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Fu(p)21386 -901 y Fn(\241)p Fp(v)22576 -790 y Fj(p)23057 -901 y Fq(\()p Fp(x)p Fq(\))24866 -418 y Fv(its)493 b(absolute)f(v)-72 b(alue.)754 b(The)492 b(Igusa)h(lo)36 b(cal)493 b(zeta)f(function)800 1131 y(asso)36 b(ciated)435 b(to)e Fu(f)576 b Fv(and)433 b Fu(p)g Fv(is)h(de\257ned)e(as)i(follo)-36 b(ws:)16145 4147 y Fu(Z)95 b Fv(\()p Fu(s;)221 b(f)142 b Fv(\))369 b(=)21870 2339 y Fm(Z)22608 5346 y Fi(Z)23198 5094 y Fj(n)23198 5568 y(p)24041 4147 y Ft(j)p Fu(f)142 b Fv(\()p Fu(x)p Fv(\))p Ft(j)27313 3599 y Fp(s)27313 4475 y(p)28211 4147 y Ft(j)369 b Fu(dx)g Ft(j)p Fu(;)1993 b(s)368 b Ft(2)h Fs(C)p Fu(;)800 7643 y Fv(where)529 b(Re)q(\()p Fu(s)p Fv(\))i Fu(>)g Fv(0,)554 b(and)529 b Ft(j)j Fu(dx)g Ft(j)d Fv(denotes)g(the)g(Haar)h(measure)f(on)g Fs(Q)36367 7161 y Fp(n)36367 7971 y(p)37523 7643 y Fv(so)g(normalized)h(that)f Fs(Z)49759 7161 y Fp(n)49759 7971 y(p)50914 7643 y Fv(has)800 9250 y(measure)315 b(1.)539 b(The)315 b(follo)-36 b(wing)317 b(relation)e(b)36 b(et)-36 b(w)g(een)315 b Fu(Z)95 b Fv(\()p Fu(s;)221 b(f)142 b Fv(\))315 b(and)g Fu(H)103 b Fv(\()p Fu(t;)221 b(f)142 b Fv(\))314 b(holds)h(\(see)g([)p 0 1 0 0 TeXcolorcmyk(14)p (#cite.I1) [[450 634 461 646] [1 1 1 [3 3]] [0 0 1]] pdfm Black 1 w(],)339 b(theorem)314 b(8.2.2\):)17683 12427 y Fu(H)103 b Fv(\()p Fu(t;)221 b(f)142 b Fv(\))369 b(=)23593 11528 y(1)295 b Ft(\241)h Fu(tZ)95 b Fv(\()p Fu(s;)221 b(f)142 b Fv(\))p 23593 12121 6720 54 v 25581 13338 a(1)295 b Ft(\241)h Fu(t)30445 12427 y(;)655 b(t)369 b Fv(=)f Fu(p)34333 11878 y Fn(\241)p Fp(s)35555 12427 y Fu(:)800 15394 y Fv(Th)-36 b(us,)562 b(the)536 b(rationalit)-36 b(y)538 b(of)f Fu(Z)95 b Fv(\()p Fu(s;)221 b(f)142 b Fv(\))537 b(implies)g(the)f(rationalit)-36 b(y)538 b(of)f(the)f(P)-36 b(oincar)g(\266)-614 b(e)537 b(series)g Fu(H)103 b Fv(\()p Fu(t;)221 b(f)142 b Fv(\),)562 b(and)800 16944 y(the)460 b(computation)g(of)h Fu(H)103 b Fv(\()p Fu(t;)221 b(f)142 b Fv(\))460 b(is)922 b(equiv)-72 b(alen)-36 b(t)461 b(to)f(the)g (computation)g(of)p Fu(Z)95 b 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Fs(F)28466 45641 y Fp(p)29364 45442 y Ft(j)p 30102 44360 783 54 v 369 w Fu(f)142 b Fv(\()p 31391 44710 664 54 v Fu(z)59 b Fv(\))369 b Ft(6)p Fv(=)g(0)p Ft(g)p Fu(;)11762 47675 y(\261)50 b Fv(\()p 12894 46593 783 54 v Fu(f)142 b Fv(\))368 b(=)h(Card)p Ft(f)p 19414 46943 664 54 v Fu(z)429 b Ft(2)368 b Fs(F)22513 47874 y Fp(p)23411 47675 y Ft(j)p 24149 46943 V 369 w Fu(z)493 b Fv(is)434 b(a)g(simple)f(ro)36 b(ot)434 b(of)p 35955 46593 783 54 v 435 w Fu(f)142 b Fv(\()p 37244 46943 664 54 v Fu(z)59 b Fv(\))369 b(=)f(0)p Ft(g)p Fu(:)2128 49506 y Fv(W)-108 b(e)435 b(shall)g(use)f Ft(f)p Fv(0)p Fu(;)221 b Fv(1)p Fu(;)g Ft(\242)g(\242)g(\242)446 b Fu(;)221 b(p)296 b Ft(\241)g Fv(1)p Ft(g)372 b(\265)f Fs(Z)21619 49705 y Fp(p)22582 49506 y Fv(as)435 b(a)f(set)h(of)g (represen)-36 b(tativ)g(es)434 b(of)i(the)e(elemen)-36 b(ts)434 b(of)h Fs(F)48982 49705 y Fp(p)49882 49506 y Fv(=)370 b Fs(Z)p Fu(=)800 51109 y(p)p Fs(Z)551 b Fv(=)f Ft(f)p 5116 50094 651 54 v Fv(0)q Fu(;)p 6349 50094 V 221 w Fv(1)q 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b Fu(dx)g Ft(j)14755 30563 y Fv(+)p Fu(p)16420 30014 y Fn(\241)p Fq(1)p Fn(\241)p Fq(3)p Fp(s)19536 28755 y Fm(Z)20274 31762 y Fi(Z)20864 31873 y Fj(p)21623 30563 y Ft(j)p Fu(f)22633 30762 y Fp(c)23096 30563 y Fv(\()p Fu(x)p Fv(\))p Ft(j)25216 30014 y Fp(s)25216 30891 y(p)26114 30563 y Ft(j)g Fu(dx)g Ft(j)g Fv(.)p Black 20391 w(\(3.1\))p Black 800 33999 a(W)-108 b(e)550 b(apply)g(SPF)g(to)g(the)f(in)-36 b(tegrals)551 b(in)-36 b(v)g(olving)551 b Fu(f)25602 34198 y Fp(a)26158 33999 y Fv(\()p Fu(x)p Fv(\))e(and)h Fu(f)31745 34198 y Fp(c)32208 33999 y Fv(\()p Fu(x)p Fv(\))g(in)g(\()p 0 1 0 0 TeXcolorcmyk(3.1)p (#equation.3.1) [[402 411 417 423] [1 1 1 [3 3]] [0 0 1]] pdfm Black(\).)928 b(First,)579 b(w)-36 b(e)551 b(consider)f(the)800 35703 y(in)-36 b(tegral)467 b(corresp)36 b(onding)467 b(to)933 b Fu(f)16683 35902 y Fp(a)17239 35703 y Fv(\()p Fu(x)p Fv(\).)677 b(Since)p 23458 34548 2947 54 v 467 w Fu(f)24099 35902 y Fp(a)24654 35703 y Fv(\()p Fu(x)p Fv(\))425 b(=)g(\()p Fu(x)318 b 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Fn(\241)p Fq(1)16191 2249 y Fv(\()p Fu(p)295 b Ft(\241)g Fv(3\))h(+)21864 1350 y(\(1)g Ft(\241)f Fu(p)25297 868 y Fn(\241)p Fq(1)26554 1350 y Fv(\))p Fu(p)27713 868 y Fn(\241)p Fq(1)p Fn(\241)p Fp(s)p 21864 1943 8274 54 v 23325 3160 a Fv(1)h Ft(\241)f Fu(p)26252 2776 y Fn(\241)p Fq(1)p Fn(\241)p Fp(s)30566 2249 y Fv(+)g Fu(p)32526 1700 y Fn(\241)p Fq(1)33783 2249 y Fv(\()p Fu(p)g Ft(\241)g Fv(1\))p Fu(p)38374 1700 y Fn(\241)p Fq(1)p Fn(\241)p Fq(4)p Fp(s)14502 5868 y Fv(+)p Fu(p)16167 5319 y Fn(\241)p Fq(1)17424 5868 y Fv(\()p Fu(p)g Ft(\241)g Fv(1\))p Fu(p)22015 5319 y Fn(\241)p Fq(1)p Fn(\241)p Fq(3)p Fp(s)25206 5868 y Fv(+)f Fu(p)27165 5319 y Fn(\241)p Fq(1)28423 5868 y Fv(\()p Fu(p)h Ft(\241)g Fv(2\))p Fu(p)33014 5319 y Fn(\241)p Fq(2)p Fn(\241)p Fq(8)p Fp(s)36204 5868 y Fv(+)37644 4969 y(\(1)g Ft(\241)g Fu(p)41076 4487 y Fn(\241)p Fq(1)42334 4969 y Fv(\))p Fu(p)43493 4487 y Fn(\241)p Fq(3)p Fn(\241)p Fq(9)p Fp(s)p 37644 5562 8744 54 v 39340 6779 a Fv(1)h Ft(\241)f Fu(p)42267 6395 y Fn(\241)p Fq(1)p Fn(\241)p Fp(s)14502 9487 y Fv(+)15647 8588 y(\(1)g Ft(\241)g Fu(p)19079 8106 y Fn(\241)p Fq(1)20337 8588 y Fv(\))p Fu(p)21496 8106 y Fn(\241)p Fq(3)p Fn(\241)p Fq(11)p Fp(s)p 15647 9181 9215 54 v 17343 10398 a Fv(1)g Ft(\241)h Fu(p)20270 10014 y Fn(\241)p Fq(1)p Fn(\241)p Fq(3)p Fp(s)25289 9487 y Fv(+)f Fu(p)27249 8938 y Fn(\241)p Fq(2)p Fn(\241)p Fq(6)p Fp(s)30365 7679 y Fm(Z)31103 10686 y Fi(Z)31693 10797 y Fj(p)32452 9487 y Ft(j)p Fu(f)33462 9686 y Fp(c;h)34729 9487 y Fv(\()p Fu(x)p Fv(\))p Ft(j)36849 8938 y Fp(s)36849 9815 y(p)37746 9487 y Ft(j)369 b Fu(dx)g Ft(j)g Fv(.)p Black 8759 w(\(3.4\))p Black 800 12677 a(Finally)-108 b(,)435 b(b)-36 b(y)433 b(applying)h(SPF)f(to)h(the)f (in)-36 b(tegral)867 b(in)-36 b(v)g(olving)435 b Fu(f)30687 12876 y Fp(c;h)31954 12677 y Fv(\()p Fu(x)p Fv(\))e(in)h(\()p 0 1 0 0 TeXcolorcmyk(3.4)p (#equation.3.4) [[397 603 412 615] [1 1 1 [3 3]] [0 0 1]] pdfm Black(\),)g(w)-36 b(e)434 b(obtain)f(that)7038 15755 y Fu(Z)95 b Fv(\()p Fu(s;)221 b(f)142 b Fv(\))1108 b(=)e Fu(p)14892 15207 y Fn(\241)p Fq(1)16150 15755 y Fv(\()p Fu(p)294 b Ft(\241)i Fv(3\))f(+)21823 14856 y(\(1)g Ft(\241)g Fu(p)25255 14374 y Fn(\241)p Fq(1)26513 14856 y Fv(\))p Fu(p)27672 14374 y Fn(\241)p Fq(1)p Fn(\241)p Fp(s)p 21823 15450 8274 54 v 23284 16666 a Fv(1)g Ft(\241)h Fu(p)26211 16283 y Fn(\241)p Fq(1)p Fn(\241)p Fp(s)30524 15755 y Fv(+)f Fu(p)32484 15207 y Fn(\241)p Fq(1)33741 15755 y Fv(\()p Fu(p)g Ft(\241)g Fv(1\))p Fu(p)38332 15207 y Fn(\241)p Fq(1)p Fn(\241)p Fq(4)p Fp(s)14461 19374 y Fv(+)p Fu(p)16126 18826 y Fn(\241)p Fq(1)17383 19374 y Fv(\()p Fu(p)f Ft(\241)i Fv(1\))p Fu(p)21974 18826 y Fn(\241)p Fq(1)p Fn(\241)p Fq(3)p Fp(s)25164 19374 y Fv(+)f Fu(p)27124 18826 y Fn(\241)p Fq(1)28381 19374 y Fv(\()p Fu(p)g Ft(\241)g Fv(2\))p Fu(p)32972 18826 y Fn(\241)p Fq(2)p Fn(\241)p Fq(8)p Fp(s)36162 19374 y Fv(+)37602 18475 y(\(1)g Ft(\241)h Fu(p)41035 17993 y Fn(\241)p Fq(1)42292 18475 y Fv(\))p Fu(p)43451 17993 y Fn(\241)p Fq(3)p 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15384 26307 V 16845 27523 a Fv(1)g Ft(\241)g Fu(p)19771 27140 y Fn(\241)p Fq(1)p Fn(\241)p Fq(2)p Fp(s)24260 26612 y Fv(.)p Black 25505 w(\(3.5\))p Black Black 