\catcode'32=9 \magnification=1200 \voffset=1cm \hoffset=0cm %\hoffset=1cm \font\tenpc=cmcsc10 %\font\eightpc=cmcsc8 % Charge des fontes de 8 et 6 points : \font\eightrm=cmr8 \font\eighti=cmmi8 \font\eightsy=cmsy8 \font\eightbf=cmbx8 \font\eighttt=cmtt8 \font\eightit=cmti8 \font\eightsl=cmsl8 \font\sixrm=cmr6 \font\sixi=cmmi6 \font\sixsy=cmsy6 \font\sixbf=cmbx6 \skewchar\eighti='177 \skewchar\sixi='177 \skewchar\eightsy='60 \skewchar\sixsy='60 % Chargement des fontes AMS \font\tengoth=eufm10 \font\tenbboard=msbm10 \font\eightgoth=eufm7 at 8pt \font\eightbboard=msbm8 \font\sevengoth=eufm7 \font\sevenbboard=msbm7 \font\sixgoth=eufm6 \font\fivegoth=eufm5 \newfam\gothfam \newfam\bboardfam \catcode`\@=11 \def\raggedbottom{\topskip 10pt plus 36pt \r@ggedbottomtrue} \def\pc#1#2|{{\bigf@ntpc #1\penalty \@MM\hskip\z@skip\smallf@ntpc #2}} \def\tenpoint{% \textfont0=\tenrm \scriptfont0=\sevenrm \scriptscriptfont0=\fiverm \def\rm{\fam\z@\tenrm}% \textfont1=\teni \scriptfont1=\seveni 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\def\section#1|{\par\vskip .3cm {\bf #1}\pointir} \def\ssection#1|{\par\vskip .2cm {\it #1}\pointir} \long\def\th#1|#2\finth{\par\medskip {\petcap #1\pointir}{\it #2}\par\smallskip} \long\def\tha#1|#2\fintha{\par\medskip {\petcap #1.}\par\nobreak{\it #2}\par\smallskip} \def\cf{{\it cf}} \def\rem#1|{\par\medskip {{\it #1}\pointir}} \def\rema#1|{\par\medskip {{\it #1.}\par\nobreak }} % \def\ieme{\raise 1ex\hbox{\pc{}i\`eme|}} \def\omini{\raise 1ex\hbox{\pc{}o|}} \def\emini{\raise 1ex\hbox{\pc{}e|}} \def\ermini{\raise 1ex\hbox{\pc{}er|}} \def\remini{\raise 1ex\hbox{\pc{}re|}} %reference pour un article : \def\article#1|#2|#3|#4|#5|#6|#7| {{\leftskip=7mm\noindent \hangindent=2mm\hangafter=1 \llap{[#1]\hskip.35em}{#2}\pointir #3, {\sl #4}, t.\nobreak\ {\bf #5}, {\oldstyle #6}, p.\nobreak\ #7.\par}} %reference pour un livre : \def\livre#1|#2|#3|#4| {{\leftskip=7mm\noindent \hangindent=2mm\hangafter=1 \llap{[#1]\hskip.35em}{#2}\pointir {\sl #3}\pointir #4.\par}} %reference complementaire : \def\divers#1|#2|#3| {{\leftskip=7mm\noindent \hangindent=2mm\hangafter=1 \llap{[#1]\hskip.35em}{#2}\pointir #3.\par}} % \mathchardef\conj="0365 \def\dem{\par{\it D\'emonstration}\pointir} \def\qed{\quad\raise -2pt\hbox{\vrule\vbox to 10pt{\hrule width 4pt \vfill\hrule}\vrule}} \def\virg{\raise 2pt\hbox{,}} % virgule après une fraction \def\cqfd{\penalty 500 \hbox{\qed}\par\smallskip} \long\def\entourer#1{\hbox{\vrule\vbox{\hrule\hbox{\kern15pt\vbox{\kern5pt {#1}\kern5pt}\kern15pt}\hrule}\vrule}} \def\\S {\vskip 5pt\hskip .5cm plus .1cm minus .1cm\relax} \def\decale#1|{\par\noindent\hskip 28pt\llap{#1}\kern 5pt} \def\decaledecale#1|{\par\noindent\hskip 34pt\llap{#1}\kern 5pt} % pour les titres en deux lignes et les sections sans point-tiret : \def\titrea#1|#2|{\message{#1 #2} \par\vskip.5cm plus .1cm minus .1cm\penalty -1000 \centerline{\bf #1} \centerline{\bf #2} \vskip 5pt \penalty 10000 } \def\sectiona#1|{\par\vskip .3cm {\bf #1.} \par\nobreak\vskip 3pt } \def\ssectiona#1|{\par\vskip .2cm {\it #1.