Решетняк Ю. Г.
Отображения областей пространства Rⁿ и их метрические тензоры

Рассматриваются квазиизометрические отображения областей в многомерных евклидовых пространствах. Устанавливается, что с точностью до изометрии пространства отображение зависит непрерывно в смысле топологии классов Соболева от своего метрического тензора. В пространстве метрических тензоров берется топология, определяемая посредством сходимости почти всюду. Показано, что если метрический тензор отображения непрерывен, то длина образа спрямляемой кривой определяется той же формулой, что и в случае отображений с непрерывными производными. (Непрерывность метрического тензора отображения не влечет непрерывность его производных.)

Reshetnyak Yu. G.
Mappings of domains in Rⁿ and their metric tensors

We consider quasi-isometric mappings of domains in multidimensional Euclidean spaces. We establish that a mapping depends continuously in the sense of the topology of Sobolev classes on its metric tensor to within isometry of the space. In the space of metric tensors we take the topology determined by means of almost everywhere convergence. We show that if the metric tensor of a mapping is continuous then the length of the image of a rectifiable curve is determined by the same formula as in the case of mappings with continuous derivatives. (Continuity of the metric tensor of a mapping does not imply continuity of its derivatives.)

Полный текст статьи / Full texts:

• PDF file (507 KB)
• PostScript file (1 MB)