800 29722 a Fw(Remark)499 b(3.1.)p Black 554 w Fg(If)464 b Fu(\256)377 b Fv(=)13426 29199 y Fp(a)p 13426 29416 500 54 v 13475 30180 a(b)14427 29722 y Ft(2)369 b Fs(Q)p Fg(,)465 b(and)f Fu(v)20731 29921 y Fp(p)21260 29722 y Fv(\()p Fu(\256)9 b Fv(\))369 b Fu(<)f Fv(0)p Fg(,)465 b(then)16923 31931 y Ft(j)369 b Fu(x)295 b Ft(\241)g Fu(\256)378 b Ft(j)21597 32130 y Fp(p)22126 31931 y Fv(=)p Ft(j)369 b Fu(\256)377 b Ft(j)25449 32130 y Fp(p)25978 31931 y Fu(;)687 b Fg(for)465 b(every)f Fu(x)369 b Ft(2)f Fs(Z)35787 32130 y Fp(p)36316 31931 y Fu(:)13449 b Fv(\(3.6\))800 34125 y Fg(On)465 b(the)f(other)h(hand,)g(a)g(p)-66 b(olynomial)464 b(of)h(the)f(form) 18064 37313 y Fu(f)142 b Fv(\()p Fu(x)p Fv(\))369 b(=)f Fu(\256)23183 37512 y Fq(0)24554 35653 y Fp(r)23930 36051 y Fm(Y)24018 38851 y Fp(i)p Fq(=1)25628 37313 y Fv(\()p Fu(x)295 b Ft(\241)g Fu(\256)29332 37512 y Fp(i)29707 37313 y Fv(\))30213 36765 y Fp(e)30649 36900 y Fj(i)31425 37313 y Ft(2)369 b Fs(Q)p Fv([)p Fu(x)p Fv(])p Fu(;)800 40735 y Fg(c)-66 b(an)464 b(b)-66 b(e)464 b(de)-66 b(c)g(omp)g(ose)g(d) 464 b(as)h Fu(f)142 b Fv(\()p Fu(x)p Fv(\))369 b(=)f Fu(\256)18472 40934 y Fq(0)18998 40735 y Fu(f)19639 40934 y Fn(\241)20426 40735 y Fv(\()p Fu(x)p Fv(\))p Fu(f)22818 40934 y Fq(+)23605 40735 y Fv(\()p Fu(x)p Fv(\))p Fg(,)464 b(wher)-66 b(e)8256 43217 y Fu(f)8897 43416 y Fn(\241)9684 43217 y Fv(\()p Fu(x)p Fv(\))369 b(=)15330 41955 y Fm(Y)13184 44833 y Fn(f)p Fp(\256)14259 44968 y Fj(i)14610 44833 y Fn(j)p Fp(v)15329 44944 y Fj(p)15812 44833 y Fq(\()p Fp(\256)16782 44968 y Fj(i)17134 44833 y Fq(\))p Fp(<)p Fq(0)p Fn(g)19172 43217 y Fv(\()p Fu(x)295 b Ft(\241)h Fu(\256)22877 43416 y Fp(i)23252 43217 y Fv(\))23758 42668 y Fp(e)24194 42803 y Fj(i)24601 43217 y Fu(;)687 b Fg(and)930 b Fu(f)29279 43416 y Fq(+)30066 43217 y Fv(\()p Fu(x)p Fv(\))369 b(=)35712 41955 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y(e)31054 49098 y Fj(i)31830 49512 y Ft(j)32199 48963 y Fp(s)32199 49840 y(p)33097 49512 y Fu(Z)95 b Fv(\()p Fu(s;)221 b(f)36424 49711 y Fq(+)37213 49512 y Fv(\))p Fu(:)800 53178 y Fg(Thus,)445 b(fr)-66 b(om)438 b(a)i(c)-66 b(omputational)439 b(p)-66 b(oint)438 b(of)h(view,)444 b(we)439 b(may)h(assume)g(without)g(loss)g (of)f(gener)-66 b(ality)438 b(that)h(al)66 b(l)800 54728 y(r)-66 b(o)g(ots)465 b(of)f Fu(f)142 b Fv(\()p Fu(x)p Fv(\))465 b Fg(ar)-66 b(e)464 b Fu(p)p Ft(\241)p Fg(adic)h(inte)-66 b(gers.)17124 57654 y Fv(4.)651 b Fr(Trees)501 b(and)h Fu(p)p Fr(-adic)g(Numbers)2128 59978 y Fv(The)387 b(tree)773 b Fu(U)508 b Fv(=)368 b Fu(U)139 b Fv(\()p Fu(p)p Fv(\))386 b(of)i(residue)e(classes)h(mo)36 b(dulo)387 b(p)36 b(o)-36 b(w)g(ers)386 b(of)h(a)g(giv)-36 b(en)387 b(prime)g(n)-36 b(um)g(b)36 b(er)384 b Fu(p)j Fv(is)g(de\257ned)800 61528 y(as)868 b(follo)-36 b(ws.)580 b(Consider)434 b(the)f(diagram)14723 63722 y Ft(f)p Fv(0)p Ft(g)370 b Fv(=)e Fs(Z)p Fu(=p)20640 63174 y Fq(0)21166 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Fu(u)26464 29805 y Fq(\(1\))28091 30354 y Ft(\303)-221 b(\241)369 b(\242)221 b(\242)g(\242)h Fv(.)800 32320 y(Clearly)435 b(a)f(\257nite)f(stalk)i (ma)-36 b(y)434 b(b)36 b(e)433 b(written)g(as)19363 34558 y Ft(f)p Fv(0)p Ft(g)369 b(\303)-221 b(\241)369 b Fu(x)24958 34757 y Fq(1)25853 34558 y Ft(\303)-221 b(\241)369 b(\242)221 b(\242)g(\242)370 b(\303)-221 b(\241)369 b Fu(x)33529 34757 y Fp(l)33876 34558 y Fu(;)800 36796 y Fv(with)434 b Fu(x)369 b Ft(2)f Fs(Z)p Fv(,)434 b(and)f(in\257nite)g(stalks)h(as) 19052 39033 y Ft(f)p Fv(0)p Ft(g)369 b(\303)-221 b(\241)370 b Fu(x)24648 39232 y Fq(1)25542 39033 y Ft(\303)-221 b(\241)370 b Fu(x)28791 39232 y Fq(2)29685 39033 y Ft(\303)-221 b(\241)370 b(\242)221 b(\242)g(\242)443 b Fu(;)800 41271 y Fv(with)576 b Fu(x)613 b Ft(2)e Fs(Z)7640 41470 y Fp(p)8169 41271 y Fv(.)1006 b(Th)-36 b(us)576 b(there)g(is)h(a)f(1)393 b Ft(\241)g Fv(1)576 b(corresp)36 b(ondence)576 b(b)36 b(et)-36 b(w)g(een)1152 b(in\257nite)576 b(stalks)h(and)f Fu(p)p Ft(\241)p 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Fu(f)576 b Fv(as)434 b(follo)-36 b(ws:)16640 68408 y Fu(T)181 b Fv(\()p Fu(f)70 b(;)221 b(l)19769 68607 y Fp(f)20374 68408 y Fu(;)g(p)p Fv(\))369 b(=)g Fu(T)181 b Fv(\()p Fu(f)70 b(;)221 b(l)26994 68607 y Fp(f)27600 68408 y Fv(\))368 b(=)30391 66747 y Fp(r)29878 67146 y Fm([)29855 69945 y Fp(i)p Fq(=1)31599 68408 y Fu(K)95 b Fv(\()p Fu(\256)34143 68607 y Fp(i)34518 68408 y Fu(;)221 b(l)35487 68607 y Fp(f)36093 68408 y Fv(\))p Fu(;)13166 b Fv(\(4.2\))p Black Black eop %%Page: 8 8 8 7 bop Black 0 TeXcolorgray Black 800 -3114 a Fk(8)p Black 800 -458 a Fv(where)371 b Fu(K)95 b Fv(\()p Fu(\256)7039 -259 y Fp(i)7414 -458 y Fu(;)221 b(l)8383 -259 y Fp(f)8989 -458 y Fv(\))371 b(denotes)g(the)g(stalk)h(corresp)36 b(onding)371 b(to)g(the)f Fu(p)p Ft(\241)p Fv(adic)i(expansion)f(of)h Fu(\256)44372 -259 y Fp(i)45119 -458 y Fv(mo)36 b(dulo)371 b Fu(p)50370 -940 y Fp(l)50651 -784 y Fj(f)51181 -940 y Fq(+1)52439 -458 y Fv(.)800 1092 y(Th)-36 b(us)443 b Fu(T)181 b Fv(\()p Fu(f)142 b Fv(,)446 b 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(#equation.4.1) [[84 404 100 416] [1 1 1 [3 3]] [0 0 1]] pdfm Black(\),)930 b(fr)-66 b(om)464 b(the)929 b Fu(p)p Ft(\241)p Fg(adic)465 b(exp)-66 b(ansions)464 b(mo)-66 b(dulo)465 b Fu(p)26734 34318 y Fp(l)27015 34474 y Fj(f)27545 34318 y Fq(+1)29268 34800 y Fg(of)f(its)h(r)-66 b(o)g(ots)14809 37011 y Fu(\256)15645 37210 y Fp(i)16390 37011 y Fv(=)368 b Fu(a)18453 37210 y Fq(0)p Fp(;i)19856 37011 y Fv(+)294 b Fu(a)21845 37210 y Fq(1)p Fp(;i)23293 37011 y Fu(p)h Fv(+)g Ft(\242)221 b(\242)g(\242)296 b Fv(+)e Fu(a)29382 37210 y Fp(l)29663 37366 y Fj(f)30193 37210 y Fp(;i)30830 37011 y Fu(p)31483 36462 y Fp(l)31764 36618 y Fj(f)32815 37011 y Fg(mo)-66 b(d)464 b Fu(p)36257 36462 y Fp(l)36538 36618 y Fj(f)37068 36462 y Fq(+1)800 39263 y Fg(and)426 b(multiplicities)d Fu(e)11586 39462 y Fp(i)11961 39263 y Fg(,)433 b Fu(i)369 b Fv(=)g(1)p Fu(;)221 b Fv(2)p Fu(;)g Ft(\242)g(\242)g(\242)s Fu(;)g(r)36 b Fg(,)433 b(involves)851 b Fu(O)36 b Fv(\()p Fu(l)28293 38781 y Fq(2)28264 39608 y Fp(f)29209 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Fp(j)o(;i)18140 56643 y Fv(=)368 b Ft(f)434 b Fu(W)181 b Fv(\()p Fu(u)23273 56842 y Fp(j)o(;i)24289 56643 y Fv(\),)434 b Fu(V)289 b(al)29 b Fv(\()p Fu(u)28982 56842 y Fp(j)o(;i)29999 56643 y Fv(\))p Fu(;)221 b(W)32496 56095 y Fn(\244)33022 56643 y Fv(\()p Fu(B)34516 56842 y Fp(u)35061 56977 y Fj(j)-5 b(;i)36055 56643 y Fv(\))p Ft(g)p Fv(,)800 58546 y(where)498 b Fu(W)181 b Fv(\()p Fu(u)7277 58745 y Fp(j)o(;i)8293 58546 y Fv(\))995 b(is)498 b(the)f(w)-36 b(eigh)g(t)498 b(of)g Fu(u)19938 58745 y Fp(j)o(;i)20955 58546 y Fv(,)514 b Fu(V)289 b(al)29 b Fv(\()p Fu(u)25222 58745 y Fp(j)o(;i)26239 58546 y Fv(\))498 b(is)g(its)f(v)-72 b(alence,)515 b(and)497 b Fu(W)39452 58064 y Fn(\244)39978 58546 y Fv(\()p Fu(B)41472 58745 y Fp(ui)42392 58546 y Fv(\))h(is)995 b(the)497 b(w)-36 b(eigh)g(t)498 b(of)800 60096 y(stalk)435 b Fu(B)4939 60295 y Fp(u)5484 60430 y Fj(j)-5 b(;i)6477 60096 y Fv(.)579 b(The)433 b(w)-36 b(eigh)g(t)434 b(of)h(the)e(stalk)h(generated)f(b)-36 b(y)867 b Fu(u)29986 60295 y Fp(j)o(;i)31436 60096 y Fv(can)434 b(b)36 b(e)433 b(written)h(as)19694 62669 y Fu(W)21103 62121 y Fn(\244)21628 62669 y Fv(\()p Fu(B)23122 62868 y Fp(u)23667 63003 y Fj(j)-5 b(;i)24661 62669 y Fv(\))369 b(=)27612 61407 y Fm(X)26916 64226 y Fp(v)32 b Fn(2)p Fp(B)28743 64337 y Fj(u)29233 64548 y(j)-5 b(;i)30448 62669 y