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       \ialign{\hfil${}##{}$\quad&&\hfil$##$\quad\crcr %
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       #1\crcr\mathstrut\crcr\noalign{\kern-\baselineskip}}}\,}%%
% ========================================%
%                divers%
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\def\date{le {\old\number\day}\space%
    \ifcase\month\or janvier \or f\'evrier%
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   \vcenter{%
     \ialign{$##$\hfil\crcr#1\crcr}}\right.$}} %
%%%%% 'enumere plusieurs cas pr'ec'ed'es d'une accolade %
%%%%% chaque ligne se termine par un \cr%
\def\tit{{\parindent 5mm\par\vskip -1mm%
    \textindent{$\bullet$}}}%
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% le \vskip -1mm because \parskip = 2mm%%%%%
\def\cas#1{{\parindent 10mm\par\vskip -1mm\textindent{\rm #1}}}  %
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 \def\cas#1{\par\vskip -1mm{\rm #1}}  % nouvelle d'efinition !!!        %
\def\virg{\raise 2pt\hbox{,}}   % virgule apres une fraction%
\def\derive#1#2{{\ \smash{\mathop{%
    \kern 0pt\Longrightarrow}\limits_{#1}^{#2}\ }}}%
\def\chapitre#1{\vskip 10mm plus 2mm minus 1mm    %
\goodbreak\centerline{\bf #1}       %
         \vskip 2mm plus 2mm minus 1mm                \nobreak}%
 \def\paragraphe#1{\vskip 10mm plus 2mm minus 1mm                 %
 \goodbreak\noindent{\bf #1}}%
 \long\def\theo#1|#2\finth{\vskip 2mm plus 2mm minus 1mm%
      \goodbreak\noindent{\bf #1 } : {\sl #2} %
 \vskip 2mm plus 2mm minus 1mm}%
 \def\cqfd{\quad\penalty 500\raise-2pt\hbox{%
      \vrule\vbox to 10pt{\hrule width 4pt\vfill\hrule}\vrule}\par}%
\def\sur{\above .2pt}%
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\nobreak\hskip 0em plus .3em minus .4em}%
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%             note de bas de page%
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\footnote{$^{\the\notenumber}$}}\catcode`\@=12%
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%            pictures%
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\def\scaledpicture #1 by #2 (#3 scaled #4){{\dimen0=#1 %
      \dimen1=#2\divide\dimen0 by 1000   %
      \multiply\dimen0 by #4\divide\dimen1 by 1000 %
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\def\cvirg{\raise 2pt\hbox{,}}\let\cvirg=\virg%
\long\def\th#1|#2|#3\finth{%
    \par\vskip 5pt\pd #1 #2\pointir {\it #3}    \par\vskip 3pt}%
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%r\'ef\'erences%
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        \llap{[#1]\hskip.35em}{#2}\pointir #3,%
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        p.\nobreak\ #7.\par}}%
\def\livre#1|#2|#3|#4|#5|     {{%
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\let\dst=\displaystyle\let\sst=\scriptstyle%
\let\ssst=\scriptscriptstyle\let\bb=\bf%
%%%-------------------------------------------------------------------------%
%fin%


\def\bin#1{(\kern-2pt(#1)\kern-2pt)}
\def\wb#1{{}^*(\kern-2pt(#1)\kern-2pt)}      
\def\gl{GL_{n,k}}
\def\w{{\bf W}}
\def\wmn{\overline{\w M}_n}
\def\ebar{\overline{e}}

\def\mati#1#2#3#4{{\kern -3pt\vrule height 13pt depth 0pt width 0pt\left(\vcenter{
\halign{\hfill$\scriptstyle##\vphantom{/}$\hfill&\kern4pt
              \hfill$\scriptstyle##$\hfill\cr
              #1&#2\cr
              #3&#4 \cr
}}\right)}}
%ex:$$e_{\mati1234}e_{\mati{1/2}589}=e_{\mati1{3/4}{1/2}4}$$


\vskip 5cm

\centerline{{\bf  MULTIPLICATION DES MATRICES ET VECTEURS DE WITT.}}
\vskip 1cm
\centerline{ Henri GAUDIER 
\footnote{(*)}{D\'epartement de Math\'ematiques, Universit\'e de
Valenciennes, le Mont Houy, F-59326 VALENCIENNES Cedex.}
\footnote{(**)}{Pour ce travail, l'auteur a b\'en\'efici\'e du soutien 
mat\'eriel du P.R.C. Math\'ema\-tiques-Informatique 
du C.N.R.S et de l'IRMA de Strasbourg.} }
\vskip 1cm