} \par\nobreak\vskip 2pt } \catcode`\@=12 \overfullrule=0pt \medmuskip=3.5mu plus 1mu minus 3.5mu \thickmuskip=4mu plus 2mu \catcode`@=11 \def\young#1{\null\vcenter{\baselineskip=12pt\m@th \ialign{\hfil$##$\hfil&&\hskip 3pt\hfil$##$\hfil\crcr \vphantom(\crcr\noalign{\kern-\baselineskip} #1\crcr\mathstrut\crcr\noalign{\kern-\baselineskip}}}} \def\smallyoung#1{\null\vcenter{\baselineskip=8pt\m@th \ialign{\hfil$\scriptstyle ##$\hfil&&\hskip 1.4pt \hfil$\scriptstyle ##$\hfil\crcr \vphantom{\scriptstyle (}\crcr\noalign{\kern-\baselineskip} #1\crcr\mathstrut\crcr\noalign{\kern-\baselineskip}}}} \let\aigu=\aig@ \catcode`@=12 \def\god{{\goth D}} \def\gok{{\goth K}} \def\gos{{\goth S}} \def\des{\mathop{\rm des}\nolimits} \def\rec{\mathop{\rm rec}\nolimits} \abovedisplayskip=6pt plus 2pt minus 2pt \abovedisplayshortskip=0pt plus 2pt minus 0pt \belowdisplayskip=6pt plus 2pt minus 2pt \belowdisplayshortskip=6pt plus 2pt minus 0pt \auteurcourant={J. D\'ESARM\'ENIEN} \titrecourant={\smash{\'E}TUDE MODULO $n$} \font\twelvebf=cmbx12 \overfullrule=0pt \medmuskip=3.5mu plus 1mu minus 3.5mu \thickmuskip=4mu plus 2mu \let\Tenpoint=\tenpoint \let \Eightpoint=\eightpoint \def\imaj{\mathop{\rm imaj}\nolimits} \def\rec{\mathop{\rm rec}\nolimits} \def\des{\mathop{\rm des}\nolimits} % \line{Combinatoire/{\it Combinatorics}\hfil\the\day/\the\month} \vglue 0pt \bigskip\bigskip \centerline{{\'ETUDE MODULO n DES STATISTIQUES MAHONIENNES}} \bigskip \centerline{Jacques \petcap D\'esarm\'enien\footnote{}{Avec le soutien du P.R.C. Math.-Info.}} \bigskip \titre Introduction| Sous le nom g\'en\'erique de statistiques mahoniennes, on regroupe un certain nombre de statistiques d'ordre d\'efinies sur des ensembles de mots de longueur $n$. Citons, entre autres, le nombre d'inversions des permutations, leur indice majeur ou majeur-inverse, les m\^emes statistiques sur les mots \'ecrits avec les lettres $\{ 0,1\} $. On peut, par ailleurs, imposer des contraintes sur la forme (``up-down sequence'') des permutations. Un r\'esultat c\'el\`ebre de Foata et Sch\"utzenberger [F--S] \'etablit dans ce cas l'\'equidistribution du nombre d'inversions et de l'indice majeur-inverse. On peut alors se ramener \`a l'\'etude de l'indice majeur d'un tableau de Young, ce qui permet d'utiliser tout l'arsenal de l'alg\`ebre classique. Une telle approche a \'et\'e utilis\'ee notamment dans [D2, D--F1, D--F2, D--F3, D--F4]. Le but de cet article est d'\'etablir une propri\'et\'e d'\'equir\'epartition des tableaux de Young de forme donn\'ee relativement \`a la valeur modulo $n$ de leur indice majeur. On en d\'eduit ensuite la m\^eme propri\'et\'e pour toutes les statistiques des permutations, ainsi que de nombreux r\'esultats analogues. On obtient aussi la d\'ecomposition explicite de la repr\'esentation du groupe sym\'etrique sur l'alg\`ebre de Lie libre associ\'ee \`a la partition $n$. Ce r\'esultat, d\^u \`a Kraskiewicz et Weyman [K--W], est cit\'e par Reutenauer [R]. Les outils mis en \oe uvre sont, d'une part le lien entre certains caract\`eres du groupe sym\'etrique et l'indice majeur des tableaux de Young, d'autre part un lemme de nature arithm\'etique. \titre 1. Lemme arithm\'etique| Soit $n$ un entier strictement positif. Notons $\Phi _n(q)$ le $n$-i\`eme polyn\^ome cyclotomique ($\Phi _1(q)=1-q$, $\Phi _2(q)=1+q$,\dots). Nous aurons besoin des {\it sommes de Ramanujan} $c_n(m)=\sum _{(i,n)=1}\zeta ^{im}$, o\`u $\zeta $ d\'esigne une racine primitive $n$-i\`eme de l'unit\'e ({\it cf.