Fu(W)181 b Fv(\()p Fu(v)48 b Fv(\))p Fu(:)2128 66447 y Fv(F)-108 b(or)613 b(the)f(computation)h(of)h(a)f(v)-36 b(ertex)1227 b Fu(u)23219 66646 y Fp(j)o(;i)24848 66447 y Fv(of)614 b(lev)-36 b(el)614 b Fu(j)75 b Fv(,)658 b(w)-36 b(e)613 b(pro)36 b(ceed)613 b(as)g(follo)-36 b(ws.)1119 b(W)-108 b(e)613 b(put)f Fu(I)778 b Fv(=)800 67997 y Ft(f)p Fv(1)p Fu(;)221 b Fv(2)p Fu(;)g Ft(\242)g(\242)g(\242)s Fu(;)g(r)36 b Ft(g)p Fu(;)435 b Fv(and)19426 69635 y Fu(M)20684 69834 y Fp(j)21540 69635 y Fv(=)369 b Ft(f)p Fu(\256)24421 69834 y Fp(i)25230 69635 y Fv(mo)36 b(d)434 b Fu(p)28810 69087 y Fp(j)29665 69635 y Ft(j)369 b Fu(i)g Ft(2)f Fu(I)104 b Ft(g)p Fu(:)p Black Black eop %%Page: 9 9 9 8 bop Black 0 TeXcolorgray Black 52288 -3114 a Fk(9)p Black 800 -458 a Fv(F)-108 b(or)433 b(eac)-36 b(h)867 b(0)370 b Ft(\267)f Fu(j)443 b Ft(\267)370 b Fu(l)11683 -259 y Fp(f)12583 -458 y Fv(+)295 b(1,)434 b(w)-36 b(e)434 b(compute)f(a)h(partition)f(of)i Fu(I)537 b Fv(of)435 b(t)-36 b(yp)36 b(e)23739 3815 y Fu(I)473 b Fv(=)26570 2008 y Fp(l)26851 2143 y Fj(j)26190 2553 y Fm([)26166 5352 y Fp(i)p Fq(=1)27910 3815 y Fu(I)28484 4014 y Fp(j)o(;i)29500 3815 y Fu(;)20265 b Fv(\(4.6\))800 7754 y(suc)-36 b(h)433 b(that)19966 9998 y Fu(\256)20802 10197 y Fp(t)21631 9998 y Fv(mo)36 b(d)433 b Fu(p)25210 9449 y Fp(j)26066 9998 y Fv(=)369 b Fu(\256)28282 10197 y Fp(s)29206 9998 y Fv(mo)36 b(d)434 b Fu(p)32786 9449 y Fp(j)33272 9998 y Fu(;)800 12512 y Fv(for)345 b(ev)-36 b(ery)344 b Fu(t;)221 b(s)369 b Ft(2)g Fu(I)9903 12711 y Fp(j)o(;i)10919 12512 y Fv(.)548 b(Eac)-36 b(h)344 b(subset)f Fu(I)19445 12711 y Fp(j)o(;i)20805 12512 y Fv(corresp)36 b(onds)688 b(to)344 b(a)g(v)-36 b(ertex)345 b Fu(u)35275 12711 y Fp(j)o(;i)36635 12512 y Fv(of)g(lev)-36 b(el)345 b Fu(j)75 b Fv(.)548 b(This)688 b(computation)800 14062 y(requires)458 b Fu(O)36 b Fv(\()p Fu(l)7632 14261 y Fp(f)8237 14062 y Fu(r)8859 13580 y Fq(2)9385 14062 y Fv(\))457 b(arithmetic)g(op)36 b(erations)458 b(on)f(in)-36 b(tegers)458 b(with)f(binary)g(length)g Fu(O)36 b Fv(\(log)241 b Fu(p)p Fv(\).)649 b(Indeed,)463 b(the)800 15612 y(cost)477 b(of)g(computing)f(a)h(\\y)-36 b(es)478 b(or)e(no")h(answ)-36 b(er)477 b(for)g(the)f(question:)665 b Fu(\256)34915 15811 y Fp(t)35786 15612 y Fv(mo)36 b(d)477 b Fu(p)39409 15130 y Fp(j)40338 15612 y Fv(=)442 b Fu(\256)42627 15811 y Fp(s)43594 15612 y Fv(mo)36 b(d)477 b Fu(p)47217 15130 y Fp(j)47704 15612 y Fv(?)g(is)f Fu(O)36 b Fv(\()p Fu(j)75 b Fv(\))800 17161 y(comparisons)480 b(of)g(in)-36 b(tegers)479 b(with)h(binary)f(length)h Fu(O)36 b Fv(\(log)240 b Fu(p)p Fv(\).)716 b(In)479 b(the)g(w)-36 b(orst)480 b(case,)491 b(there)479 b(are)h Fu(r)516 b Fv(v)-36 b(ectors)800 18711 y Fu(M)2058 18910 y Fp(j)2545 18711 y Fv(,)1132 b(and)551 b(the)g(computation)f(of)i(partition)f(\()p 0 1 0 0 TeXcolorcmyk(4.6)p (#equation.4.6) [[292 549 306 561] [1 1 1 [3 3]] [0 0 1]] pdfm Black(\),)582 b(for)552 b(a)f(\257xed)g Fu(j)75 b Fv(,)581 b(in)-36 b(v)g(olv)g(es)552 b(the)f(comparison)g(of)h Fu(\256)52405 18910 y Fp(t)800 20261 y Fv(with)498 b Fu(\256)4663 20460 y Fp(l)5508 20261 y Fv(for)g Fu(l)508 b Fv(=)479 b Fu(t)338 b Fv(+)h(1)p Fu(;)221 b(t)340 b Fv(+)f(2)p Fu(;)221 b Ft(\242)g(\242)g(\242)q Fu(;)g(r)36 b Fv(.)773 b(This)498 b(computation)g(requires)g Fu(O)36 b Fv(\()p Fu(j)75 b(r)39023 19779 y Fq(2)39549 20261 y Fv(\))498 b(arithmetic)g(op)36 b(erations)800 21811 y(on)408 b(in)-36 b(tegers)407 b(with)h(binary)f(length)h Fu(O)36 b Fv(\(log)240 b Fu(p)p Fv(\).)569 b(Since)408 b Fu(j)443 b Fo(5)370 b Fu(l)29977 22010 y Fp(f)30824 21811 y Fv(+)242 b(1,)413 b(the)407 b(computation)h(of)g(partition)f (\()p 0 1 0 0 TeXcolorcmyk(4.6)p (#equation.4.6) [[528 521 543 533] [1 1 1 [3 3]] [0 0 1]] pdfm Black(\))800 23360 y(requires)434 b Fu(O)36 b Fv(\()p Fu(l)7608 23559 y Fp(f)8213 23360 y Fu(r)8835 22878 y Fq(2)9361 23360 y Fv(\))434 b(arithmetic)f(op)36 b(erations)434 b(on)g(in)-36 b(tegers)433 b(with)h(binary)f(length)g Fu(O)36 b Fv(\(log)241 b Fu(p)p Fv(\).)2128 24910 y(The)434 b(w)-36 b(eigh)g(t)434 b(of)g(the)f(v)-36 b(ertex)868 b Fu(u)17754 25109 y Fp(j)o(;i)19204 24910 y Fv(is)434 b(giv)-36 b(en)434 b(b)-36 b(y)434 b(the)f(expression)21716 28023 y Fu(W)181 b Fv(\()p Fu(u)24371 28222 y Fp(j)o(;i)25387 28023 y Fv(\))369 b(=)27927 26761 y Fm(X)27642 29590 y Fp(k)24 b Fn(2)p Fp(I)29191 29725 y Fj(j)-5 b(;i)30351 28023 y Fu(e)30954 28222 y Fp(k)31523 28023 y Fu(:)800 32330 y Fv(Th)-36 b(us)582 b(the)g(computation)g(of)i(the)e(w)-36 b(eigh)g(t)582 b(of)i(a)e(v)-36 b(ertex)584 b(requires)e Fu(O)36 b Fv(\()p Fu(r)g Fv(\))583 b(additions)f(of)i(in)-36 b(tegers)582 b(with)800 33880 y(binary)434 b(length)f Fu(O)36 b Fv(\(log)240 b Fu(d)12970 34079 y Fp(f)13575 33880 y Fu(r)36 b Fv(\).)2128 35430 y(F)-108 b(or)403 b(the)f(computation)g(of)i(the)e(v)-72 b(alence)403 b(of)806 b Fu(u)24931 35629 y Fp(j)o(;i)25948 35430 y Fv(,)409 b(w)-36 b(e)403 b(pro)36 b(ceed)402 b(as)h(follo)-36 b(ws.)571 b(The)402 b(v)-72 b(alence)404 b(of)f Fu(u)49027 35629 y Fp(j)o(;i)50849 35430 y Fv(can)800 36979 y(b)36 b(e)433 b(expressed)h(as)16164 39223 y Fu(V)290 b(al)29 b Fv(\()p Fu(u)19557 39422 y Fp(j)o(;i)20573 39223 y Fv(\))369 b(=)g(Card)p Ft(f)p Fu(I)26885 39422 y Fp(j)51 b Fq(+1)p Fp(;l)29496 39223 y Ft(j)369 b Fu(I)30808 39422 y Fp(j)51 b Fq(+1)p Fp(;l)33418 39223 y Ft(\265)369 b Fu(I)35394 39422 y Fp(j)o(;i)36410 39223 y Ft(g)p Fu(;)800 41737 y Fv(where)451 b Fu(I)5149 41936 y Fp(j)51 b Fq(+1)p Fp(;l)7842 41737 y Fv(runs)450 b(through)g(all)i(p)36 b(ossible)451 b(sets)g(that)g(corresp)36 b(ond)450 b(to)i(the)901 b(v)-36 b(ertices)452 b Fu(u)44232 41936 y Fp(j)51 b Fq(+1)p Fp(;l)46474 41737 y Fv(,)456 b(with)451 b(lev)-36 b(el)800 43287 y Fu(j)248 b Fv(+)173 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b(with)h(binary)f(length)h Fu(O)36 b Fv(\(log)240 b Fu(r)36 b Fv(\).)2128 49486 y(F)-108 b(or)547 b(the)g(computation)g (of)h(the)f(w)-36 b(eigh)g(t)548 b(of)1095 b Fu(B)25939 49685 y Fp(u)26484 49820 y Fj(j)-5 b(;i)27478 49486 y Fv(,)576 b(w)-36 b(e)548 b(observ)-36 b(e)547 b(that)g Fu(W)39530 49004 y Fn(\244)40056 49486 y Fv(\()p Fu(B)41550 49685 y Fp(u)42095 49820 y Fj(j)-5 b(;i)43088 49486 y Fv(\))548 b(is)f(giv)-36 b(en)548 b(b)-36 b(y)548 b(the)800 51036 y(form)-36 b(ula)18013 54273 y Fu(W)19422 53725 y Fn(\244)19947 54273 y Fv(\()p Fu(B)21441 54472 y Fp(u)21986 54607 y Fj(j)-5 b(;i)22980 54273 y Fv(\))369 b(=)25378 52558 y Fp(j)51 b Fn(\241)p Fq(1)25235 53011 y Fm(X)25448 55840 y Fp(l)11 b Fq(=0)28173 53011 y Fm(X)27376 55830 y Fp(I)27784 55965 y Fj(j)-5 b(;i)28722 55830 y Fn(\265)p Fp(I)29862 55986 y Fj(l;k)31110 54273 y Fu(W)181 b Fv(\()p Fu(I)33599 54472 y Fp(l)11 b(;k)34720 54273 y Fv(\))p Fu(;)800 58320 y Fv(where)393 b Fu(W)181 b Fv(\()p Fu(I)7006 58519 y Fp(l)11 b(;k)8127 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b(:)46026 5806 y Fm(\276)47244 7679 y Fu(;)2128 10651 y Fv(and)4087 19451 y Fu(L)4972 19650 y Fp(u)5572 19451 y Fv(\()p Fu(p)6731 18903 y Fn(\241)p Fp(s)7953 19451 y Fv(\))369 b(=)10209 13141 y Fm(8)10209 14337 y(>)10209 14735 y(>)10209 15134 y(>)10209 15532 y(>)10209 15931 y(>)10209 16329 y(>)10209 16728 y(>)10209 17126 y(>)10209 17525 y(>)10209 17923 y(<)10209 20314 y(>)10209 20713 y(>)10209 21111 y(>)10209 21510 y(>)10209 21909 y(>)10209 22307 y(>)10209 22706 y(>)10209 23104 y(>)10209 23503 y(>)10209 23901 y(:)15195 13888 y Fq(\(1)p Fn(\241)p Fp(p)17237 13575 y Ff(\241)p Fh(1)18338 13888 y Fq(\))p Fp(p)19178 13575 