Dans la th\'eorie classique des invariants, on consid\`ere
 $k$ un corps alg\'ebrique\-ment clos de caract\'eristique 0,
et $GL_{n,k}$ le groupe des matrices inversibles $n \times n$ 
sur $k$. On s'int\'eresse aux repr\'esentations lin\'eaires de $\gl$,
c'est \`a dire aux actions:
$$\gl \times V \longrightarrow V,$$
o\`u $V$ est un espace vectoriel sur $k$, ou bien aux homomorphismes
de groupes:
$$\rho  : \gl \longrightarrow GL(V)=GL_{m,k},$$
qui sont rationnels, et m\^eme polyn\^omiaux, c'est \`a dire que pour 
tout $i',j'$,$\;\rho ((x_{i,j}))_{i',j'}\in k[x_{i,j}]$. Le morphisme $\rho $ 
se prolonge alors en un homomorphisme multiplicatif:
$$\rho  : M_{n,k} \longrightarrow M_{m,k},$$
qui est lui aussi polyn\^omial.

Le but de ce travail est de construire un anneau, not\'e $LM_{n,k}$,
tel que tout morphisme $\rho $ ayant les propri\'et\'es pr\'ec\'edentes ait
une d\'ecomposition:
$$M_{n,k} \rightarrow  LM_{n,k} \rightarrow  M_{m,k},$$
o\`u la premi\`ere fl\`eche est un homomorphisme multiplicatif fix\'e,
et la seconde est un homomorphisme d'anneaux d\'etermin\'e de
fa\c con unique par $\rho $.  La donn\'ee d'une repr\'esentation polyn\^omiale
de $M_{n,k}$ sera donc \'equivalente \`a celle d'un module sur l'anneau
$LM_{n,k}$. On peut donc, de ce point de vue consid\'erer 
$LM_{n,k}$ comme l'alg\`ebre du mono\"\i de $M_{n,k}$ (\cf [G1]).

Dans le paragraphe 1, on traitera le cas de la caract\'eristique 0,
dans le paragraphe suivant, on s'int\'eressera \`a la caract\'eristique
 $p$, et au cas sans caract\'eristique, en prenant pour $V$ non plus
seulement un espace vectoriel, mais plus g\'en\'eralement un module
sur l'anneau des vecteurs de Witt.

\sectiona 1. Le cas de la caract\'eristique nulle|

Soit  $I=M_n({\bb N})=\{(a_{i,j})_{i,j\in [n]},\quad a_{i,j}\in \bb N\} $
on consid\`ere alors le $k$-espace vectoriel
$LM_{n,k}=k^I$. Si l'on note $(e_a)_{a\in I}$ sa base (topologique)
canonique, on \'ecrira ses \'el\'ements sous la forme 
$\sum _{a\in I}x_a\,e_a$. Consid\'erons alors le morphisme:
$$\eqalignno{
  i:M_{n,k}\rightarrow &LM_{n,k}     \cr
   (x_{i,j})\mapsto &\sum _{a\in I}\Bigl(\prod _{i,j}x_{i,j}^{a_{i,j}}\Bigr)e_a
                 =\sum _{a\in I} x^a e_a.  &(1.1)   \cr}$$
La proposition suivante est alors imm\'ediate: 
\theo Proposition 1|Tout morphisme polyn\^omial, $\rho $ de $M_{n,k}$ dans
$M_{m,k}$, se factorise de fa\c con unique par une application 
$k$-lin\'eaire $\rho ':LM_{n,k}\rightarrow M_{m,k}$.\finth

On peut alors \'enoncer le r\'esultat principal de ce paragraphe:
\theo Th\'eor\`eme 1|Il existe sur $LM_{n,k}$ une unique multiplication
telle que:

a) $LM_{n,k}$ est une $k$-alg\`ebre,

b) $i(x.y)=i(x).i(y)$,

c) pour tout homomorphisme multiplicatif $\rho $, l'application $\rho '$, de
la proposition pr\'ec\'edente est un homomorphisme  d'alg\`ebres.

