Белоногов В. А.
О неприводимых характерах групп S_n и A_n

Характеры φ и ψ конечной группы G называются полупропорциональными, если они не пропорциональны и существует подмножество M в G такое, что пропорциональны ограничения φ и ψ на M и их ограничения на G\M. Получено описание всех пар пропорциональных неприводимых характеров симметрических групп. А именно, в теореме 1 доказана равносильность следующих условий пары (φ,ψ) различных неприводимых характеров группы S_n (n∈N):
(1) φ и ψ полупропорциональны,
(2) φ и ψ имеют одно и то же множество корней,
(3) φ и ψ ассоциированы (т. е. φ = ψξ, где ξ — линейный характер группы S_n с ядром A_n).
Отметим, что условия (1) и (2), вообще говоря, не равносильны для произвольных конечных групп. Равносильность условий (1) и (3) подтверждает для симметрических групп следующую гипотезу, проверенную ранее автором для ряда классов групп: полупропорциональные неприводимые характеры конечной группы имеют равные степени.
Знакопеременные группы, по-видимому, не имеют полупропорциональных неприводимых характеров. Теорема 2 настоящей статьи есть некоторый шаг в доказательстве этой гипотезы.

Belonogov V. A.
On the irreducible characters of the groups S_n and A_n

Two characters φ and ψ of a finite group G are called semiproportional if they are not proportional and there exists a set M in G such that the restrictions of and ψ to M and G\M are proportional. We obtain a description for all pairs of proportional irreducible characters of symmetric groups. Namely, in Theorem 1 we prove equivalence of the following conditions for a pair (φ,ψ) of different irreducible characters of S_n (n∈N):
(1) φ and ψ are semiproportional;
(2) φ and ψ have the same roots;
and (3) φ and ψ are associated (i.e., φ=ψξ where ξ is a linear character of S_n with kernel A_n). Note that (1) and (2) are in general not equivalent for arbitrary finite groups. For the symmetric groups, the equivalence of (1) and (3) validates the following conjecture proven earlier by the author for a number of group classes: semiproportional irreducible characters of a finite group have the same degree. The alternating groups seem to have no semiproportional irreducible characters. Theorem 2 of this article is a step towards proving this conjecture.

Полный текст статьи / Full texts:

• PDF file (527 KB)
• PostScript file (1 MB)