Боровков А. А.
Большие уклонения для случайных блужданий с разнораспределенными скачками, имеющими бесконечную дисперсию

Пусть ξ₁,ξ₂,… — независимые случайные величины с распределениями F₁,F₂,… в схеме серий (распределения F_i могут зависеть от некоторого параметра), $$ \bold{E}\xi_i=0,\quad S_n=\sum\limits_{i=1}^n\xi_i,\quad \overline{S}_n=\max\limits_{k\leq n}S_k. $$ Получены оценки сверху и снизу для вероятностей P(S_n>x) и $\bold{P}(\overline{S}_n>x)$ в предположении, что «усредненное» распределение $F=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nF_i$ мажорируется или минорируется правильно меняющимися функциями. Эти оценки оказываются достаточно точными для нахождения и самой асимптотики рассматриваемых вероятностей. Кроме того, изучена асимптотика вероятности того, что траектория {S_k} пересечет удаленную границу {g(k)}, т. е. асимптотику $\bold{P}\bigl(\max\limits_{k\leq n}(S_k-g(k))>0\bigr)$. При этом случай n=∞ не исключается. Найдены также оценки для распределения времени первого прохождения границы.

Borovkov A. A.
Large deviations for random walks with nonidentically distributed jumps having infinite variance

Let ξ₁,ξ₂,… be independent random variables with distributions F₁,F₂,… in a triangular scheme (F_i may depend on some parameter), $$ \bold{E}\xi_i=0, and put \quad S_n=\sum\limits_{i=1}^n\xi_i,\quad \overline{S}_n=\max\limits_{k\leq n}S_k. $$. Assuming that some regularly varying functions majorize and minorize $F=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nF_i$, we find upper and lower bounds for the probabilities P(S_n>x) and $\bold{P}(\overline{S}_n>x)$. These bounds are precise enough to yield asymptotics. We also study the asymptotics of the probability that a trajectory {S_k } crosses the remote boundary {g(k)}; i.e., the asymptotics of $\bold{P}\bigl(\max\limits_{k\leq n}(S_k-g(k))>0\bigr)$. The case n = is not exclude. We also estimate excluded. Ewlso estimate the disribution of the crossing time.

Полный текст статьи / Full texts:

• PDF file (566 KB)
• PostScript file (1 MB)