}~[H--W]). On peut assez facilement trouver la valeur explicite des sommes de Ramanujan en termes de fonction de M\"obius $\mu (n)$ et de fonction indicatrice d'Euler $\varphi (n)$. Plus pr\'ecis\'ement, on a le r\'esultat suivant, d\^u \`a H\"older. \th Lemme 1.1 {{\rm [H--W, p.~238}]}|Posons $(m,n)=\delta $ et $n=\delta N$ ; alors $$c_n(m)={\mu (N)\varphi (n)\over \varphi (N)}.$$ En particulier, si $(n_1,m)=(n_2,m)$, alors $c_n(m_1)=c_n(m_2)$. \finth Soit maintenant un polyn\^ome $P(q)=\sum _{0\leq k\leq n-1}a_kq^k$ \`a coefficients entiers. Suivant en cela la terminologie de Cohen [C], nous dirons que les coefficients de $P(q)$, et par abus, $P(q)$ lui-m\^eme, sont {\it pairs} modulo $n$ lorsque, pour tous $k$ et $l$ compris entre 0 et $n-1$, l'\'egalit\'e $(k,n)=(l,n)$ implique l'\'egalit\'e des coefficients $a_k=a_l$. Les fonctions paires modulo $n$ ont \'et\'e \'etudi\'ees par Cohen, qui a montr\'e qu'elles co\"{\i}ncident avec les combinaisons lin\'eaires de sommes de Ramanujan. Ces derni\`eres avaient \'et\'e utilis\'ees en particulier par Nicol et Vandiver [N--V] pour d\'enombrer certaines configurations combinatoires. \th Proposition 1.2|Soit $P(q)$ un polyn\^ome \`a coefficients entiers de degr\'e inf\'erieur \`a $n$. Il y a \'equivalence entre les deux propri\'et\'es suivantes : \indent\indent\llap{{\rm (i)\ }} Pour tout entier $d$ diviseur de $n$, le r\'esidu $r_d$ de $P(q)$ modulo $\Phi _d(q)$ est un entier ; \indent\indent\llap{{\rm (ii)\ }} Le polyn\^ome $P(q)$ est pair modulo $n$. On a, de plus, $$a_k={1\over n}\sum _{d|n}r_d c_d(k)\qquad {\rm et}\qquad r_\delta =\sum _{d|n}a_{n/d}c_d(n/\delta ).$$ \finth \ssection D\'emonstration de la proposition 1.2|Les polyn\^omes satisfaisant (i) et ceux satisfaisant (ii) forment clairement des ${\bboard Z}$-modules de m\^eme dimension, \'egale au nombre de diviseurs de $n$. Pour d\'emontrer l'\'equivalence de ces propri\'et\'es, il suffit donc de montrer que l'une implique l'autre. Supposons la propri\'et\'e (ii) satisfaite ; en d'autres termes, si $(k,n)=n/d$, alors $a_k=a_{n/d}$. Pour montrer la propri\'et\'e (i), il suffit de voir que lorsque $q$ est \'egal \`a une racine primitive $\delta $-i\`eme de l'unit\'e quelconque, $\delta |n$, la valeur prise par $P(q)$ est bien un nombre $r_\delta $ ne d\'ependant que de $\delta $. Les racines primitives $\delta $-i\`emes sont les $\zeta ^i$, $(i,n)=n/\delta $, pour lesquelles on a : $$\eqalign{P(\zeta ^i) &=\sum _{0\leq k\leq n-1}a_k\zeta ^{ik},\cr &=\sum _{d|n}a_{n/d}\sum _{(k,n)=n/d}\zeta ^{ik}.\cr}$$ On peut \'ecrire $k=k'{n\over d}$ o\`u $(k',d)=1$ ; de plus, si $\zeta $ est une racine primitive $n$-i\`eme, alors $\zeta ^{n/d}$ est une racine primitive $d$-i\`eme. On a donc : $$\eqalign{P(\zeta ^i) &=\sum _{d|n}a_{n/d}\sum _{(k',d)=1}\zeta ^{ik'n/d},\cr &=\sum _{d|n}a_{n/d}c_d(i),\cr &=\sum _{d|n}a_{n/d}c_d(n/\delta ).