Хухро Е. И.
Конечные разрешимые и нильпотентные группы с ограничением на ранг централизатора автоморфизма простого порядка
Khukhro E. I.

Finite soluble and nilpotent groups with a restriction on the rank of the centralizer of an automorphism of prime order

Пусть конечная разрешимая группа $G$ допускает автоморфизм простого порядка $p$ с централизатором ранга $r$. Доказывается, что фактор\--группа $G/F_5(G)$ по пятому члену ряда Фитинга имеет $(p,r)$-ограниченный ранг (теорема 1). В случае, когда группа $G$ нильпотентна, доказывается, что она обладает подгруппой $ H$, которая нильпотентна $p$-ограниченной ступени и имеет $(p,r,d)$-ограниченный коранг, где $d$ --- ступень разрешимости группы $G$ (теорема 2). Здесь по определению условие на <<коранг>> означает, что $H$ и $G$ связывает субнормальный ряд $(p,r,d)$-ограниченной длины, все факторы которого имеют $(p,r,d)$-ограниченные ранги. Соединение теорем 1 и 2 дает описание группы $G$ в зависимости от ее ступени разрешимости $d$: имеется нормальный ряд длины 5, каждый фактор которого содержит нильпотентную подгруппу $(p,r,d)$-ограниченного коранга и $p$-ограниченной ступени нильпотентности (следствие 2). Остаются открытыми вопросы о том, насколько можно уменьшить нильпотентную длину подгруппы ограниченного коранга в теореме 1 и можно ли в теореме 2 избавиться от зависимости коранга от ступени разрешимости. Только для $p=2$ в известном смысле неулучшаемые результаты получены ранее Шумяцким. Доказательство теоремы 1 основано на теоремах типа Холла --- Хигмэна. В доказательстве теоремы 2 развивается модификация метода <<градуированных централизаторов>> для модулей над групповыми кольцами.

Полный текст статьи / Full texts:

• PDF file (487 KB)
• PostScript file (983 KB)