Филевич П. В.
Неравенства типа Вимана — Валирона для целых и случайных целых функций конечного логарифмического порядка

Пусть $f$ — целая функция, $$ M_f(r)=\max\{|f(z)|:|z|=r\}, \ \mu_f(r)=\max\{|f^{(n)}(0)/n!|r^n:n\ge 0\},\ G_f(r)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}|f^{(n)}(0)/n!|r^n, $$ $\alpha\in(0;+\infty)$, а $l$ — выпуклая относительно логарифма на $(1; +\infty)$ действительная функция, $\ln r=o(l(r))$, ${r\to+\infty}$. Доказаны следующие утверждения:
1)\ для того чтобы для любой целой функции $f$, для которой $\ln M_f(r)\le l(r)$, $r\ge r_0$, выполнялось соотношение $$ {\varlimsup\limits_{r\to+\infty}} \frac{\ln M_f(r)-\ln\mu_f(r)}{\ln\ln\mu_f(r)}\le\alpha, $$ необходимо и достаточно, чтобы ${\varlimsup\limits_{r\to+\infty}} (\ln l(r)/\ln\ln r)\le\alpha+1$;
2)\ для того чтобы для любой целой функции $f$, для которой $\ln M_f(r)\le l(r)$, $r\ge r_0$, выполнялось соотношение $$ {\varlimsup\limits_{r\to+\infty}} \frac{\ln G_f(r)-\ln M_f(r)}{\ln\ln M_f(r)}\le\alpha, $$ необходимо и достаточно, чтобы ${\varlimsup\limits_{r\to+\infty}} (\ln l(r)/\ln\ln r)\le 2\alpha+1$.

Filevich P. V.
Wiman —Valiron type inequalities for entire and random entire functions of finite logarithmic order

No abstract.

Полный текст статьи / Full texts:

• PDF file (444 KB)
• PostScript file (845 KB)