\cr}$$ On obtient bien la propri\'et\'e (i) et la valeur annonc\'ee de $r_\delta $. R\'eciproquement, (i) implique (ii). Pour v\'erifier que les $a_k$ s'expriment en fonction des $r_d$ comme indiqu\'e, on peut utiliser une formule d'inversion de Cohen [C, th\'eor\`eme~2]. Pour rester autonome, nous allons en fait \'etablir directement cette formule d'inversion dans notre cas particulier. Supposons satisfaite la propri\'et\'e (i). Soient $\zeta ^0, \zeta ^1,\ldots, \zeta ^{n-1}$ les $n$ racines $n$-i\`emes de l'unit\'e. Les racines primitives $d$-i\`emes sont donc les $\zeta ^k$, $(k,n)=n/d$. Puisque $P(q)\equiv r_d \pmod{\Phi _d(q)}$, on a, pour tout $k$ tel que $(k,n)=n/d$, l'\'egalit\'e $P(\zeta ^k)=r_d$. Puisque nous connaissons la valeur de $P(q)$ en $n$ points distincts, nous pouvons appliquer la formule d'interpolation de Lagrange : $$\eqalign{P(q) &=\sum _{0\leq i\leq n-1}P(\zeta ^i)\prod _{j\not=i}{(q-\zeta ^j)\over (\zeta ^i-\zeta ^j)},\cr &=\sum _{0\leq i\leq n-1}P(\zeta ^i)\prod _{j\not=i}{(\zeta ^{n-i}q-\zeta ^{n-i+j})\over (1-\zeta ^{n-i+j})},\cr &=\sum _{0\leq i\leq n-1}P(\zeta ^i)\prod _{j\not=0}{(\zeta ^{n-i}q-\zeta ^j)\over (1-\zeta ^j)}.\cr}$$ Le polyn\^ome dont les racines sont les $\zeta ^j$, $j\not=0$ \'etant $\sum _{0\leq k\leq n-1}q^k$, on a donc : $$P(q)={1\over n}\sum _{0\leq i\leq n-1}P(\zeta ^i)\sum _{0\leq k\leq n-1}\zeta ^{(n-i)k}q^k,$$ qui, en regroupant les indices $i$ selon la valeur $n/d$ de $(i,n)$ et en rempla\c cant $P(\zeta ^i)$ par $r_d$, permet d'\'ecrire $$\eqalign{P(q) &={1\over n}\sum _{d|n}r_d\sum _{(i,n)=n/d}\sum _{0\leq k\leq n-1}\zeta ^{(n-i)k}q^k,\cr &={1\over n}\sum _{0\leq k\leq n-1}q^k\sum _{d|n}r_d\sum _{(i,n)=n/d}\zeta ^{ik},\cr &={1\over n}\sum _{0\leq k\leq n-1}q^k\sum _{d|n}r_d c_d(k).\cr}$$ On obtient bien la valeur annonc\'ee pour le coefficient $a_k$. Ceci ach\`eve la d\'emonstration de la proposition 1.2. \titre 2. Caract\`eres et congruences| Pour tout ce qui concerne les d\'efinitions et propri\'et\'es g\'en\'erales des fonctions sym\'etriques, le lecteur est renvoy\'e \`a [M]. On sait que les fonctions sommes de puissances $p_\lambda $, o\`u $\lambda $ est une partition, forment une $\bboard Q$-base de l'espace vectoriel des fonctions sym\'etriques. Par ailleurs, \`a toute repr\'esentation du groupe sym\'etrique est associ\'ee une fonction sym\'etrique. C'est ainsi que les fonctions de Schur $S_\lambda $ sont associ\'ees aux repr\'esentations irr\'eductibles lorsque $\lambda $ est une partition (ou une forme principale). Les fonctions de Schur constituent une $\bboard Z$-base de l'espace vectoriel des fonctions sym\'etriques. Plus pr\'ecis\'ement, si on note $\chi _\lambda (\mu )$ la valeur en $\mu $ du caract\`ere irr\'eductible du groupe sym\'etrique associ\'e \`a $\lambda $, on a les d\'ecompositions : $$\displaylines{ S_\lambda =\sum _\mu {1\over z_\mu }\chi _\lambda (\mu )p_\mu ,\cr p_\mu =\sum _\lambda \chi _\lambda (\mu )S_\lambda ,\cr}$$ o\`u $z_\mu $ est l'entier \'egal \`a $1^{\mu _1}2^{\mu _2}\ldots \mu _1!\,\mu _2!