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Singularités franco-japonaises
Jean-Paul Brasselet - Tatsuo Suwa (Éd.)
Séminaires et Congrès 10 (2005), xxxii+460 pages

On some classes of weakly Kodaira singularities
Tadashi Tomaru
Séminaires et Congrès 10 (2005), 323-340
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Résumé :
Sur certaines classes de singularités faiblement Kodaira
Dans cet article, nous montrons certaines relations entre les singularités de surfaces et les pinceaux de courbes algébriques complexes compactes. Soit (X,o) une singularité de surface complexe normale. Soit p_f(X,o) le genre arithmétique du cycle fondamental associé à (X,o). S'il existe un pinceau de courbes de genre p_f(X,o) (i.e., s'il existe une application holomorphe propre $\Phi \colon S \to \Delta$, entre une surface complexe non-singulière et un petit disque ouvert dans $\mathbb {C} ^1$ autour de l'origine $\{0\}$ tels que la fibre soit une courbe algébrique lisse compacte de genre p_f(X,o) pour tout $t\neq 0$) et une résolution $(\widetilde X,E) \to (X,o)$ telle que $(S,\mathrm {supp} (S_o)) \supset (\widetilde X,E)$, alors on dit que (X,o) est une singularité faiblement Kodaira. Toute singularité Kodaira dans le sens de Karras est une singularité faiblement Kodaira. Dans cet article, nous montrons certaines conditions suffisantes pour que les singularités de surface de certaines classes soient des singularités faiblement Kodaira.

Mots clefs : Singularité normale de surface, genre d'un pinceau, pinceau de courbes, singularité faiblement Kodaira

Abstract:
In this paper, we prove some relations between surface singularities and pencils of compact complex algebraic curves. Let (X,o) be a complex normal surface singularity. Let p_f(X,o) be the arithmetic genus of the fundamental cycle associated to (X,o). If there is a pencil of curves of genus p_f(X,o) (i.e., $\Phi \colon S \to \Delta$, where $\Phi$ is a proper holomorphic map between a non-singular complex surface and a small open disc in $\mathbb {C} ^1$ around the origin $\{0\}$ and the fiber $S_t=\Phi ^{-1}(t)$ is a smooth compact algebraic curve of genus p_f(X,o) for any $t\neq 0$) and a resolution $(\widetilde X,E) \to (X,o)$ such that $(S,\mathrm {supp} (S_o)) \supset (\widetilde X,E)$, then we call (X,o) a weakly Kodaira singularity. Any Kodaira singularity in the sense of Karras is a weakly Kodaira singularity. In this paper we show some sufficient conditions for surface singularities of some classes to be weakly Kodaira singularities.

Key words: Normal surface singularity, pencil genus, pencil of curves, weakly Kodaira singularity

Class. math. : Primary 32S10, 32S25; Secondary 14D06

ISBN : 2-85629-166-X
ISSN : 1285-2783