Débora Tejada Universidad Nacional de Colombia, Medellín
Margarita Toro Universidad Nacional de Colombia, Medellín
Resumen.
Una triangulación $\Delta$ de $S^{3}$ define un único número
$m\leq4,$ un subgrafo $\Gamma$ de $\Delta$ y una representación
$\omega(\Delta)$ de $\pi_{1}(S^{3}\backslash\Gamma)$ en $\Sigma_{m.}$
Se sabe que cada $(K,\omega)$, donde $K$ es un nudo o enlace en
$S^{3}$ y $\omega$ es una representación transitiva de
$\pi_{1}(S^{3}\backslash K)$ en $\Sigma_{m},$ $2\leq m\leq3,$ es igual
a $\omega(\Delta)$ para algún $\Delta$. De esto se obtiene una
representación de 3-variedades cerradas y orientables por
triangulaciones de $S^{3}$. Este es un teorema de Izmestiev y Joswig
pero, en contraste con su prueba, el método en este artículo es
constructivo. Este trae consigo una nueva representación de nudos y
enlaces llamada representación mariposa. Se dan algunas
generalizaciones.
Abstract.
A triangulation $\Delta$ of $S^{3}$ defines uniquely a number
$m\leq4,$ a subgraph $\Gamma$ of $\Delta$ and a representation
$\omega(\Delta)$ of $\pi_{1}(S^{3}\backslash\Gamma)$ into
$\Sigma_{m.}$ It is shown that every $(K,\omega)$, where $K$ is a knot
or link in $S^{3}$ and $\omega$ is transitive representation of
$\pi_{1}(S^{3}\backslash K)$ in $\Sigma_{m},$ $2\leq m\leq3,$ equals
$\omega(\Delta)$, for some $\Delta$. From this, a representation of
closed, orientable 3-manifolds by triangulations of $S^{3}$ is
obtained. This is a theorem of Izmestiev and Joswig, but, in contrast
with their proof, the methods in this paper are constructive. Some
generalizations are given. The method involves a new representation of
knots and links, which is called a butterfly representation.
* (1) Work supported by BMF-2002-04137-C02-01
(2) Work partially supported by COLCIENCIAS 1118-05-13631, DIME 030802721 and by the Group of Mathematics UNAL-Medellín.
