Resumen.
El axioma de elección dice que para cada colección de conjuntos (es decir
conjunto de conjuntos) $X$, existe una función $f$ tal que $f(x)\in x$ para
todos los $x\in X$ no vacíos, es decir, la función $f$ selecciona un elemento
de cada conjunto de la colección $X$; a dicha función la llamamos función
electora. Se acostumbra debilitar dicho axioma imponiendo condiciones sobre el
conjunto $X$ como por ejemplo: ``$X$ es una colección de $n$-conjuntos, es
decir que los elementos de $X$ son conjuntos finitos de tamaño $n $'' o
debilitando la función electora $f$ al cambiar la condición $f(x)\in x$ por
$\emptyset \neq f(x)\subsetneq x$, en este último caso decimos que $f$ es una
función selectora. Decimos que el criterio $S_{n}$ es válido en un modelo
$\mathcal{M}$ si todas las colecciones de $n $-conjuntos $X$ en $\mathcal{M}$,
tienen una función selectora. En el presente trabajo se exhibe un modelo de
permutación de soporte finito [2, capítulo 4] donde el criterio $S_{n}$ es
falso para todos los enteros $n$ de la forma $2^{k}$, con $k$ natural y es
válido para el resto de los naturales.
Abstract.
The axiom of choice says that for any collection of sets (or for any set of
sets) $X$, exists a function $f$ such that $f(x)\in x$ for all non empty $x\in
X$, i.e. $f$ takes an element in each set of the collection $X$, such function
is called a \textit{choice function}, it is customary to weak the axiom of
choice by putting some extra condition for the set $X$ such that: ``$X$ is a
$n$-set collection, meaning that the elements of $X$ are finite sets of size
$n$'' or in the other hand, weakening the choice function $f$ by changing the
condition $f(x)\in x$ by the simpler one $\emptyset \neq f(x)\subsetneq x$, in
this last case we say that $f$ is a \textit{sellector function}. We say that
the $S_n$ criterion is true in a model $\mathcal{M}$ if all the possible
collections of $n$-sets $X$ in $\mathcal{M}$, have a sellector function. In
the present work we exhibit a permutation model of finite support [2, chapter
4] where the $S_{n}$ criterion fails for all the naturals $n$ of the form
$2^{k}$ with $k$ natural, and works for the rest of the naturals.