y Ff(\241)p Fj(l)p Fh(\()p Fj(u)p Fh(\))p Ff(\241)p Fj(W)22727 13297 y Ff(\244)23204 13575 y Fh(\()p Fj(B)24139 13686 y(u)24684 13575 y Fh(\))p Fj(s)p 15195 14215 10253 54 v 17052 15028 a Fq(\(1)p Fn(\241)p Fp(p)19094 14767 y Ff(\241)p Fh(1)p Ff(\241)p Fj(W)108 b Fh(\()p Fj(u)p Fh(\))p Fj(s)23224 15028 y Fq(\))25580 14521 y Fv(,)868 b(if)4311 b Fu(l)29 b Fv(\()p Fu(u)p 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Fu(\261)49 b Fv(\()p 30373 39792 V Fu(f)142 b Fv(\))31795 39975 y(\(1)295 b Ft(\241)g Fu(p)35227 39493 y Fn(\241)p Fq(1)36485 39975 y Fv(\))p Fu(p)37644 39493 y Fn(\241)p Fq(1)p Fn(\241)p Fp(s)p 31795 40568 8274 54 v 32750 41785 a Fv(\(1)g Ft(\241)h Fu(p)36183 41401 y Fn(\241)p Fq(1)p Fn(\241)p Fp(s)38607 41785 y Fv(\))23208 44010 y(+)24441 42748 y Fm(X)24552 45577 y Fp(\273)34 b Fn(2)p Fp(S)26581 44010 y Fu(p)27234 43462 y Fn(\241)p Fq(1)p Fn(\241)p Fp(e)29604 43618 y Fj(\273)30058 43462 y Fp(s)30548 44010 y Fu(G)p Fv(\()p Fu(s;)221 b(T)181 b Fv(\()p Fu(f)35365 44209 y Fp(\273)35869 44010 y Fu(;)221 b(l)36838 44209 y Fp(f)37739 44010 y Ft(\241)296 b Fv(1\))p Fu(;)221 b(p)p Fv(\))p Fu(:)p Black 7800 w Fv(\(5.2\))p Black Black 800 47840 a Fg(Pr)-66 b(o)g(of.)p Black 552 w Fv(Let)503 b Fu(A)8150 48039 y Fp(f)9243 47840 y Fv(=)487 b Ft(f)p Fu(u)h Ft(2)f Fu(T)181 b Fv(\()p Fu(f)70 b(;)221 b(l)17136 48039 y Fp(f)17741 47840 y Fv(\))488 b Ft(j)f Fu(l)29 b Fv(\()p Fu(u)p Fv(\))488 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b Fv(\()p Fu(\273)64 b Fv(\))417 b(=)g(0)800 30004 y(with)434 b(m)-36 b(ultiplicit)g(y)434 b(greater)f(or)h(equal)g(than)f(t)-36 b(w)g(o.)1013 b(Therefore,)434 b(it)g(holds)f(that)15755 32127 y Fu(G)p Fv(\()p Fu(s;)221 b(T)19244 32326 y Fp(u)19845 32127 y Fv(\))368 b(=)h Fu(p)22753 31578 y Fn(\241)p Fq(1)p Fn(\241)p Fp(e)25123 31734 y Fj(\273)25577 31578 y Fp(s)26067 32127 y Fu(G)p Fv(\()p Fu(s;)221 b(T)181 b Fv(\()p Fu(f)30884 32326 y Fp(\273)31388 32127 y Fu(;)221 b(l)32357 32326 y Fp(f)33258 32127 y Ft(\241)295 b Fv(1\))p Fu(;)221 b(p)p Fv(\))p Fu(:)12282 b Fv(\(5.8\))800 34249 y(The)434 b(result)f(follo)-36 b(ws)435 b(from)f(\()p 0 1 0 0 TeXcolorcmyk(5.4)p (#equation.5.4) [[206 409 221 421] [1 1 1 [3 3]] [0 0 1]] pdfm Black(\))g(b)-36 b(y)434 b(the)f(iden)-36 b(tities)433 b(\()p 0 1 0 0 TeXcolorcmyk(5.5)p (#equation.5.5) [[321 409 336 421] [1 1 1 [3 3]] [0 0 1]] pdfm Black(\))h(and)g(\()p 0 1 0 0 TeXcolorcmyk(5.8)p (#equation.5.8) [[372 409 387 421] [1 1 1 [3 3]] [0 0 1]] pdfm Black(\).)p 36421 34415 443 831 v Black 800 36591 a Fw(Lemma)440 b(5.1.)p Black 515 w Fg(L)-66 b(et)417 b Fu(p)g Fg(b)-66 b(e)417 b(a)h(\257xe)-66 b(d)417 b(prime)g(numb)-66 b(er)417 b(and)h Fu(v)29093 36790 y Fp(p)30039 36591 y Fg(the)g(c)-66 b(orr)g(esp)g(onding)415 b Fu(p)p Ft(\241)p Fg(adic)j(valuation,)426 b(and)16920 39820 y Fu(f)142 b Fv(\()p Fu(x)p Fv(\))369 b(=)f Fu(\256)22039 40019 y Fq(0)23410 38160 y Fp(r)22786 38558 y Fm(Y)22874 41358 y Fp(i)p Fq(=1)24484 39820 y Fv(\()p Fu(x)295 b Ft(\241)g Fu(\256)28188 40019 y Fp(i)28564 39820 y Fv(\))29070 39272 y Fp(e)29506 39407 y Fj(i)30282 39820 y Ft(2)368 b Fs(Q)p Fv([)p Fu(x)p Fv(])296 b Ft(n)g Fs(Q)p Fu(;)800 43178 y Fg(a)465 b(p)-66 b(olynomial)464 b(such)i(that)f Fu(v)14713 43377 y Fp(p)15241 43178 y Fv(\()p Fu(\256)16583 43377 y Fp(i)16959 43178 y Fv(\))369 b Fo(=)g Fv(0)p Fg(,)464 b(for)h Fu(i)369 b Fv(=)f(1)p Fu(;)221 b Ft(\242)g(\242)g(\242)445 b Fu(;)221 b(r)36 b Fg(.)598 b(Then)19402 45300 y Fu(Z)95 b Fv(\()p Fu(s;)221 b(f)142 b Fv(\))370 b(=)f Fu(G)p Fv(\()p Fu(s;)221 b(T)181 b Fv(\()p Fu(f)70 b(;)221 b(l)30984 45499 y Fp(f)31589 45300 y Fv(\))p Fu(;)g(p)p Fv(\))p Fu(:)p Black 800 47642 a Fg(Pr)-66 b(o)g(of.)p Black 552 w Fv(W)-108 b(e)434 b(pro)36 b(ceed)433 b(b)-36 b(y)434 b(induction)e(on)i Fu(l)21601 47841 y Fp(f)22206 47642 y Fv(.)2128 49192 y(Case)h Fu(l)5630 49391 y Fp(f)6604 49192 y Fv(=)369 b(1)2128 50742 y(If)472 b Fu(r)e Fv(=)433 b(1)471 b(the)g(pro)36 b(of)472 b(follo)-36 b(ws)473 b(immediately)-108 b(,)482 b(th)-36 b(us)470 b(w)-36 b(e)472 b(ma)-36 b(y)472 b(assume)f(that)g Fu(r)f Fo(=)433 b Fv(2.)692 b(Since)471 b Fu(l)47957 50941 y Fp(f)48996 50742 y Fv(=)433 b(1,)481 b(it)800 52292 y(holds)460 b(that)g Fu(v)7704 52491 y Fp(p)8233 52292 y Fv(\()p Fu(\256)9574 52491 y Fp(i)10263 52292 y Ft(\241)314 b Fu(\256)12446 52491 y Fp(j)12932 52292 y Fv(\))415 b(=)f(0,)467 b(for)461 b(ev)-36 b(ery)461 b Fu(i)p Fv(,)467 b Fu(j)75 b Fv(,)467 b(satisfying)462 b Fu(i)414 b Ft(6)p Fv(=)g Fu(j)75 b Fv(,)467 b(and)460 b(th)-36 b(us)p 40394 51560 1212 54 v 919 w Fu(\256)41230 52491 y Fp(i)42020 52292 y Ft(6)p Fv(=)p 43446 51560 1323 54 v 414 w Fu(\256)44282 52491 y Fp(j)44769 52292 y Fv(,)467 b(if)921 b Fu(i)414 b Ft(6)p Fv(=)g Fu(j)75 b Fv(.)659 b(By)800 53841 y(applying)434 b(SPF,)f(w)-36 b(e)434 b(ha)-36 b(v)g(e)434 b(that)7647 56734 y Fu(Z)95 b Fv(\()p Fu(s;)221 b(f)142 b Fv(\))369 b(=)g Fu(p)14025 56186 y Fn(\241)p Fq(1)15282 56734 y Fu(\272)84 b Fv(\()p 16515 55652 783 54 v Fu(f)141 b Fv(\))295 b(+)g Fu(\261)50 b Fv(\()p 20537 55652 V Fu(f)142 b Fv(\))21959 55836 y(\(1)295 b Ft(\241)g Fu(p)25391 55354 y Fn(\241)p Fq(1)26649 55836 y Fv(\))p Fu(p)27808 55354 y Fn(\241)p Fq(1)p Fn(\241)p Fp(s)p 21959 56429 8274 54 v 22914 57646 a Fv(\(1)g Ft(\241)g Fu(p)26346 57262 y Fn(\241)p Fq(1)p Fn(\241)p Fp(s)28771 57646 y Fv(\))30660 56734 y(+)31967 55472 y Fm(X)32077 58301 y Fp(\273)34 b Fn(2)p Fp(S)34107 56734 y Fu(p)34760 56186 y Fn(\241)p Fq(1)p Fn(\241)p Fp(e)37130 56342 y Fj(\273)37583 56186 y Fp(s)39235 55836 y Fv(\(1)295 b Ft(\241)h Fu(p)42668 55354 y Fn(\241)p Fq(1)43925 55836 y Fv(\))p 38207 56429 7253 54 v 38207 57646 a(\(1)f Ft(\241)g Fu(p)41639 57217 y Fn(\241)p Fq(1)p Fn(\241)p Fp(e)44009 57373 y Fj(\273)44463 57217 y Fp(s)44954 57646 y Fv(\))45592 56734 y Fu(;)4173 b Fv(\(5.9\))800 60294 y(where)434 b(eac)-36 b(h)433 b Fu(e)8087 60493 y Fp(\273)8959 60294 y Fv(=)369 b Fu(e)10943 60493 y Fp(j)11799 60294 y Fo(=)g Fv(2,)434 b(for)g(some)g Fu(j)75 b Fv(,)434 b(and)866 b Fu(\256)25098 60493 y Fp(j)25954 60294 y Fv(=)369 b Fu(\273)359 b Fv(+)295 b Fu(p\257)31030 60607 y Fp(j)31516 60294 y Fv(.)2708 61887 y(On)579 b(the)g(other)g(hand,)615 b Fu(T)181 b Fv(\()p Fu(f)70 b(;)221 b(l)17874 62086 y Fp(f)18480 61887 y Fv(\))1158 b(is)580 b(a)g(ro)36 b(oted)580 b(tree)f(with)g Fu(r)616 b Fv(v)-36 b(ertices)580 b Fu(v)39593 62086 y Fp(j)40080 61887 y Fv(,)616 b(satisfying)581 b Fu(l)29 b Fv(\()p Fu(v)48549 62086 y Fp(j)49036 61887 y Fv(\))617 b(=)g(1,)800 63436 y(and)505 b Fu(W)181 b Fv(\()p Fu(v)5945 63635 y Fp(j)6431 63436 y Fv(\))492 b(=)f Fu(e)9535 63635 y Fp(j)10022 63436 y Fv(,)506 b(for)g Fu(j)567 b Fv(=)491 b(1)p Fu(;)221 b Ft(\242)g(\242)g(\242)445 b Fu(;)221 b(r)36 b Fv(.)796 b(These)505 b(observ)-72 b(ations)506 b(allo)-36 b(w)508 b(one)d(to)h(deduce)f(that)g Fu(Z)95 b Fv(\()p Fu(s;)221 b(f)142 b Fv(\))492 b(=)800 64986 y Fu(G)p Fv(\()p Fu(s;)221 b(T)181 b Fv(\()p Fu(f)70 b(;)221 b(l)6656 65185 y Fp(f)7262 64986 y Fv(\))p Fu(;)g(p)p Fv(\).)2128 66536 y(By)439 b(induction)d(h)-36 b(yp)36 b(othesis,)439 b(w)-36 b(e)438 b(ma)-36 b(y)438 b(assume)g(that)875 b Fu(Z)95 b Fv(\()p Fu(s;)221 b(f)142 b Fv(\))377 b(=)e Fu(G)p Fv(\()p Fu(s;)221 b(T)181 b Fv(\()p Fu(f)70 b(;)221 b(l)40829 66735 y Fp(f)41435 66536 y Fv(\))p Fu(;)g(p)p Fv(\),)439 b(for)f(ev)-36 b(ery)439 b(p)36 b(oly-)800 68086 y(nomial)582 b Fu(f)724 b Fv(satisfying)583 b(b)36 b(oth)581 b(the)1163 b(h)-36 b(yp)36 b(othesis)582 