Cette multiplication est donn\'ee par les formules suivantes:
$$x\,e_a.y\,e_b=\sum _{c\in I}n_{a,b,c}xy\,e_c,\eqno (1.2)$$
avec
$$n_{a,b,c}=\sum _\nu \prod _{i,j\in [n]}\bin{\nu _{i,j,1},\ldots,\nu _{i,j,n}},
\eqno (1.3)$$
o\`u la somme est \'etendue aux
$$\nu =(\nu _{i,j,k})_{i,j,k\in [n]},\qquad \nu _{i,j,k}\in \bb N ,\eqno (1.4)$$
tels que:
$$\eqalignno{
   \sum _j \nu _{i,j,k}=&a_{i,j},   &(1.5)\cr
   \sum _i \nu _{i,j,k}=&b_{k,j},   &(1.6)\cr
   \sum _k \nu _{i,j,k}=&c_{i,j}.   &(1.7)\cr }$$ \finth

On a not\'e $\bin{t_1,\ldots,t_n}$ le coefficient multin\^omial
$t_1+\cdots +t_n \choose t_1,\ldots,t_n$.

Les conditions (1.5) \`a (1.7) peuvent se repr\'esenter de la fa\c con 
suivante: si l'on repr\'esente $(\nu _{i,j,k})$ comme un tableau
tridimensionnel d'entiers (fig 1), la condition (1.5) dit que si
 l'on projette le tableau $\nu $ sur le plan de coordonn\'ees $i,k$ en 
additionnant 
les coefficients de $\nu $ qui ont m\^eme projection, on obtient  la 
matrice $a$; la condition (1.6) dit que la projection sur le plan
$j,k$ donne la transpos\'ee de $b$, et par (1.7), $c$ est obtenu
par projection sur le plan $i,j$. 
\midinsert    \vskip 11cm
\centerline{\it Figure 1}
 \endinsert

\ssection Exemple| 
Calculons le produit
$$e_{\mati0123}.e_{\mati2022}.$$

On v\'erifie que les seuls $\nu $ possibles sont les suivants: 

$$  \openup -2mm\matrix{
       & 0  &\multispan2 \hrulefill  & 1  \cr
%
   2   &\multispan2 \hrulefill & 1   &
               \vrule height 8pt depth 0pt \cr
%
\vrule height 8pt depth 5pt
       &\mid&      &\vrule height 8pt depth 5pt &
              \vrule height 12pt depth 5pt \cr
%
\vrule height 12pt depth 0pt
       & 0  &- &\vrule height 12pt   & 0  \cr
%
   2   &\multispan2 \hrulefill & 0   &  \cr  } 
\qquad {{\rm et}}\qquad 
\openup -2mm\matrix{
       & 1  &\multispan2 \hrulefill  & 0  \cr
%
   1   &\multispan2 \hrulefill & 2   &
               \vrule height 8pt depth 0pt \cr
%
\vrule height 8pt depth 5pt
       &\mid&      &\vrule height 8pt depth 5pt &
              \vrule height 12pt depth 5pt \cr
%
\vrule height 12pt depth 0pt
       & 0  &- &\vrule height 12pt   & 0  \cr
%
   2   &\multispan2 \hrulefill & 0   &  \cr  } $$
D'o\`u l'on obtient:
$$e_{\mati0123}.e_{\mati2022}=6\,e_{\mati0141}+3\,e_{\mati1032}.$$


\ssection Remarques|
Il est facile de voir que beaucoup de coefficients $n_{a,b,c}$ 
sont nuls: pour avoir un coefficient non nul on doit \'evidemment
avoir:
$$\sum _{i,k}a_{i,k}=\sum _{k,j}b_{k,j}=\sum _{i,j}c_{i,j}.$$
Plus pr\'ecis\'ement on doit m\^eme avoir:
$$\eqalign{
 \sum _i a_{i,k}=\sum _j b_{k,j}&\qquad {\rm pour\;\; tout }\quad k,\cr
 \sum _k a_{i,k}=\sum _j c_{i,j}&\qquad {\rm pour\;\; tout }\quad i,\cr
 \sum _k b_{k,j}=\sum _i c_{i,j}&\qquad {\rm pour\;\; tout }\quad j.\cr                                                           
  }$$
Rappelons d'autre part que la th\'eorie classique des invariants dit
que toute repr\'esentation lin\'eaire de $\gl$ est semi-simple, il en 
r\'esulte que l'anneau $LM_{n,k}$ se d\'ecompose en un produit 
d'anneaux isomorphes \`a des anneaux de matrices. La remarque 
ci-dessus permet de commencer cette d\'ecomposition. 