\ldots$ lorsque $\mu $ est la partition constitu\'ee de $\mu _1$ parts \'egales \`a 1, de $\mu _2$ parts \'egales \`a 2, \dots \'Etant donn\'e un tableau de Young standard $T$ de forme $\lambda $ et d'ordre $n$, notons $\rec T$ l'ensemble des entiers $i$, $1\leq i\leq n-1$ tels que $i+1$ se trouve \`a gauche (au sens large) de $i$ dans $T$ ({\it reculs} de $T$), et $\imaj T$ la somme des entiers $i\in \rec T$ ({\it indice majeur-inverse} de $T$). En particulier, si la forme $\lambda $ est un {\it ruban} ({\it cf.}~[D2]), le tableau $T$ peut \^etre consid\'er\'e comme une permutation dont la forme est donn\'ee par $\lambda $, et la statistique ainsi d\'efinie sur $T$ co\"{\i}ncide avec l'indice majeur-inverse. Notons $(q,q)_n=(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)$ la $q$-factorielle. Le rapport entre fonctions de Schur et statistiques mahoniennes est, en substance, contenu dans le lemme ci-dessous ({\it cf.} [D--F1]). \th Lemme 2.1|La fonction g\'en\'eratrice de la statistique {\rm imaj} sur les tableaux standard de forme $\lambda$ est donn\'ee par : $$\sum_{T}q^{\imaj T}=(q,q)_n S_\lambda (1,q,q^2,\ldots),$$ o\`u la somme est \'etendue \`a tous les tableaux standard de forme $\lambda $. \finth Soit $P_\lambda (q)=\sum _{0\leq k\leq n-1}a_k(\lambda )q^\lambda $ le polyn\^ome dont le coefficient $a_k(\lambda )$ est le nombre de tableaux $T$ de forme $\lambda $ tels que $\imaj T\equiv k \pmod{n}$. Nous pouvons maintenant \'enoncer le r\'esultat principal de cet article. \th Th\'eor\`eme 2.2|Pour une forme $\lambda $ donn\'ee d'ordre $n$, la valeur de $a_k(\lambda )$ ne d\'epend que du plus grand commun diviseur $(k,n)$. Plus pr\'ecis\'ement, $$a_k(\lambda )={1\over n}\sum _{d|n} \chi _\lambda (d^{n/d})c_d(k).$$ \finth \ssection D\'emonstration du th\'eor\`eme 2.2|Soit $d|n$ ; puisque $1-q^n$ est divisible par $\Phi _d(q)$, le reste modulo $\Phi _d(q)$ de $P_\lambda (q)$ et celui de la s\'erie g\'en\'eratrice de imaj sur les tableaux de forme $\lambda $ sont \'egaux. En vertu du lemme 2.1, il est \'egal au reste de $(q,q)_n S_\lambda (1,q,q^2,\ldots)$ modulo $\Phi _d(q)$. On peut alors utiliser l'\'ecriture de $S_\lambda $ comme combinaison lin\'eaire de sommes de puissances. On obtient : $$(q,q)_n S_\lambda (1,q,q^2,\ldots)=\sum _\mu {1\over z_\mu }\chi _\mu (\lambda ) T_\mu (q),$$ o\`u $$T_\mu (q)=(q ,q)_n p_\mu (1,q,q^2,\ldots).$$ On voit facilement que $$T_\mu (q)= {(1-q)(1-q^2)\cdots (1-q^n)\over (1-q)^{\mu _1}(1-q^2)^{\mu _2}\cdots (1-q^n)^{\mu _n}}.$$ Les seuls facteurs de l'expression pr\'ec\'edente sont des polyn\^omes cyclotomiques. On trouve sans grande difficult\'e le reste modulo un polyn\^ome cyclotomique quelconque ({\it cf.}~[D1, D2, D--F4]). Ici, seul nous int\'eresse le reste modulo $\Phi _d(q)$, pour lequel nous allons redonner le r\'esultat. La multiplicit\'e de $\Phi _d(q)$ dans $T_\mu (q)$ vaut $${n\over d}-(\mu _d+\mu _{2d}+\cdots+\mu _n).$$ Puisque $$n=\mu _1+2\mu _2+\cdots+n\mu _n\geq d(\mu _d+\mu _{2d}+\cdots+\mu _n),$$ il s'ensuit que $T_\mu (q)$ est divisible par $\Phi _d(q)$, sauf si $\mu =d^{n/d}$. Dans ce dernier cas, $$T_{d^{n/d}}(q)={(1-q)\cdots(1-q^d)(1-q^{d+1})\cdots(1-q^{2d}) \cdots (1-q^n)\over (1-q^d)^{n/d}},$$ et la substitution \`a $q$ d'une quelconque racine primitive $d$-i\`eme de l'unit\'e dans l'expression pr\'ec\'edente donne $$T_{d^{n/d}}(q)\equiv d^{n/d}(n/d)!