Рудых Г. А., Семенов Э. И.
Существование и построение анизотропных решений многомерного уравнения нелинейной диффузии. I
Rudykh G. A., Semenov E. I.
Existence and construction of anisotropic solutions to the multidimensional equation of nonlinear diffusion. I

Для многомерного уравнения нелинейной диффузии $$ u_t=\nabla\cdot (u^{\lambda}\nabla u), \quad u\overset{\triangle}\to{=}u({\bold x},t): \Omega\times\overline{\Bbb R}^+\to{\Bbb R}^+, \quad {\bold x}\in{\Bbb R}^n, $$ предложена оригинальная форма решений $$ u({\bold x},t)=[\lambda [\frac{1}{2}({\bold x},A_1(t){\bold x})+ ({\bold x},{\bold B}_1(t))+C_1(t)]^p_+ + \lambda [\frac{1}{2}({\bold x},A_2(t){\bold x})+ ({\bold x},{\bold B}_2(t))+C_2(t)]]_+^{1/\lambda}, $$ с помощью которой исследование исходного уравнения сведено к изучению конечномерной переопределенной (число уравнений больше числа искомых функций) системе алгебро-дифференциальных уравнений. Здесь $A_k(t)$ --- вещественные симметричные матрицы с элементами $a_{kij}(t)\in C^1(\overline{\Bbb R}^+)$, ${\bold B}_k(t)$ --- вектор-столбцы с компонентами $b_{ki}(t)\in C^1(\overline{\Bbb R}^+)$ и $C_k(t)\in C^1(\overline{\Bbb R}^+)$ --- скалярные функции; $\Omega\subset{\Bbb R}^n$ --- ограниченная область; ${\Bbb R}^+=(0,\infty)$; $\lambda ,p\in{\Bbb R}$; $\lambda ,p\ne 0;k=1,2$. Получено явное решение задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, и изучены свойства алгебраических уравнений. Найдено многопараметрическое семейство новых точных неавтомодельных анизотропных по пространственным переменным явных неотрицательных решений исследуемого уравнения при $A_1(t)\equiv 0$, ${\bold B}_1(t)\equiv 0$, $C_1(t)\equiv 0$.

Полный текст статьи / Full texts:

• PDF file (516 KB)
• PostScript file (1 MB)