b(of)g(the)f(lemma,) 620 b(and)581 b(the)g(condition)1163 b(1)622 b Fo(5)f Fu(l)48837 68285 y Fp(f)50063 68086 y Fo(5)h Fu(k)45 b Fv(,)800 69635 y Fu(k)414 b Ft(2)369 b Fs(N)p Fv(.)p Black Black eop %%Page: 12 12 12 11 bop Black 0 TeXcolorgray Black 800 -3114 a Fk(12)p Black 2128 -458 a Fv(Case)435 b Fu(l)5630 -259 y Fp(f)6604 -458 y Fv(=)369 b Fu(k)340 b Fv(+)295 b(1,)434 b Fu(k)414 b Ft(2)369 b Fs(N)2128 1092 y Fv(Let)405 b Fu(f)142 b Fv(\()p Fu(x)p Fv(\))811 b(b)36 b(e)811 b(a)406 b(p)36 b(olynomial)407 b(satisfying)g(the)e(lemma's)811 b(h)-36 b(yp)36 b(othesis,)412 b(and)810 b Fu(l)41134 1291 y Fp(f)42108 1092 y Fv(=)369 b Fu(k)283 b Fv(+)237 b(1,)412 b Fu(k)i Fo(=)369 b Fv(1.)570 b(By)800 2642 y(applying)434 b(SPF,)f(w)-36 b(e)434 b(obtain)g(that)5442 5589 y Fu(Z)95 b Fv(\()p Fu(s;)221 b(f)142 b Fv(\))370 b(=)e Fu(p)11820 5041 y Fn(\241)p Fq(1)13078 5589 y Fu(\272)83 b Fv(\()p 14310 4508 783 54 v Fu(f)142 b Fv(\))295 b(+)g Fu(\261)50 b Fv(\()p 18333 4508 V Fu(f)141 b Fv(\))19754 4691 y(\(1)295 b Ft(\241)h Fu(p)23187 4209 y Fn(\241)p Fq(1)24444 4691 y Fv(\))p Fu(p)25603 4209 y Fn(\241)p Fq(1)p Fn(\241)p Fp(s)p 19754 5284 8274 54 v 20709 6501 a Fv(\(1)g Ft(\241)f Fu(p)24142 6117 y Fn(\241)p Fq(1)p Fn(\241)p Fp(s)26566 6501 y Fv(\))28455 5589 y(+)29762 4328 y Fm(X)29873 7156 y Fp(\273)34 b Fn(2)p Fp(S)31902 5589 y Fu(p)32555 5041 y Fn(\241)p Fq(1)p Fn(\241)p Fp(e)34925 5197 y Fj(\273)35379 5041 y Fp(s)36091 3781 y Fm(Z)37788 5589 y Ft(j)369 b Fu(f)39167 5788 y Fp(\273)39671 5589 y Fv(\()p Fu(x)p Fv(\))g Ft(j)42160 5041 y Fp(s)42160 5918 y(p)43058 5589 y Fu(dx:)4642 b Fv(\(5.10\))800 9122 y(No)-36 b(w,)424 b(since)c Fu(l)7673 9321 y Fp(f)8125 9477 y Fj(\273)9004 9122 y Fv(=)368 b Fu(l)10771 9321 y Fp(f)11645 9122 y Ft(\241)268 b Fv(1,)424 b(for)d(ev)-36 b(ery)841 b Fu(\273)433 b Ft(2)369 b Fu(S)77 b Fv(,)424 b(it)c(follo)-36 b(ws)422 b(from)f(the)f(induction)g(h)-36 b(yp)36 b(othesis)420 b(applied)g(to)800 10714 y(eac)-36 b(h)867 b Fu(f)4801 10913 y Fp(\273)5305 10714 y Fv(\()p Fu(x)p Fv(\))433 b(in)g(\()p 0 1 0 0 TeXcolorcmyk(5.10)p (#equation.5.10) [[158 621 178 633] [1 1 1 [3 3]] [0 0 1]] pdfm Black(\),)i(that)3819 13774 y Fu(Z)95 b Fv(\()p Fu(s;)221 b(f)142 b Fv(\))369 b(=)g Fu(p)10197 13226 y Fn(\241)p Fq(1)11454 13774 y Fu(\272)84 b Fv(\()p 12687 12693 783 54 v Fu(f)141 b Fv(\))295 b(+)g Fu(\261)50 b Fv(\()p 16709 12693 V Fu(f)142 b Fv(\))18131 12876 y(\(1)295 b Ft(\241)g Fu(p)21563 12394 y Fn(\241)p Fq(1)22821 12876 y Fv(\))p Fu(p)23980 12394 y Fn(\241)p Fq(1)p Fn(\241)p Fp(s)p 18131 13469 8274 54 v 19086 14686 a Fv(\(1)g Ft(\241)g Fu(p)22518 14302 y Fn(\241)p Fq(1)p Fn(\241)p Fp(s)24943 14686 y Fv(\))26832 13774 y(+)28139 12512 y Fm(X)28249 15341 y Fp(\273)35 b Fn(2)p Fp(S)30279 13774 y Fu(p)30932 13226 y Fn(\241)p Fq(1)p Fn(\241)p Fp(e)33302 13382 y Fj(\273)33756 13226 y Fp(s)34246 13774 y Fu(G)p Fv(\()p Fu(s;)221 b(T)181 b Fv(\()p Fu(f)39063 13973 y Fp(\273)39567 13774 y Fu(;)221 b(l)40536 13973 y Fp(f)41437 13774 y Ft(\241)295 b Fv(1\))p Fu(;)656 b(p)p 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Fu(d)39507 46493 y Fp(j)o(;i)40892 46294 y Ft(2)368 b Fs(Z)295 b Ft(n)h(f)p Fv(0)p Ft(gg)p Fu(:)800 51685 y Fg(The)453 b(c)-66 b(omputation)453 b(of)g(the)g(inte)-66 b(ger)451 b Fu(l)19179 51884 y Fp(f)20238 51685 y Fg(involves)i Fu(O)36 b Fv(\()p Fu(d)27354 51203 y Fq(2)27354 52031 y Fp(f)28092 51101 y Fq(log)171 b Fp(B)p 28092 51380 2126 54 v 28232 52143 a Fq(log)g Fp(p)30350 51685 y Fv(\))453 b Fg(arithmetic)f(op)-66 b(er)g(ations)452 b(on)i(inte)-66 b(gers)451 b(with)800 53422 y(binary)464 b(length)g Fu(O)36 b Fv(\(max)q Ft(f)p Fv(log)240 b Fu(B)67 b(;)221 b Fv(log)241 b Fu(p)p Ft(g)p Fv(\))p Fg(.)p Black 800 55986 a(Pr)-66 b(o)g(of.)p Black 552 w Fv(First,)528 b(w)-36 b(e)509 b(observ)-36 b(e)508 b(that)g(for)i Fu(c)496 b Ft(2)g Fs(Z)346 b Ft(n)h(f)p Fv(0)p Ft(g)p Fv(,)1036 b(the)508 b(computation)h(of)g Fu(v)40270 56185 y Fp(p)40799 55986 y Fv(\()p Fu(c)p Fv(\))1016 b(in)-36 b(v)g(olv)g(es)510 b Fu(O)36 b Fv(\()50016 55353 y Fq(log)14 b Fn(j)p Fp(c)p Fn(j)p 50016 55680 2146 54 v 50166 56444 a Fq(log)171 b Fp(p)52294 55986 y Fv(\))800 57723 y(divisions)573 b(of)g(in)-36 b(tegers)572 b(of)h(binary)f(length)g Fu(O)36 b Fv(\(max)p Ft(f)p Fv(log)624 b Ft(j)605 b Fu(c)g Ft(j)p Fu(;)572 b Fv(log)241 b Fu(p)p Ft(g)p Fv(\).)993 b(Th)-36 b(us)572 b(the)g(computation)f(of)800 59463 y Fu(v)1429 59662 y Fp(p)1958 59463 y Fv(\()2635 58940 y Fp(c)p 2597 59158 485 54 v 2597 59921 a(d)3213 59463 y Fv(\))369 b(=)g Fu(v)6098 59662 y Fp(p)6627 59463 y Fv(\()p Fu(c)p Fv(\))205 b Ft(\241)g Fu(v)10271 59662 y Fp(p)10800 59463 y Fv(\()p Fu(d)p Fv(\))p Fu(;)779 b Fv(in)-36 b(v)g(olv)g(es)391 b Fu(O)36 b Fv(\()20138 58830 y Fq(max)p Fn(f)p Fq(log)14 b Fn(j)p Fp(c)p Fn(j)p Fp(;)472 b Fq(log)14 b Fn(j)p Fp(d)p Fn(jg)p 20138 59158 7792 54 v 23110 59921 a Fq(log)172 b Fp(p)28062 59463 y Fv(\))389 b(divisions)i(and)e(subtractions)g(of)h (in)-36 b(tegers)390 b(with)800 61127 y(binary)434 b(length)17721 62761 y Fu(O)36 b Fv(\(max)q Ft(f)p Fv(log)388 b Ft(j)369 b Fu(c)g Ft(j)p Fu(;)221 b 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Fv(\()p Fu(\256)25059 44998 y Fp(i)25434 44799 y Fv(\))630 b Fo(=)g Fv(0)p Fg(,)641 b Fu(i)630 b Fv(=)f(1)p Fu(;)221 b Ft(\242)g(\242)g(\242)445 b Fu(;)221 b(r)36 b Fg(.)1021 b(The)605 b(c)-66 b(omputation)605 b(of)1211 b(the)800 46378 y Fu(p)p Ft(\241)p Fg(adic)389 b(exp)-66 b(ansions)388 b(mo)-66 b(dulo)389 b Fu(p)16693 45896 y Fp(l)16974 46052 y Fj(f)17504 45896 y Fq(+1)19151 46378 y Fg(of)f(the)h(r)-66 b(o)g(ots)389 b Fu(\256)26616 46577 y Fp(i)26992 46378 y Fg(,)404 b Fu(i)368 b Fv(=)h(1)p Fu(;)221 b Fv(2)p Fu(;)g Ft(\242)g(\242)g(\242)446 b Fu(;)221 b(r)36 b Fg(,)404 b(of)389 b Fu(f)142 b Fv(\()p Fu(x)p Fv(\))777 b Fg(involves)389 b Fu(O)36 b Fv(\()p Fu(d)48269 46577 y Fp(f)49262 46378 y Fu(l)49649 46577 y Fp(f)50381 46378 y Fv(+)126 b Fu(d)52195 46577 y Fp(f)800 47928 y Fv(log)19 b(\(max)q Ft(f)p Fu(B)67 b(;)221 b(p)p Ft(g)p Fv(\)\))388 b Fg(arithmetic)e(op)-66 b(er)g(ations)775 b(on)388 b(inte)-66 b(gers)385 b(with)j(binary)f(length)775 b Fu(O)36 b Fv(\(max)q Ft(f)p Fv(log)241 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Fv(\))g(for)h(the)e(set)h(of)h(se-)800 1092 y(quences)702 b(of)352 b(the)f(form)h Ft(f)p Fu(b)13644 1291 y Fq(0)14170 1092 y Fu(;)221 b Ft(\242)g(\242)g(\242)q Fu(;)g(b)17437 1291 y Fp(u)18038 1092 y Ft(g)p Fv(,)368 b Fu(b)19984 1291 y Fp(i)20729 1092 y Ft(2)g Fs(F)22795 1291 y Fp(p)23269 1039 y Fj(n)23891 1092 y Fv(,)719 b(0)369 b Ft(\267)g Fu(i)g Ft(\267)g Fu(u)p Fv(,)f Fu(u)i Ft(2)e Fs(N)p Fv(.)551 b(F)-108 b(rom)351 b(the)g(ab)36 b(o)-36 b(v)g(e)352 b(considerations,)800 2642 y(it)434 b(is)g(p)36 b(ossible)434 b(to)f(iden)-36 b(tify)434 b(an)g(LFSR)f(with)g(a)h(function)f Fu(F)30187 2841 y Fp(u)30787 2642 y Fv(,)h Fu(u)370 b Ft(2)e Fs(N)p Fv(,)434 b(de\257ned)e(as)i(follo)-36 b(ws:)17982 4721 y Fu(F)18824 4920 y Fp(u)19794 4721 y Fv(:)1236 b Fs(F)22203 4920 y Fp(p)22677 4669 y Fj(n)23299 4721 y Fv(\()p Fu(x)p Fv(\))g Ft(!)2008 b Fu(N)30803 4239 y Fn(1)31798 4721 y Fv(\()p Fs(F)33116 4920 y Fp(p)33590 4669 y Fj(n)34211 4721 y Fv(\))21553 5701 y Fn(1)21322 5966 y Fm(P)21262 8101 y Fp(i)p Fq(=0)23006 6962 y Fu(a)23689 7161 y Fp(i)24064 6962 y Fu(x)24803 6480 y Fp(i)26286 6962 y Ft(!)1107 b(f)p Fu(a)30068 7161 y Fq(0)30594 6962 y Fu(;)221 b Ft(\242)g(\242)g(\242)r Fu(;)g(a)33992 7161 y Fp(u)34592 6962 y Ft(g)p