=z_{d^{n/d}} \pmod{\Phi _d(q)}.$$ Par cons\'equent, on a la congruence : $$(q,q)_n S_\lambda (1,q,q^2,\ldots)\equiv \chi _\lambda (d^{n/d}) \pmod{\Phi _d(q)}.$$ La condition (i) de la proposition~1.2 est ainsi satisfaite pour le polyn\^ome $P_\lambda (q)$ et le th\'eor\`eme~2.2 est d\'emontr\'e. \titre 3. Cons\'equences combinatoires|% Le th\'eor\`eme 2.2 s'applique \`a toutes les formes $\lambda $, y compris les rubans, comme mentionn\'e plus haut. Les tableaux de Young de forme ruban sont exactement les permutations dont la forme est donn\'ee par le ruban. Par combinaison lin\'eaire des fonctions de Schur de formes ruban, on obtient les permutations dont la forme est sujette \`a des conditions. C'est pr\'ecis\'ement sur ces ensembles de permutations que Foata et Sch\"utzenberger [F--S] ont montr\'e l'\'equidistribution du nombre d'inversions et de l'indice majeur-inverse. On d\'eduit donc du th\'eor\`eme 2.2 le r\'esultat suivant. \th Proposition 3.1|Le nombre de permutations de $[1,n]$ sujettes \`a des conditions sur leur forme et dont le nombre d'inversions est congru \`a $k$ modulo $n$ ne d\'epend que du plus grand commun diviseur $(k,n)$. \finth On peut en d\'eduire des r\'esultats analogues pour toutes les suites analogues aux suites classiques de nombres \'etudi\'ees dans [D2] : permutations alternantes, permutations eul\'eriennes, d\'erangements,~\dots Nous avons \'etudi\'e, \`a la suite de Gessel [D--W], les fonctions sym\'etriques associ\'ees aux mots de Lyndon d'un type donn\'e. On en d\'eduit, de mani\`ere tout-\`a-fait analogue au lemme 3.2, l'existence de fonctions sym\'etriques $L_\lambda $ de degr\'e $n$ telles que la fonction g\'en\'eratrice de la statistique $\imaj$ \'etendue aux permutations dont la structure cyclique est de type $\lambda $ est \'egale \`a $(q,q)_n L_\lambda (1,q,q^2,\ldots)$. En d\'ecomposant les fonctions $L_\lambda $ en sommes de fonctions de Schur, et en appliquant le th\'eor\`eme 2.2 \`a chacune des fonctions de Schur, on obtient le r\'esultat suivant. \th Proposition 3.2|Le nombre de permutations de $[1,n]$ dont la structure cyclique est de type $\lambda $ et dont l'indice majeur-inverse est congru \`a $k$ modulo $n$ ne d\'epend que du plus grand commun diviseur de $k$ et de $n$. \finth Un cas particulier digne d'int\'er\^et est celui o\`u le type est r\'eduit \`a une seule part $n$. Les permutations sous-jacentes sont donc les permutations cycliques. Dans ce cas, la fonction $L_n$, somme des poids des mots de Lyndon de longueur $n$, peut \^etre \'evalu\'ee par le th\'eor\`eme de P\'olya : $$L_n={1\over n}\sum _{d|n}\mu (d) p_d^{n/d}.$$ \'Ecrivons maintenant la d\'ecomposition des sommes de puissances comme sommes de fonctions de Schur : $$\eqalign{L_n &={1\over n}\sum _{d|n}\sum _\lambda \mu (d) \chi _\lambda (d^{n/d}) S_\lambda ,\cr &=\sum _\lambda \bigl({1\over n}\sum _{d|n}\mu (d) \chi _\lambda (d^{n/d})\bigr)S_\lambda,\cr &=\sum _\lambda a_1(\lambda) S_\lambda.