Remarquons enfin que l'\'el\'ement unit\'e de l'anneau $LM_{n,k}$ est:
$$i\pmatrix{1 & 0 & \ldots & 0  \cr
               0 & \ddots & \ddots &\vdots \cr
              \vdots & \ddots & \ddots & 0  \cr
                0      & \ldots &     0    & 1  \cr} =
  \sum _d e_d,$$
o\`u la somme est \'etendue \`a toute les matrices diagonales $d$.



\sectiona 2. Le cas de la caract\'eristique $p$, et le cas sans 
caract\'eristique|
Commen\c cons par nous placer en caract\'eristique $p$. Le corps  $k$, 
est suppos\'e alg\'ebriquement clos ou parfait de caract\'eristique $p$,
et au lieu de regarder les repr\'esentations de $\gl$ dans un espace
vectoriel sur $k$, nous allons g\'en\'eraliser en regardant les 
repr\'esentations de $\gl$ dans un module sur un anneau "alg\'ebrique"
sur $k$. On d\'emontre [G1] que sous certaines hypoth\`eses peu 
restrictives, cela revient \`a regarder les repr\'esentations 
polyn\^omiales de $\gl$ dans un module sur l'anneau des 
$p$-vecteurs de Witt. Comme dans le cas de la caract\'eristique 0,
on doit alors construire une $W$-alg\`ebre $WM_n$ et un morphisme
 multiplicatif $i:M_{n,k}\rightarrow WM_n$, tel que tout morphisme 
multiplicatif $\rho :M_{n,k}\rightarrow A$ o\`u $A$ est une $W$-alg\`ebre, admette 
une d\'ecomposition unique $\rho =\rho '.i$, o\`u $\rho ':WM_n\rightarrow A$ est un 
homomorphisme de $W$-alg\`ebres.

Pour \'eviter des redites et parce que les constructions en 
caract\'eristique $p$, et sans caract\'eristique sont tr\`es semblables,
nous allons tout de suite nous placer dans ce dernier cas et 
construire  l'alg\`ebre $\w M_n$ sur l'anneau $\w$ des vecteurs de 
Witt au dessus de l'anneau des entiers.

\ssection L'anneau des vecteurs de Witt|
Donnons tout d'abord une pr\'esentation tr\`es succinte des vecteurs 
de Witt. Pour une description plus pr\'ecise, le lecteur pourra se
reporter \`a [G2] ou \`a [DS].

Si $R$ est un anneau commutatif avec unit\'e, l'anneau $\w$ est d\'efini
par:
$$ \w(R)=R^{\bb N}=\{(a_1,\ldots,a_n,\ldots)\quad a_n\in R\} .$$
L'addition et la multiplication dans $\w(R)$ sont telles que pour tout
entier $n$, le morphisme
$$\eqalign{
w_n:\w(R)&\rightarrow R  \cr
(a_1,\ldots,a_n,\ldots)&\mapsto \sum _{d|n}d\,a_d^{n/d},\cr  }$$
est un homomorphisme d'anneaux. On d\'emontre que les composantes 
de la somme et du produit de deux vecteurs de Witt s'expriment 
comme des polyn\^omes \`a coefficients entiers en les composantes de
ces deux vecteurs.

Si $a\in R$, on pose $\tau (a)=(a,0,0,\ldots)\in \w(R)$.On a alors:
$$\tau (a).(a_1,\ldots,a_n,\ldots)=
(aa_1,a^2a_2,\ldots,a^na_n,\ldots).$$

On note $V_m$ l'homomorphisme de groupe $\w\rightarrow \w$ tel que:
$$V_m(a_1,\ldots,a_n,\ldots)=
(\underbrace{0,\ldots,0}_{n-1\ {\rm fois}},
a_1,\underbrace{0,\ldots,0}_{n-1\ {\rm fois}},
a_2,0\ldots).$$

On note $F_m$ l'unique homomorphisme d'anneaux $\w\rightarrow \w$ tel que
$F_m(\tau (a))=\tau (a^m)$.

Enfin si $i_1,\ldots,i_n \in \bb Q_\geq $ i.e. $ i_k \geq 0$, on note 
$\wb{i_1,\ldots,i_n}$ le vecteur de Witt tel que:
$$\eqalign{w_m(\wb{i_1,\ldots,i_n})=
        &\,\bin{mi_1,\ldots,mi_n}\quad{\rm si}\quad
                       mi_1,\ldots,mi_n\in \bb N,      \cr
       =&\;0\qquad \qquad \qquad {\rm sinon.}               \cr}$$
On montre alors [G2] que si $i_1+\cdots+i_n\in \bb N$, si 
$l|(i_1+\cdots+i_n)$ et $pgcd(l,i_1,\ldots,i_n)=1$, alors
$\wb{i_1,\ldots,i_n}/l\in \w(\bb Z)$.

