Juan
D. Vélez Universidad Nacional de Colombia, Medellín, Colombia
Resumen.
El número de Milnor es un invariante fundamental del tipo de
biholomorfismo de un germen de una función holomorfa f definida en una
vecindad abierta W de 0∈ Cn, tal que 0 es el único
punto crítico de f en W. En este artículo presentamos una
conjetura que daría una interpretación de este invariante en el
caso n=2, como una cota inferior exacta para el número de factores de cualquier factorización en términos de giros de Dehn derechos
de la monodromía alrededor de la fibra singular de f. Además,
hacia el final del artículo, se describe brevemente una conjetura
análoga para el caso en que tenemos una función holomorfa
propia f:E→ Dr0 donde E
es una superficie compleja con frontera,
Dr0 es {z∈ C:|z|<
r}, f tiene a f - 1(0) como su única
fibra singular y todas las otras fibras son 2-variedades cerradas
conexas de género, necesariamente constante, g≥ 0. Esta
última conjetura ha sido demostrada recientemente por los autores en
el caso en que el género de la fibra regular es 1
([3]), y en ([5]), ese autor construye,
para cada g≥ 2, una
fibración fg:Eg →
D10 cuya fibra regular tiene
género g y que viola esta conjetura.
Abstract.
The Milnor number is a fundamental invariant of the
biholomorphism type of the singularity of the germ of a holomorphic
function f defined on an open neighborhood W of 0∈ Cn, and such that 0 is
the only critical point of f in W. The present
article describes a conjecture that would provide an interpretation of
this invariant, in the case n=2, as a sharp lower bound for
the number of factors in any factorization in terms of
right-handed Dehn twists of the monodromy around the singular fiber
of f. Also, towards the end of the paper, an analogue
conjecture for proper holomorphic maps f:E→
Dr0 where E is a complex surface
with boundary, Dr0 is {z∈ C:|z|< r}, and f has f - 1(0) as its unique singular fiber and all
other fibers are closed and connected 2-manifolds of (necessarily the
same) genus g≥ 0, is briefly described. The latter
conjecture has been proved recently by the authors in the case when
the regular fiber of f has genus 1 ([3]), and
in ([5]), that author provides for each g≥ 2 an fg:Eg →
D10 having genus g regular fiber
and violating this conjecture.
Palabras claves. Milnor number,
monodromy, right handed Dehn twist, morsification.