\cr}$$ La derni\`ere expression de $L_n$ r\'esulte du th\'eor\`eme~2.2 et de la remarque du lemme~1.1 que $c_d(1)=\mu (d)$. On en d\'eduit la d\'ecomposition suivante, obtenue par d'autres moyens par Kraskiewicz et Weyman [K--W]. \th Proposition 3.3|La multiplicit\'e de $S_\lambda $ dans $L_n$ est \'egale au nombre de tableaux de Young de forme $\lambda $ dont l'indice majeur-inverse est congru \`a $1$ modulo $n$. \finth Ce r\'esultat, comme l'indique Reutenauer [R], a d'autres cons\'equences. En effet, partons de l'identit\'e de la proposition pr\'ec\'edente : $$L_n=\sum _\lambda a_1(\lambda ) S_\lambda .$$ Utilisant les techniques et les notations de [D--W], on peut \'ecrire $$L_n=\sum _\lambda a_1(\lambda ) \sum _T \sum _{s\perp \rec T} w(s),$$ o\`u la seconde somme est \'etendue aux tableaux standard $T$ de forme $\lambda $. On peut r\'ecrire $$L_n=\sum _{E\subset [1,n-1]}\sum _{s\perp E} w(s) A^E ,$$ o\`u $A^E$ est le nombre de couples de tableaux standard $(U,V)$ d'ordre $n$, de m\^eme forme, o\`u $\imaj U\equiv 1\pmod n$ et $\rec T=E$. La construction de Robin\-son-Schensted-Sch\"utzen\-berger \'etablit pr\'e\-cis\'e\-ment une bijection entre les couples $(U,V)$ de tableaux de Young de m\^eme forme et les permutations $\sigma $. De plus, l'ensemble des reculs de $U$ est \'egal \`a l'ensemble des reculs de $\sigma $ et l'ensemble des reculs de $V$ \`a celui des descentes de $\sigma $. Par cons\'equent, $A^E$ est aussi le nombre de permutations de $\sigma $ de $[1,n]$ dont l'ensemble des descentes est $E$ et telles que $\imaj \sigma $ est congru \`a 1 modulo $n$. D'un autre c\^ot\'e, $$L_n=\sum _{E\subset [1,n-1]}\sum _{s\perp E} w(s) C^E,$$ o\`u $C^E$ est le nombre de permutations circulaires de $[1,n]$ dont l'ensemble des descentes est $E$ ({\it cf.}~[D--W]). Il s'ensuit, par identification (en fait en r\'esolvant un syst\`eme triangulaire) l'\'egalit\'e $A^E=C^E$. Utilisant encore le r\'esultat de Foata et Sch\"utzenberger, on a \'etabli la proposition suivante, due \`a Reutenauer [R]. \th Proposition 3.4|Soit $E\subset [1,n-1]$. Les ensembles suivants ont m\^eme cardinal : \indent\indent\llap{{\rm (i)\ }}Les permutations circulaires dont l'ensemble des descentes est $E$ ; \indent\indent\llap{{\rm (ii)\ }}Les permutations dont l'ensemble des descentes est $E$ et dont l'indice majeur-inverse est congru \`a $1$ modulo $n$ ; \indent\indent\llap{{\rm (iii)\ }}Les permutations dont l'ensemble des descentes est $E$ et dont le nombre d'inversions est congru \`a $1$ modulo $n$. \finth Dans un autre ordre d'id\'ees, mentionnons pour finir que la proposition~1.2 s'applique aussi aux polyn\^omes gaussiens, ou $q$-binomiaux. Nous avons \'etabli, dans [D1] la congruence suivante : si $n=ka+r$ et $m=kb+s$ sont les divisions respectives des entiers $n$ et $m$ par $k$, alors, $${n\brack m}\equiv {a\choose b}{r\brack s}\pmod{\Phi _k}.