Resumen.
La función de Goodstein $\G:\N\to\N$ es un ejemplo de una
función recursiva {\em de crecimiento rápido}. Introducida en 1944 por
R. L. Goodstein \cite{Goodstein}, Kirby y Paris \cite{KirbyParis}
demostraron en 1982, usando técnicas de teorí{}a de modelos,
que el resultado de Goodstein de que $\G$ es {\em total}, es decir, que
$\G(n)$ está definida para todo $n\in\N$, no es un teorema de la
Aritmética de Peano de primer orden. Calculamos la función de
Goodstein en términos de la jerarquí{}a de funciones de
crecimiento rápido de Löb y Wainer; usando esto y resultados
clásicos de teorí{}a de la demostración acerca de esta
jerarquí{}a, el teorema de Kirby y Paris se sigue de inmediato.
También calculamos las funciones de la jerarquí{}a de Hardy en
términos de las funciones de Löb y Wainer, con lo que obtenemos
una nueva demostración de un resultado similar, debido a Cichon
\cite{Cichon}.
Abstract.
Goodstein's function $\G:\N\to\N$ is an example of a {\em fast
growing} recursive function. Introduced in 1944 by R. L. Goodstein
\cite{Goodstein}, Kirby and Paris \cite{KirbyParis} showed in 1982,
using model theoretic techniques, that Goodstein's result that $\G$
is {\em total}, i.e., that $\G(n)$ is defined for all $n\in\N$, is
not a theorem of first order Peano Arithmetic. We compute
Goodstein's function in terms of the Löb-Wainer fast growing
hierarchy of functions; from this and standard proof theoretic
results about this hierarchy, the Kirby-Paris result follows
immediately. We also compute the functions of the Hardy hierarchy in
terms of the Löb-Wainer functions, which allows us to provide a
new proof of a similar result, due to Cichon \cite{Cichon}.
Palabras claves. Función de Goodstein, jerarquía de Hardy, jerarquía de crecimiento rápido, aritmética de Peano.
