max {0,S_n, n≥1} of partial sums S_n=ξ₁+…+ξ_n of independent identically distributed random variables ξ ₁,ξ₂,… with negative mean. We consider the so-called Cramer case when there exists a β> 0 such that E e^{β ξ₁}=1. The celebrated Cramer-Lundberg approximation states the exponential decay of the large deviation probabilities of M provided that E ξ₁ e^{β ξ₁} is finite. In the present article we basically study the critical case E ξ₁ e^{β ξ₁}= ∞.

Полный текст статьи / Full texts:

• PDF file (390 KB)
• PostScript file (760 KB)