Fu(:)50126 6268 y Fv(\(8.1\))800 9879 y(W)-108 b(e)434 b(set)7533 11512 y Ft(H)382 b Fv(=)369 b Ft(f)p Fu(H)103 b Fv(\()p Fu(t;)221 b(f)142 b Fv(\))368 b Ft(j)h Fu(f)142 b Fv(\()p Fu(x)p Fv(\))369 b Ft(2)f Fs(Z)p Fv([)p Fu(x)p Fv(],)434 b(in)867 b(one)434 b(v)-72 b(ariable,)435 b(with)e(splitting)h(\257eld)f Fs(Q)p Ft(g)p Fu(;)800 13416 y Fv(and)481 b Fu(N)4558 12934 y Fn(1)6035 13416 y Fv(\()o Fs(Z)p Fv(\))g(for)h(the)f(set)962 b(of)482 b(\257nite)f(sequences)g(of)h(in)-36 b(tegers.)721 b(Also,)494 b(for)482 b(eac)-36 b(h)481 b Fu(u)451 b Ft(2)e Fs(N)p Fv(,)494 b(and)481 b(a)g(prime)800 14966 y(n)-36 b(um)g(b)36 b(er)432 b Fu(p)p Fv(,)i(w)-36 b(e)434 b(de\257ne)11473 17046 y Fu(F)12315 17245 y Fp(u;p)14019 17046 y Fv(:)2553 b Ft(H)3000 b(!)8389 b Fs(N)31731 16564 y Fn(1)32949 17046 y Fv(\()o Fs(Z)p Fv(\))15487 18595 y Fu(H)103 b Fv(\()p Fu(t;)221 b(f)142 b Fv(\))1540 b Ft(!)1107 b(f)p Fu(N)25196 18794 y Fq(0)25722 18595 y Fv(\()p Fu(f)70 b(;)221 b(p)p Fv(\))p Fu(;)g(N)30304 18794 y Fq(1)30830 18595 y Fv(\()p Fu(f)70 b(;)221 b(p)p Fv(\))p Fu(;)g Ft(\242)g(\242)g(\242)q Fu(;)g(N)37544 18794 y Fp(u)38144 18595 y Fv(\()p Fu(f)70 b(;)221 b(p)p Fv(\))p Ft(g)p Fv(.)50126 17843 y(\(8.2\))800 20719 y(Th)-36 b(us)396 b(the)g(mappings)g Fu(F)12926 20918 y Fp(u;p)14657 20719 y Fv(can)h(b)36 b(e)396 b(seen)g(as)h(LFSRs,)404 b(or)396 b(stream)h(ciphers,)403 b(o)-36 b(v)g(er)397 b Fs(Z)p Fv(.)566 b(If)397 b(w)-36 b(e)396 b(replace)h(eac)-36 b(h)800 22269 y Fu(N)1842 22468 y Fp(u)2442 22269 y Fv(\()p Fu(f)70 b(;)221 b(p)p Fv(\))429 b(b)-36 b(y)430 b(its)g(binary)g (represen)-36 b(tation,)430 b(then)f(the)859 b Fu(F)28844 22468 y Fp(u;p)30609 22269 y Fv(are)430 b(LFSRs.)576 b(F)-108 b(or)429 b(practical)i(purp)36 b(oses)429 b(it)h(is)800 23819 y(necessary)501 b(that)f Fu(F)10353 24018 y Fp(u;p)12690 23819 y Fv(can)g(b)36 b(e)501 b(computed)e(e\261cien)-36 b(tly)-108 b(,)518 b(i.e.,)g(in)501 b(p)36 b(olynomial)502 b(time.)780 b(With)500 b(the)g(ab)36 b(o)-36 b(v)g(e)800 25369 y(notation)434 b(our)f(second)g(result)g(is)h(the)f(follo)-36 b(wing.)p Black 800 27741 a Fw(Theorem)436 b(8.1.)p Black 512 w Fg(F)-100 b(or)415 b(every)f Fu(H)103 b Fv(\()p Fu(t;)221 b(f)142 b Fv(\))414 b Ft(2)g(H)13 b Fg(,)424 b(the)414 b(c)-66 b(omputation)413 b(of)829 b Fu(F)35566 27940 y Fp(u;p)36901 27741 y Fv(\()p Fu(H)103 b Fv(\()p Fu(t;)221 b(f)142 b Fv(\)\))413 b Fg(involves)h Fu(O)36 b Fv(\()p Fu(u)49495 27259 y Fq(2)50021 27741 y Fu(d)50697 27940 y Fp(f)51302 27741 y Fu(l)51689 27940 y Fp(f)52294 27741 y Fv(\))800 29291 y Fg(arithmetic)440 b(op)-66 b(er)g(ations,)445 b(and)d(the)f(inte)-66 b(gers)440 b(on)i(which)g(these)g(op)-66 b(er)g(ations)441 b(ar)-66 b(e)441 b(p)-66 b(erforme)g(d)440 b(have)i(binary)800 30840 y(length)16814 32474 y Fu(O)36 b Fv(\(max)p Ft(f)465 b Fv(\()p Fu(l)22792 32673 y Fp(f)23693 32474 y Fv(+)295 b Fu(u)p Fv(\))221 b(log)240 b Fu(p;)908 b Fv(log)19 b(\()p Fu(d)33152 32673 y Fp(f)33757 32474 y Fu(l)34144 32673 y Fp(f)34749 32474 y Fv(\))p Ft(g)p Fv(\))p Fu(:)2128 34846 y Fv(The)541 b(pro)36 b(of)542 b(of)g(this)e(theorem)h(will)h(b) 36 b(e)541 b(giv)-36 b(en)541 b(at)g(the)g(end)f(of)i(this)e(section.) 901 b(This)541 b(pro)36 b(of)542 b(requires)800 36396 y(some)434 b(preliminary)g(results.)578 b(W)-108 b(e)434 b(set)f Fu(t)369 b Fv(=)f Fu(q)22785 35914 y Fn(\241)p Fp(s)24007 36396 y Fv(,)434 b(and)16957 39565 y Fu(Z)95 b Fv(\()p Fu(s;)221 b(f)142 b Fv(\))369 b(=)g Fu(Z)95 b Fv(\()p Fu(t;)221 b(f)142 b Fv(\))369 b(=)28811 37905 y Fn(1)28322 38303 y Fm(X)28264 41093 y Fp(m)p Fq(=0)30520 39565 y Fu(c)31080 39764 y Fp(m)31967 39565 y Fv(\()p Fu(f)70 b(;)221 b(p)p Fv(\))p Fu(t)35395 39017 y Fp(m)36282 39565 y Fu(;)800 42958 y Fv(with)434 b Fu(c)4323 43157 y Fp(m)5210 42958 y Fv(\()p Fu(f)70 b(;)221 b(p)p Fv(\))369 b(=)f Fu(v)48 b(ol)29 b Fv(\()p Ft(f)p Fu(x)370 b Ft(2)e Fs(Z)16054 43157 y Fp(p)16952 42958 y Ft(j)h Fu(v)18319 43157 y Fp(p)18848 42958 y Fv(\()p Fu(f)142 b Fv(\()p Fu(x)p Fv(\)\))368 b(=)h Fu(m)p Ft(g)p Fv(\).)p Black 800 45331 a Fw(Prop)42 b(osition)395 b(8.1.)p Black 484 w Fg(L)-66 b(et)379 b Fu(f)142 b Fv(\()p Fu(x)p Fv(\))369 b Ft(2)f Fs(Z)p Fv([)p Fu(x)p Fv(])108 b Ft(n)g Fs(Z)382 b Fg(b)-66 b(e)380 b(a)g(p)-66 b(olynomial)380 b(in)g(one)h(variable)f (and)g Fu(p)h Fg(a)g(prime)f(numb)-66 b(er.)800 46881 y(The)465 b(fol)66 b(lowing)464 b(formula)h(holds)h(for)f Fu(N)20240 47080 y Fp(n)20866 46881 y Fv(\()p Fu(f)70 b(;)221 b(p)p Fv(\))p Fg(:)12319 51071 y Fu(N)13361 51270 y Fp(n)13987 51071 y Fv(\()p Fu(f)70 b(;)221 b(p)p Fv(\))368 b(=)18694 47949 y Fm(8)18694 49145 y(>)18694 49543 y(<)18694 51934 y(>)18694 52333 y(:)26684 49056 y Fv(1)p Fg(,)7362 b(if)1116 b Fu(n)370 b Fv(=)e(0)p Fg(;)20428 51846 y Fu(p)21081 51364 y Fp(n)21929 49574 y Fm(\303)22980 51846 y Fv(1)296 b Ft(\241)25786 50584 y Fp(n)25370 50849 y Fm(P)25254 52985 y Fp(j)51 b Fq(=1)27109 51846 y Fu(c)27669 52045 y Fp(j)g Fn(\241)p Fq(1)29358 51846 y Fv(\()p Fu(f)70 b(;)221 b(p)p Fv(\))32316 49574 y Fm(!)33589 51846 y Fg(,)1107 b(if)f Fu(n)369 b Fo(>)g Fv(1)p Fg(.)50126 51071 y Fv(\(8.3\))p Black 800 55384 a Fg(Pr)-66 b(o)g(of.)p Black 552 w Fv(The)434 b(result)f(follo)-36 b(ws)436 b(b)-36 b(y)433 b(comparing)867 b(the)433 b(co)36 b(e\261cien)-36 b(t)434 b(of)h Fu(t)34200 54902 y Fp(n)35259 55384 y Fv(of)f(the)f(series)18533 56893 y Fn(1)18044 57292 y Fm(X)18117 60081 y Fp(n)p Fq(=0)20317 57655 y Fu(N)21359 57854 y Fp(n)21985 57655 y Fv(\()p Fu(f)70 b(;)221 b(p)p Fv(\))p 20317 58248 4626 54 v 21991 59465 a Fu(p)22644 59081 y Fp(n)25076 58554 y Fu(t)25546 58005 y Fp(n)27472 58554 y Fv(and)31145 56893 y Fn(1)30656 57292 y Fm(X)30729 60081 y Fp(n)p Fq(=0)32796 58554 y Fu(d)33472 58753 y Fp(n)34099 58554 y Fu(t)34569 58005 y Fp(n)35194 58554 y Fv(,)800 61873 y(in)433 b(the)h(follo)-36 b(wing)435 b(equalit)-36 b(y)435 b(:)9046 66574 y Fu(H)103 b Fv(\()p Fu(t;)221 b(f)142 b Fv(\))369 b(=)15312 64914 y Fn(1)14823 65312 y Fm(X)14896 68102 y Fp(n)p Fq(=0)17096 65675 y Fu(N)18138 65874 y Fp(n)18764 65675 y Fv(\()p Fu(f)70 b(;)221 b(p)p Fv(\))p 17096 66269 V 18769 67485 a Fu(p)19422 67101 y Fp(n)21854 66574 y Fu(t)22324 66026 y Fp(n)23319 66574 y Fv(=)24833 64794 y(1)295 b Ft(\241)h Fu(t)27798 62921 y Fm(\265)29322 63532 y Fn(1)29092 63798 y Fm(P)28776 65923 y Fp(m)p Fq(=0)31032 64794 y Fu(c)31592 64993 y Fp(m)32479 64794 y Fv(\()p Fu(f)70 b(;)221 b(p)p Fv(\))p Fu(t)35907 64312 y Fp(m)36794 62921 y Fm(\266)p 24833 66269 12940 54 v 29931 67485 a Fv(1)295 b Ft(\241)g Fu(t)38274 66574 y Fv(=)40143 64914 y Fn(1)39654 65312 y Fm(X)39727 68102 y Fp(n)p Fq(=0)41794 66574 y Fu(d)42470 66773 y Fp(n)43097 66574 y Fu(t)43567 66026 y Fp(n)44193 66574 y Fu(:)p 1354 69801 443 831 v Black Black eop %%Page: 16 16 16 15 bop Black 0 TeXcolorgray Black 800 -3114 a Fk(16)p Black 2128 -458 a Fv(W)-108 b(e)434 b(asso)36 b(ciate)435 b(to)f(eac)-36 b(h)433 b Fu(u)369 b Ft(2)g Fu(T)181 b Fv(\()p Fu(f)70 b(;)221 b(l)19847 -259 y Fp(f)20453 -458 y Fv(\),)433 b(and)g Fu(j)444 b Ft(2)369 b Fs(N)p Fv(,)434 b(a)g(rational)g(in)-36 b(teger)434 b Fu(a)39181 -259 y Fp(j)39667 -458 y Fv(\()p Fu(u)p Fv(\))g(de\257ned)e(as)i(follo)-36 b(ws:)2716 11205 y Fu(a)3399 11404 y Fp(j)3886 11205 y Fv(\()p Fu(u)p Fv(\))369 b(=)7387 2106 y Fm(8)7387 3301 y(>)7387 3700 y(>)7387 4098 y(>)7387 4497 y(>)7387 4895 y(>)7387 5294 y(>)7387 5692 y(>)7387 6091 y(>)7387 6489 y(>)7387 6888 y(>)7387 7286 y(>)7387 7685 y(>)7387 8083 y(>)7387 8482 y(>)7387 8880 y(>)7387 