Un grupo de Schottky de rango g es un grupo Kleiniano puramente loxodrómico, con región de discontinuidad no vacía, e isomorfo al grupo libre de rango g.

Un grupo de Schottky virtual es un grupo Kleiniano K que contiene un grupo de Schottky Γ como subgrupo de índice finito. En tal caso, sea g el rango de Γ. El grupo K es un grupo Kleiniano elemental si y sólo si g ∈ {0,1}. Más aún, para cada g ∈ {0,1} y para cada entero n ≥ 2, es posible construir Γ and K de manera que Γ tenga índice n en K. Si g ≥ 2, entonces el índice de Γ en K es a lo más 12(g-1).

Si K contiene un subgrupo de Schottky de rango g ≥ 2 e índice 12(g-1), entonces K es llamado un grupo de Schottky virtual maximal. Proveemos ejemplos explícitos de grupos de Schottky virtuales maximales y correspondientes subgrupos de Schottky normales de rango g ≥ 2 e índice 12(g-1). Todo grupo de Schottky virtual maximal es cuasiconformemente conjugado a uno de estos ejemplos.

El espacio de Schottky de rango g, denotado por mathcal S_g, es una variedad compleja finito dimensional que parametriza las deformaciones cuasiconformes de grupos de Schottky de rango g. Si g ≥ 2, entonces mathcal S_g tiene dimensión 3(g-1). Cada grupo de Schottky virtual, conteniendo un grupo de Schottky de rango g como subgrupo de índice finito, produce un subconjunto en mathcal S_g, llamado un estrato de Schottky. Los grupos de Schottky virtuales maximales producen el estrato de Schottky maximal. Como consecuencia de los resultados obtenidos, se obtiene que el estrato de Schottky maximal es la unión disjunta de incrustaciones de espacios de deformación cuasiconforme de grupos de Schottky virtuales maximales.

A virtual Schottky group is a Kleinian group K containing a Schottky group Γ as a finite index subgroup. In this case, let g be the rank of Γ. The group K is an elementary Kleinian group if and only if g ∈ {0,1}. Moreover, for each g ∈ {0,1} and for every integer n ≥ 2, it is possible to find K and Γ as above for which the index of Γ in K is n. If g ≥ 2, then the index of Γ in K is at most 12(g-1).

If K contains a Schottky subgroup of rank g ≥ 2 and index 12(g-1), then K is called a maximal virtual Schottky group. We provide explicit examples of maximal virtual Schottky groups and corresponding explicit Schottky normal subgroups of rank g ≥ 2 of lowest rank and index 12(g-1). Every maximal Schottky extension Schottky group is quasiconformally conjugate to one of these explicit examples.

Schottky space of rank g, denoted by mathcal S_g, is a finite dimensional complex manifold that parametrizes quasiconformal deformations of Schottky groups of rank g. If g ≥ 2, then mathcal S_g has dimension 3(g-1). Each virtual Schottky group, containing a Schottky group of rank g as a finite index subgroup, produces a sublocus in mathcal S_g, called a Schottky strata. The maximal virtual Schottky groups produce the maximal Schottky strata. As a consequence of the results, we see that the maximal Schottky strata is the disjoint union of properly embedded quasiconformal deformation spaces of maximal virtual Schottky groups.