 Séminaires et Congrès - 4 - pages 179-200 | |
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Global Analysis and Harmonic Analysis
Jean Pierre Bourguignon - Thomas Branson - Oussama Hijazi (Ed.)
Séminaires et Congrès 4 (2000), xxiv+328 pages
Curvature and Smooth Topology - in Dimension Four
Claude LeBrun
Séminaires et Congrès 4 (2000), 179-200
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Résumé :
Courbure et topologie lisse en dimension 4
La théorie de Seiberg-Witten révèle des liens étonnants entre la géométrie riemannienne et la topologie lisse en dimension 4. En particulier, sur une variété compacte dont un invariant Seiberg-Witten ne s'annule pas, la norme de la courbure scalaire est minorée, d'une manière uniforme et non triviale, pour toute métrique riemannienne. Cependant, on a récemment démontré [26, 27] des estimées analogues à l'égard de la courbure de Weyl. Dans cet article, nous rendrons compte de ces estimées de courbure, y compris leurs conséquences pour la théorie des variétés d'Einstein. Nous finissons par un examen du problème d'optimalité des estimées actuelles, en reliant cette question à une conjecture en géométrie kählérienne.
Abstract:
Seiberg-Witten theory leads to a delicate interplay between Riemannian geometry and smooth topology in dimension four. In particular, the scalar curvature of any metric must satisfy certain non-trivial estimates if the manifold in question has a non-trivial Seiberg-Witten invariant. However, it has recently been discovered [26, 27] that similar statements also apply to other parts of the curvature tensor. This article presents the most salient aspects of these curvature estimates in a self-contained manner, and shows how they can be applied to the theory of Einstein manifolds. We then probe the issue of whether the known estimates are optimal by relating this question to a certain conjecture in Kähler geometry.