9279 y(>)7387 9677 y(<)7387 12068 y(>)7387 12467 y(>)7387 12865 y(>)7387 13264 y(>)7387 13662 y(>)7387 14061 y(>)7387 14459 y(>)7387 14858 y(>)7387 15256 y(>)7387 15655 y(>)7387 16053 y(>)7387 16452 y(>)7387 16850 y(>)7387 17249 y(>)7387 17647 y(>)7387 18046 y(>)7387 18444 y(:)10624 3357 y Fq(\()p Fp(p)p Fn(\241)p Fq(1\))p 9255 3685 5147 54 v 9255 4498 a Fp(p)9729 4236 y Fj(l)p Fh(\()p Fj(u)p Fh(\)+1+)p Fj(y)24 b Fh(\()p Fj(u)p Fh(\))14534 3990 y Fv(,)867 b(if)18182 3193 y Fu(l)29 b Fv(\()p Fu(u)p Fv(\))369 b(=)g(1)295 b(+)g Fu(l)24739 3392 y Fp(f)25345 3193 y Fv(,)433 b Fu(W)181 b Fv(\()p Fu(u)p Fv(\))369 b Fo(=)g Fv(2,)434 b Fu(j)444 b Fv(=)369 b Fu(W)36288 2711 y Fn(\244)36813 3193 y Fv(\()p Fu(B)38307 3392 y Fp(u)38907 3193 y Fv(\))295 b(+)g Fu(y)48 b Fv(\()p Fu(u)p Fv(\))p Fu(W)181 b Fv(\()p Fu(u)p Fv(\),)27264 4743 y(for)434 b(some)g Fu(y)48 b Fv(\()p Fu(u)p Fv(\))369 b Ft(2)f Fs(N)p Fv(;)9447 7422 y Fq(\()p Fp(p)p Fn(\241)p Fp(V)208 b(al)11 b Fq(\()p Fp(u)p Fq(\)\))p 9447 7750 4763 54 v 10352 8562 a Fp(p)10826 8301 y Fj(l)p Fh(\()p Fj(u)p Fh(\)+1)14342 8055 y Fv(,)867 b(if)5367 b(0)370 b Fo(5)f Fu(l)29 b Fv(\()p Fu(u)p Fv(\))369 b Fo(5)g Fu(l)28443 8254 y Fp(f)29049 8055 y Fv(,)434 b Fu(W)181 b Fv(\()p Fu(u)p Fv(\))368 b Ft(6)p Fv(=)h(1,)434 b Fu(j)444 b Fv(=)368 b Fu(W)39970 7573 y Fn(\244)40496 8055 y Fv(\()p Fu(B)41990 8254 y Fp(u)42590 8055 y Fv(\);)10624 11546 y Fq(\()p Fp(p)p Fn(\241)p Fq(1\))p 9255 11874 5147 54 v 9255 12687 a Fp(p)9729 12425 y Fj(l)p Fh(\()p Fj(u)p Fh(\)+1+)p Fj(y)24 b Fh(\()p Fj(u)p Fh(\))14534 12180 y Fv(,)867 b(if)23140 11369 y Fu(u)370 b Ft(2)e(M)27099 11576 y Fp(T)131 b Fq(\()p Fp(f)45 b(;l)29183 11732 y Fj(f)29714 11576 y Fq(\))30135 11369 y Fu(;)221 b(j)445 b Fv(=)368 b Fu(W)34489 10887 y Fn(\244)35015 11369 y Fv(\()p Fu(B)36509 11568 y Fp(u)37109 11369 y Fv(\))295 b(+)g Fu(y)48 b Fv(\()p Fu(u)p Fv(\),)27264 12946 y(for)434 b(some)g Fu(y)48 b Fv(\()p Fu(u)p Fv(\))369 b Ft(2)f Fs(N)p Fv(;)9335 16045 y(0,)5203 b(if)8149 b Fu(W)181 b Fv(\()p Fu(u)p Fv(\))368 b(=)h(1,)434 b(and)f Fu(u)524 b(=)-805 b Ft(2)369 b(M)37299 16252 y Fp(T)131 b Fq(\()p Fp(f)45 b(;l)39383 16408 y Fj(f)39914 16252 y Fq(\))40335 16045 y Fv(;)9498 19172 y(0,)18013 b(in)434 b(other)f(cases.)50126 11205 y(\(8.4\))p Black 800 21728 a Fw(Prop)42 b(osition)571 b(8.2.)p Black 586 w Fg(L)-66 b(et)521 b Fu(f)142 b Fv(\()p Fu(x)p Fv(\))475 b Ft(2)f Fs(Z)p Fv([)p Fu(x)p Fv(])338 b Ft(n)g Fs(Z)522 b Fg(b)-66 b(e)521 b(a)h(p)-66 b(olynomial)522 b(in)f(one)h(variable,)535 b(with)522 b(splitting)e(\257eld)800 23277 y Fs(Q)p Fg(,)465 b(and)g Fu(p)f Fg(a)h(prime)f(numb)-66 b(er.)596 b(The)465 b(fol)66 b(lowing)465 b(formula)g(holds:)18054 25944 y Fu(c)18614 26143 y Fp(j)19100 25944 y Fv(\()p Fu(f)70 b(;)221 b(p)p Fv(\))369 b(=)24925 24682 y Fm(X)23808 27560 y Fp(u)p Fn(2)p Fp(T)131 b Fq(\()p Fp(f)45 b(;l)27064 27716 y Fj(f)27594 27560 y Fq(\))28182 25944 y Fu(a)28865 26143 y Fp(j)29351 25944 y Fv(\()p Fu(u)p Fv(\))p Fu(;)687 b(j)444 b Fo(=)369 b Fv(0)p Fu(:)14580 b Fv(\(8.5\))p Black 800 30066 a Fg(Pr)-66 b(o)g(of.)p Black 552 w Fv(As)434 b(a)g(consequence)f(of)i(lemma)f(\()p 0 1 0 0 TeXcolorcmyk(5.1)p (#lemma.5.1) [[264 446 279 458] [1 1 1 [3 3]] [0 0 1]] pdfm Black(\),)g(w)-36 b(e)434 b(ha)-36 b(v)g(e)434 b(the)f(follo)-36 b(wing)435 b(iden)-36 b(tit)g(y:)20158 32807 y Fu(Z)95 b Fv(\()p Fu(t;)221 b(f)142 b Fv(\))370 b(=)26857 31545 y Fm(X)25740 34423 y Fp(u)p Fn(2)p Fp(T)131 b Fq(\()p Fp(f)45 b(;l)28996 34579 y Fj(f)29527 34423 y Fq(\))30114 32807 y Fu(L)30999 33006 y Fp(u)31599 32807 y Fv(\()p Fu(t)p Fv(\))p Fu(;)16684 b Fv(\(8.6\))800 36777 y(with)8865 43956 y Fu(L)9750 44155 y Fp(u)10350 43956 y Fv(\()p Fu(t)p Fv(\))368 b(=)13581 37248 y Fm(8)13581 38443 y(>)13581 38842 y(>)13581 39240 y(>)13581 39639 y(>)13581 40038 y(>)13581 40436 y(>)13581 40835 y(>)13581 41233 y(>)13581 41632 y(>)13581 42030 y(>)13581 42429 y(<)13581 44820 y(>)13581 45218 y(>)13581 45617 y(>)13581 46015 y(>)13581 46414 y(>)13581 46812 y(>)13581 47211 y(>)13581 47609 y(>)13581 48008 y(>)13581 48406 y(>)13581 48805 y(:)17037 38161 y Fq(\()p Fp(p)p Fn(\241)p Fq(1\))p Fp(t)19785 37849 y Fj(W)20657 37570 y Ff(\244)21137 37849 y Fh(\()p Fj(B)22072 37960 y(u)22617 37849 y Fh(\))p 15448 38489 9134 54 v 15448 39301 a Fp(p)15922 39040 y Fj(l)p Fh(\()p Fj(u)p Fh(\)+1)18400 39301 y Fq(\(1)p Fn(\241)p Fp(p)20442 39049 y Ff(\241)p Fh(1)21543 39301 y Fp(t)22159 39040 y Fj(W)108 b Fh(\()p Fj(u)p Fh(\))24216 39301 y Fq(\))24714 38794 y Fv(,)868 b(if)2277 b Fu(l)29 b Fv(\()p Fu(u)p Fv(\))370 b(=)e(1)296 b(+)f Fu(l)35536 38993 y Fp(f)36141 38794 y Fv(,)434 b Fu(W)181 b Fv(\()p Fu(u)p Fv(\))368 b Fo(=)i Fv(2;)15629 41737 y Fq(\()p Fp(p)p Fn(\241)p Fp(V)208 b(al)11 b Fq(\()p Fp(u)p Fq(\)\))p 15629 42064 4763 54 v 16534 42877 a Fp(p)17008 42616 y Fj(l)p Fh(\()p Fj(u)p Fh(\)+1)20524 42370 y Fu(t)20994 41888 y Fp(W)22013 41575 y Ff(\244)22492 41888 y Fq(\()p Fp(B)23568 41999 y Fj(u)24112 41888 y Fq(\))24534 42370 y Fv(,)867 b(if)2374 b(0)369 b Fo(5)g Fu(l)29 b Fv(\()p Fu(u)p Fv(\))370 b Fo(5)f Fu(l)35642 42569 y Fp(f)36247 42370 y Fv(,)434 b Fu(W)181 b Fv(\()p Fu(u)p Fv(\))369 b Ft(6)p Fv(=)f(1;)17037 45499 y Fq(\()p Fp(p)p Fn(\241)p Fq(1\))p Fp(t)19785 45187 y Fj(W)20657 44908 y Ff(\244)21137 45187 y Fh(\()p Fj(B)22072 45298 y(u)22617 45187 y Fh(\))p 16615 45827 6801 54 v 16615 46639 a Fp(p)17089 46378 y Fj(l)p Fh(\()p Fj(u)p Fh(\)+1)19567 46639 y Fq(\(1)p Fn(\241)p Fp(p)21609 46387 y Ff(\241)p Fh(1)22709 46639 y Fp(t)p Fq(\))23548 46132 y Fv(,)867 b(if)6717 b Fu(u)369 b Ft(2)g(M)36210 46339 y Fp(T)131 b Fq(\()p Fp(f)45 b(;l)38294 46495 y Fj(f)38824 46339 y Fq(\))39245 46132 y Fv(;)18823 49495 y(0,)2601 b(if)4616 b Fu(W)181 b Fv(\()p Fu(u)p Fv(\))368 b(=)h(1,)434 b(and)f Fu(u)524 b(=)-805 b Ft(2)369 b(M)40652 49702 y Fp(T)131 b Fq(\()p Fp(f)45 b(;l)42736 49858 y Fj(f)43266 49702 y Fq(\))43688 49495 y Fu(:)50126 43956 y Fv(\(8.7\))2128 52519 y(The)397 b(result)g(follo)-36 b(ws)398 b(b)-36 b(y)397 b(comparing)g(the)f(co)36 b(e\261cien)-36 b(t)397 b(of)h Fu(t)30825 52037 y Fp(j)31708 52519 y Fv(in)f(the)f(series)h Fu(Z)95 b Fv(\()p Fu(t;)221 b(f)142 b Fv(\))370 b(=)44967 51257 y Fn(1)44736 51522 y Fm(P)44420 53648 y Fp(m)p Fq(=0)46676 52519 y Fu(c)47236 52718 y Fp(m)48124 52519 y Fv(\()p Fu(f)70 b(;)221 b(p)p Fv(\))p Fu(t)51552 52037 y Fp(m)52439 52519 y Fv(,)800 54888 y(and)433 b Fu(Z)95 b Fv(\()p Fu(t;)221 b(f)142 b Fv(\))370 b(=)10286 53891 y Fm(P)8911 56105 y Fp(u)p Fn(2)p Fp(T)131 b Fq(\()p Fp(f)45 b(;l)12167 56261 y Fj(f)12698 56105 y Fq(\))13285 54888 y Fu(L)14170 55087 y Fp(u)14770 54888 y Fv(\()p Fu(t)p Fv(\).)p 17166 55054 443 831 v Black 800 58611 a Fw(Prop)d(osition)571 b(8.3.)p Black 586 w Fg(L)-66 b(et)521 b Fu(f)142 b Fv(\()p Fu(x)p Fv(\))475 b Ft(2)f Fs(Z)p Fv([)p Fu(x)p Fv(])338 b Ft(n)g Fs(Z)522 b Fg(b)-66 b(e)521 b(a)h(p)-66 b(olynomial)522 b(in)f(one)h(variable,) 535 b(with)522 b(splitting)e(\257eld)800 60161 y Fs(Q)p Fg(,)465 b(and)g Fu(p)f Fg(a)h(prime)f(numb)-66 b(er.)p Black 2779 62162 a Fv(\(1\))p Black 553 w Fg(The)544 b(c)-66 b(omputation)1086 b(of)h Fu(N)18950 62361 y Fp(n)19576 62162 y Fv(\()p Fu(f)70 b(;)221 b(p)p Fv(\))p Fg(,)563 b Fu(n)515 b Fo(=)g Fv(1)p Fg(,)1107 b(fr)-66 b(om)1087 b(the)543 b Fu(c)34983 62361 y Fp(j)51 b Fn(\241)p Fq(1)36672 62162 y Fv(\()p Fu(f)70 b(;)221 b(p)p Fv(\))p Fg(,)563 b Fu(j)590 b Fv(=)514 b(1)p Fu(;)221 b Ft(\242)g(\242)g(\242)r Fu(;)g(n)p Fg(,)564 b(involves)4994 