Si $p$ est un nombre premier, l'anneau des $p$-vecteurs de Witt
est l'anneau quotient de $\w$  d\'efini par la projection :
$$\eqalign{ \pi :\w&\rightarrow W \cr
    (a_1,\ldots,a_n,\ldots) &\mapsto 
        (a_1,a_p,\ldots,a_{p^n},\ldots).\cr}$$
On notera $V$ et $F$ les images par $\pi $ des homomorphismes $V_p$ 
et $F_p$ de $\w$, et par $^p\bin{i_1,\ldots,i_n}$ celle de 
$\wb{i_1,\ldots,i_n}$.


\ssection Construction de $\w M_n$|
Soit $J=M_n(\bb Q_\geq )$, si $a=(a_{i,j})\in J$, on pose
$d(a)=ppcm({\rm d\acute enominateur}\;a_{i,j})$. On consid\`ere alors
le $\w$-module:
$$\wmn=\w^J=\Bigl\{\sum _{a\in J}x_a\ebar_a\Bigr\} ,$$
que l'on munit de la multiplication:
$$x\,\ebar_a.y\,\ebar_b=\sum _{c\in J}n_{a,b,c}xy\,\ebar_c,\eqno (2.1)$$
avec
$$n_{a,b,c}=\sum _\nu \prod _{i,j\in [n]}\wb{\nu _{i,j,1},\ldots,\nu _{i,j,n}},
\eqno (2.2)$$
o\`u la somme est \'etendue aux
$$\nu =(\nu _{i,j,k})_{i,j,k\in [n]},\qquad \nu _{i,j,k}\in \bb Q_\geq  ,\eqno (2.3)$$
v\'erifiant les relations (1.5) \`a (1.7).

\theo Proposition 2| $\wmn$ est une alg\`ebre associative sans \'el\'ement
unit\'e, et 
$$\varepsilon =\sum _{a\;{\rm diagonale}}\wb{0,1/d(a)}\ebar_a$$
est un idempotent central.         \finth

Consid\'erons maintenant $\w M_n$ une autre copie de $\w^J$ de base
$(e_a)_{a\in J}$, et le morphisme:
$$\eqalign{\varphi :\w M_n&\rightarrow \wmn  \cr
                 w\,e_a&\mapsto {1\over d(a)}V_{d(a)}(w)\,\ebar_a.\cr}$$

\theo Th\'eor\`eme 2 |
1) L'homomorphisme $\varphi $ est injectif et a pour image $\varepsilon \wmn$, il
donne donc \`a $\w M_n$ une structure de $\w$-alg\`ebre avec 
unit\'e.

2) Le morphisme :
$$\eqalign{ j:M_n&\rightarrow \w M_n   \cr
     (x_{i,j})&\mapsto \sum _{a\in J}\tau \bigl(x^{d(a)a}\bigr)e_a,   \cr}$$
est compatible avec la multiplication.    \finth

\ssection Remarques| 1) Dans l'alg\`ebre $\wmn$, la multiplication
est d\'efinie par des polyn\^omes \`a coefficients dans $\bb Q$, donc
$\wmn(R)$ n'a de sens que si $R$ est une $\bb Q$-alg\`ebre. Par contre
dans $\w M_n$ la multiplication est d\'efinie par des polyn\^omes
\`a coefficients entiers et $\w M_n$ a donc un sens pour tout anneau
$R$. On peut d'ailleurs donner la formule de la multiplication:
$$\displaylines{
xe_a.ye_b=\sum _c\sum _\nu  \hfill \cr
\hfill V_{d(\nu )/d(c)}\Bigl[{d(c)\over d(\nu )}\prod _{i,j}
 \wb{d(\nu )\nu _{i,j,1},\ldots,d(\nu )\nu _{i,j,n}} 
F_{d(\nu )/d(a)}(x)\,F_{d(\nu )/d(b)}(y) \Bigr]e_c.\cr}$$

2) Le morphisme multiplicatif $\varphi .j :M_n\rightarrow \wmn$ est donn\'e par:
$$\varphi .j(x)=\sum _a \wb{0,1/d(a)}\tau (x^a) \ebar_a.$$

Il est clair alors que tout $\w M_n$-module donne par l'interm\'ediaire 
du morphisme $j$ une repr\'esentation polyn\^omiale \`a coefficients
entiers de $M_n$ dans un $\w$-module. Je ne sais pas encore si l'on
obtient ainsi toutes les repr\'esentations.