$$ Lorsque $k$ divise $n$, le polyn\^ome $r\brack s$ vaut 0 ou 1 selon que $k$ ne divise pas ou divise $m$. Dans tous les cas, le second membre de la congruence est un entier. Compte tenu des interpr\'etations combinatoires des polyn\^omes gaussiens, dues \`a MacMahon, on a pour les statistiques mahoniennes sur les mots un r\'esultat analogue au th\'eor\`eme~2.2. \th Proposition 3.5|Le nombre de mots contenant $m$ fois la lettre $0$ et $n-m$ fois la lettre $1$ dont le nombre d'inversions (ou, de fa\c con \'equivalente, l'indice majeur) est congru \`a $k$ modulo $n$ ne d\'epend que du plus grand commun diviseur $(k,n)$. \finth \vfill\eject \bigskip \eightpoint \leftline{\pc R\'EF\'ERENCES BIBLIOGRAPHIQUES|} \nobreak\bigskip \article C|\pd COHEN (E.)|A class of arithmetical functions|% Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A.|41|1955|939--944| \article D1|\pd D\'ESARM\'ENIEN (J.)|Un analogue des congruences de Kummer pour les $q$-nombres d'Euler|Europ. J. Combin.|3|1982|19--28| \article D2|\pd D\'ESARM\'ENIEN (J.)|Fonctions sym\'etriques associ\'ees \`a des suites classiques de nombres|Ann. Scient. \smash{\'E}cole Normale Sup\'erieure|16|1983|271--304| \article D--F1|\pd D\'ESARM\'ENIEN (J.) et \pd FOATA (D.)|Fonctions sym\'etriques et s\'eries hyperg\'eom\'etriques basiques multivari\'ees|Bull. Soc. Math. France|113|1985|3--22| \divers D--F2|\pd D\'ESARM\'ENIEN (J.) et \pd FOATA (D.)|Fonctions sym\'etriques et s\'eries hyperg\'eom\'etriques basiques multivari\'ees~II, {\it Combinatoire \'enum\'erative}, [Labelle (G.) et Leroux (P.), \'ed. ; Montr\'eal, 28~mai--1~juin~1985], p.~68--90\pointir Heidelberg, Springer-Verlag (Lecture Notes in Mathematics, vol.~1234), {\oldstyle 1987}| \divers D--F3|\pd D\'ESARM\'ENIEN (J.) et \pd FOATA (D.)|Statistiques d'ordre sur les permutations color\'ees, {\it Discrete Math.} (\`a para\^{\i}tre)| \divers D--F4|\pd D\'ESARM\'ENIEN (J.) et \pd FOATA (D.)|The signed Eulerian numbers, {\it Discrete Math.} (\`a para\^{\i}tre)| \divers D--W|\pd D\'ESARM\'ENIEN (J.) et \pd WACHS (M.)|Descentes sur les d\'erangements et mots circulaires, {\it S\'eminaire lotharingien de combinatoire}, 19\emini~session, [Strehl (V.), \'ed. ; Schlo\ss\ Schwannberg/Ufr. 22--25~mars 1988], p.13--21\pointir Strasbourg, Publ. I.R.M.A. 361/S--19, {\oldstyle 1988}| \article F--S|\pd FOATA (D.) et \pd SCH\"UTZENBERGER (M.)|Major index and inversion number of permutations|Math. Nachr.|% 83|1978|143--159| \livre H--W|\pd HARDY (G.M.) et \pd WRIGHT (E.M.)| An introduction to the theory of numbers (5\emini~\'ed.)|Oxford, Clarendon Press, {\oldstyle 1979}| \divers K--W|\pd KRASKIEWICZ (W.) et \pd WEYMAN (J.)|Algebra of invariants and the action of a Coxeter element, pr\'epublication, Institut de math\'ematique de l'Universit\'e Copernic, Toru\'n, Pologne| \livre M|\pd MACDONALD (I.G.)|Symmetric functions and Hall polynomials|Oxford, Clarendon Press, {\oldstyle 1979}| \article N--V|\pd NICOL (C.A.) et \pd VANDIVER (H.S.)|A Von Sterneck arithmetical function and restricted partitions with respect to a modulus|Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A.|40|1954|825--835| \divers R|\pd REUTENAUER (C.)|Number of permutations with given descent set and cycle stucture, \`a para\^{\i}tre dans les actes de la 21\emini\ session du S\'eminaire lotharingien de combinatoire| \rightline{\strut \vrule width 3cm height .4pt depth 0pt} \rightline{\it Institut Gaspard-Monge,} \rightline{\it Universit\'e Marne-la-Vall\'ee,} \rightline{\it 93160-Noisy-le-Grand.} \bye