\ssection Exemple| Calculons le produit
$$\ebar_{\mati0123}.\ebar_{\mati2022}.$$
On obtiendra cette fois ci une infinit\'e de tableaux $\nu $ qui seront 
de la forme:
\vskip1mm
$$\openup -2mm\matrix{
       & \alpha   &\multispan2 \hrulefill  & 1-\alpha   \cr
%
   2-\alpha    &\multispan2 \hrulefill & 1+\alpha    &
               \vrule height 8pt depth 0pt \cr
%
\vrule height 8pt depth 5pt
       &\mid&      &\vrule height 8pt depth 5pt &
              \vrule height 12pt depth 5pt \cr
%
\vrule height 12pt depth 0pt
       & 0  &- &-\;\vrule height 12pt \; - & -\; 0 \;\hphantom{-}  \cr
%
   2   &\multispan2 \hrulefill & 0   &  \cr  } .$$
Ce qui donne:
$$\eqalign{\ebar_{\mati0123}.\ebar_{\mati2022}&=
\sum _{\alpha \in [0,1]}\wb{2,2-\alpha }\,\ebar_{\mati{\alpha }{1-\alpha }{4-\alpha }{1+\alpha }}\,,\cr
&=\wb{2,2}\,\ebar_{\mati0141}+\wb{2,1}\,\ebar_{\mati1032}+
    \wb{2,3/2}\ebar_{\mati{1/2}{1/2}{7/2}{3/2}}  \cr
&\;+ \wb{2,5/3}\ebar_{\mati{1/3}{2/3}{11/3}{4/3}} +
       \wb{2,4/3}\ebar_{\mati{2/3}{1/3}{10/3}{5/3}} +\cdots
\cr}$$
Dans l'alg\`ebre $\w M_n$ on a:
$$\eqalign{x\,e_{\mati0123}.y\,e_{\mati2022}&=
\sum _{\alpha \in [0,1]}\wb{d(\alpha )2,d(\alpha )(2-\alpha )}\,F_{d(\alpha )}(xy)\,
e_{\mati{\alpha }{1-\alpha }{4-\alpha }{1+\alpha }}\,,\cr
&=\wb{2,2}\,xy\,e_{\mati0141}+\wb{2,1}\,xy\,e_{\mati1032} \cr
   &\;+ \wb{4,3}\,F_2(xy)\,e_{\mati{1/2}{1/2}{7/2}{3/2}}  
     + \wb{6,5}\,F_3(xy)\,e_{\mati{1/3}{2/3}{11/3}{4/3}} \cr
    &\; +\wb{6,4}\,F_3(xy)\,e_{\mati{2/3}{1/3}{10/3}{5/3}}+\cdots 
\cr}$$

\ssection Le cas de la caract\'eristique $p$|
On construit des anneaux $\overline{WM}_n,\;WM_n$ et le
morphisme $j_p$ de la m\^eme fa\c con que 
$\wmn,\;\w M_n$ et $j$ en rempla\c cant simplement $\bb Q_\geq $
par ${\bb N}[p^{-1}]$, les coefficients $\wb{\ldots}$ sont alors 
remplac\'es par leurs projections $^p\bin{\ldots}$. On obtient alors: 

\theo Th\'eor\`eme 3| La multiplication dans $WM_n$ est \`a coefficients 
dans ${\bb F}_p$,
et il y a \'equivalence entre les repr\'esentations $W$-lin\'eaires de
$M_n$ et les modules sur la $W$-alg\`ebre $WM_n$, l'\'equivalence se
faisant \`a l'aide du morphisme $j_p$. \finth

{\bf R\'ef\'erences:}\par\nobreak
[DS]  A.W.M. DRESS, Ch. SIEBENEICHER\pointir {\it The Burnside 
ring of profinite groups and the Witt vector construction.}
Advances in Math., {\bf 70}, (1988), 87-132.

[G1] H. GAUDIER\pointir {\it Groupes libres et alg\`ebres de groupes en
G\'eom\'etrie alg\'ebrique.} Manuscr. Math., {\bf 25}, (1978), 79-96.

[G2] H. GAUDIER\pointir {\it Rel\`evement des coefficients bin\^omiaux 
dans les vecteurs de Witt.} S\'eminaire Lotharingien de Combinatoire
 18\emini\ session. Publ. Math. IRMA Strasbourg n\omini\ 358/S18,
(1988), 93-108.
   




\bye
%fin