63712 y Fu(O)36 b Fv(\()p Fu(n)p Fv(\))1395 b Fg(arithmetic)463 b(op)-66 b(er)g(ations)464 b(on)g(inte)-66 b(gers)463 b(with)i(binary)f(length) 929 b Fu(O)36 b Fv(\()p Fu(n)221 b Fv(log)241 b Fu(p)p Fv(\))p Fg(.)p Black 2779 65262 a Fv(\(2\))p Black 553 w Fg(The)511 b(c)-66 b(omputation)1020 b(of)h Fu(c)18303 65461 y Fp(j)18790 65262 y Fv(\()p Fu(f)70 b(;)221 b(p)p Fv(\))p Fg(,)522 b Fu(j)528 b Fo(=)454 b Fv(0)p Fg(,)1033 b(fr)-66 b(om)1021 b Fu(Z)95 b Fv(\()p Fu(t;)221 b(f)142 b Fv(\))p Fg(,)522 b(involves)1021 b Fu(O)36 b Fv(\()p Fu(d)43370 65461 y Fp(f)43974 65262 y Fu(l)44361 65461 y Fp(f)44967 65262 y Fv(\))1532 b Fg(arithmetic)4994 66811 y(op)-66 b(er)g(ations)464 b(on)h(inte)-66 b(gers)927 b(with)465 b(binary)f(length)15839 69264 y(O)126 b Fv(\(max)p Ft(f)p Fv(\()p Fu(j)370 b Fv(+)295 b Fu(l)23659 69463 y Fp(f)24264 69264 y Fv(\))221 b(log)241 b Fu(p;)221 b Fv(log)241 b Fu(p;)221 b Fv(log)19 b(\()p Fu(d)34127 69463 y Fp(f)34732 69264 y Fu(l)35119 69463 y Fp(f)35724 69264 y Fv(\))p Ft(g)p Fv(\))p Fu(:)p Black Black eop %%Page: 17 17 17 16 bop Black 0 TeXcolorgray Black 51776 -3114 a Fk(17)p Black Black 2779 -458 a Fv(\(3\))p Black 553 w Fg(The)396 b(c)-66 b(omputation)790 b(of)395 b(any)h Fu(N)20236 -259 y Fp(n)20861 -458 y Fv(\()p Fu(f)70 b(;)221 b(p)p Fv(\))p Fg(,)409 b Fu(n)370 b Fo(=)f Fv(1)p Fg(,)409 b(fr)-66 b(om)395 b Fu(Z)95 b Fv(\()p Fu(t;)221 b(f)142 b Fv(\))p Fg(,)409 b(involves)395 b Fu(O)36 b Fv(\()p Fu(nd)44110 -259 y Fp(f)44715 -458 y Fu(l)45102 -259 y Fp(f)45708 -458 y Fv(\))791 b Fg(arithmetic)4994 1092 y(op)-66 b(er)g(ations)464 b(on)h(inte)-66 b(gers)463 b(with)h(binary)g(length)17325 3277 y(O)126 b Fv(\(max)q Ft(f)p Fv(\()p Fu(n)295 b Fv(+)g Fu(l)25309 3476 y Fp(f)25915 3277 y Fv(\))221 b(log)240 b Fu(p;)221 b Fv(log)20 b(\()p Fu(d)32641 3476 y Fp(f)33245 3277 y Fu(l)33632 3476 y Fp(f)34238 3277 y Fv(\))p Ft(g)p Fv(\))p Fu(:)p Black 800 5655 a Fg(Pr)-66 b(o)g(of.)p Black 552 w Fv(\(1\))434 b(By)g(\()p 0 1 0 0 TeXcolorcmyk(8.4)p (#equation.8.4) [[157 666 172 678] [1 1 1 [3 3]] [0 0 1]] pdfm Black(\))g(and)f(\()p 0 1 0 0 TeXcolorcmyk(8.5)p (#equation.8.5) [[207 666 222 678] [1 1 1 [3 3]] [0 0 1]] pdfm Black(\),)i Fu(c)18577 5854 y Fp(j)19063 5655 y Fv(\()p Fu(f)70 b(;)221 b(p)p Fv(\))369 b(=)24302 4979 y Fp(v)24760 5114 y Fj(j)p 23903 5350 1690 54 v 23903 6125 a Fp(p)24377 5689 y Fj(m)25103 5900 y(j)25725 5655 y Fv(,)434 b Fu(v)27149 5854 y Fp(j)27636 5655 y Fu(;)221 b(m)29356 5854 y Fp(j)30212 5655 y Ft(2)369 b Fs(N)p Fv(.)578 b(In)434 b(addition,)14769 8177 y Fu(c)15329 8376 y Fp(j)51 b Fn(\241)p Fq(1)17018 8177 y Fv(\()p Fu(f)70 b(;)221 b(p)p Fv(\))369 b(=)g Fu(p)22379 7629 y Fn(\241)p Fp(j)51 b Fq(+1)24800 8177 y Fu(N)25842 8376 y Fp(j)g Fn(\241)p Fq(1)27530 8177 y Fv(\()p Fu(f)70 b(;)221 b(p)p Fv(\))295 b Ft(\241)h Fu(p)32765 7629 y Fn(\241)p Fp(j)33983 8177 y Fu(N)35025 8376 y Fp(j)35512 8177 y Fv(\()p Fu(f)70 b(;)221 b(p)p Fv(\))p Fu(:)800 10362 y Fv(Th)-36 b(us)378 b Fu(p)4693 9880 y Fp(n)5319 10362 y Fu(c)5879 10561 y Fp(j)51 b Fn(\241)p Fq(1)7568 10362 y Fv(\()p Fu(f)70 b(;)221 b(p)p Fv(\))369 b Ft(2)f Fs(N)p Fv(,)390 b(for)758 b Fu(j)444 b Fv(=)368 b(1)p Fu(;)221 b Ft(\242)g(\242)g(\242)r Fu(;)g(n)p Fv(,)391 b(and)756 b Fu(m)27415 10561 y Fp(j)28271 10362 y Ft(\267)378 b Fu(n;)i Fv(for)757 b Fu(j)444 b Fv(=)368 b(1)p Fu(;)221 b Ft(\242)g(\242)g(\242)r Fu(;)g(n)p Fv(.)561 b(F)-108 b(rom)378 b(\()p 0 1 0 0 TeXcolorcmyk(8.3)p (#equation.8.3) [[475 624 490 636] [1 1 1 [3 3]] [0 0 1]] pdfm Black(\),)391 b(it)378 b(follo)-36 b(ws)800 11912 y(that)15561 14291 y Fu(N)16603 14490 y Fp(n)17228 14291 y Fv(\()p Fu(f)70 b(;)221 b(p)p Fv(\))369 b(=)g Fu(p)22589 13742 y Fp(n)23510 14291 y Ft(\241)25512 12630 y Fp(n)24838 13029 y Fm(X)24981 15828 y Fp(j)51 b Fq(=1)26978 14291 y Fu(p)27631 13742 y Fp(n)28257 14291 y Fu(c)28817 14490 y Fp(j)g Fn(\241)p Fq(1)30506 14291 y Fv(\()p Fu(f)70 b(;)221 b(p)p Fv(\))p Fu(;)655 b(n)370 b Fo(>)f Fv(1)p Fu(:)12087 b Fv(\(8.8\))800 17612 y(The)473 b(ab)36 b(o)-36 b(v)g(e)473 b(form)-36 b(ula)473 b(implies)g(that)f(the)g(computation)g (of)946 b Fu(N)32296 17811 y Fp(n)32922 17612 y Fv(\()p Fu(f)70 b(;)221 b(p)p Fv(\),)482 b Fu(n)436 b Fo(=)g Fv(1,)955 b(from)946 b(the)472 b Fu(c)47792 17811 y Fp(j)51 b Fn(\241)p Fq(1)49481 17612 y Fv(\()p Fu(f)70 b(;)221 b(p)p Fv(\),)800 19162 y Fu(j)444 b Fv(=)368 b(1)p Fu(;)221 b Ft(\242)g(\242)g(\242)r Fu(;)g(n)p Fv(,)355 b(in)-36 b(v)g(olv)g(es)668 b Fu(O)36 b Fv(\()p Fu(n)p Fv(\))1001 b(arithmetic)334 b(op)36 b(erations)334 b(on)f(in)-36 b(tegers)334 b(with)f(binary)h(length)667 b Fu(O)36 b Fv(\()p Fu(n)221 b Fv(log)241 b Fu(p)p Fv(\).)2128 20712 y(\(2\))600 b(The)1198 b(computation)599 b(of)h Fu(a)17911 20911 y Fp(j)18398 20712 y Fv(\()p Fu(u)p Fv(\))f(from)h Fu(L)24871 20911 y Fp(u)25471 20712 y Fv(\()p Fu(t)p Fv(\))f(\(i.e.)1076 b(from)600 b Fu(Z)95 b Fv(\()p Fu(t;)221 b(f)142 b Fv(\),)642 b(cf.)1076 b(\()p 0 1 0 0 TeXcolorcmyk(8.6)p (#equation.8.6) [[448 531 463 543] [1 1 1 [3 3]] [0 0 1]] pdfm Black(\)\))599 b(in)-36 b(v)g(olv)g(es)601 b Fu(O)36 b Fv(\(1\))800 22261 y(arithmetic)326 b(op)36 b(erations)326 b(\(cf.)543 b(\()p 0 1 0 0 TeXcolorcmyk(8.4)p (#equation.8.4) [[217 517 232 529] [1 1 1 [3 3]] [0 0 1]] pdfm Black(\),)349 b(\()p 0 1 0 0 TeXcolorcmyk(8.7)p (#equation.8.7) [[247 517 262 529] [1 1 1 [3 3]] [0 0 1]] pdfm Black(\)\))652 b(on)326 b(in)-36 b(tegers)326 b(of)h(binary)f(length)g Fu(O)36 b Fv(\(max)q Ft(f)p Fv(log)240 b Fu(p)p Fv(,)348 b(log)19 b(\()p Fu(d)49166 22460 y Fp(f)49771 22261 y Fu(l)50158 22460 y Fp(f)50763 22261 y Fv(\))p Ft(g)p Fv(\).)800 23811 y(Indeed,)335 b(since)310 b(the)g(n)-36 b(um)g(b)36 b(ers)310 b Fu(l)29 b Fv(\()p Fu(u)p Fv(\),)336 b Fu(W)19868 23329 y Fn(\244)20393 23811 y Fv(\()p Fu(B)21887 24010 y Fp(u)22487 23811 y Fv(\),)f Fu(W)181 b Fv(\()p Fu(u)p Fv(\),)335 b Fu(u)370 b Ft(2)e Fu(T)181 b Fv(\()p Fu(f)70 b(;)221 b(l)33039 24010 y Fp(f)33645 23811 y Fv(\))310 b(are)h(in)-36 b(v)g(olv)g(ed)311 b(in)g(this)f(computation,) 800 25361 y(w)-36 b(e)336 b(kno)-36 b(w)671 b(b)-36 b(y)335 b(prop)36 b(osition)p 0 1 0 0 TeXcolorcmyk 336 w(4.1)p (#proposition.4.1) [[204 489 219 501] [1 1 1 [3 3]] [0 0 1]] pdfm Black 336 w(that)335 b(their)g(binary)g(length)g(is)h(b)36 b(ounded)333 b(b)-36 b(y)336 b Fu(O)36 b Fv(\(max)p Ft(f)p Fv(log)241 b Fu(p)p Fv(,)355 b(log)19 b(\()p Fu(d)49166 25560 y Fp(f)49771 25361 y Fu(l)50158 25560 y Fp(f)50763 25361 y Fv(\))p Ft(g)p Fv(\).)2128 26911 y(The)438 b(cost)g(of)h (computing)875 b Fu(c)16410 27110 y Fp(j)16896 26911 y Fv(\()p Fu(f)70 b(;)221 b(p)p Fv(\))438 b(from)g Fu(L)24252 27110 y Fp(u)24852 26911 y Fv(\()p Fu(t)p Fv(\),)h Fu(u)376 b Ft(2)g Fu(T)181 b Fv(\()p Fu(f)70 b(;)221 b(l)32641 27110 y Fp(f)33246 26911 y Fv(\))438 b(\(i.e.)591 b(from)439 b Fu(Z)95 b Fv(\()p Fu(t;)221 b(f)142 b Fv(\)\))438 b(is)g(b)36 b(ounded)436 b(b)-36 b(y)800 28460 y(the)428 b(n)-36 b(um)g(b)36 b(er)426 b(of)j(v)-36 b(ertices)429 b(of)g Fu(T)181 b Fv(\()p Fu(f)70 b(;)221 b(l)18542 28659 y Fp(f)19148 28460 y Fv(\))856 b(m)-36 b(ultiplied)428 b(b)-36 b(y)428 b(an)g(upp)36 b(er)427 b(b)36 b(ound)856 b(for)428 b(the)g(cost)h(of)g(computing)800 30010 y Fu(a)1483 30209 y Fp(j)1970 30010 y Fv(\()p Fu(u)p Fv(\))465 b(from)g Fu(L)8174 30209 y Fp(u)8774 30010 y Fv(\()p Fu(t)p Fv(\),)473 b(for)465 b(an)-36 b(y)465 b Fu(j)75 b Fv(,)473 b(and)465 b Fu(u)g Fv(\(cf.)673 b(\()p 0 1 0 0 TeXcolorcmyk(8.5)p (#equation.8.5) [[286 447 301 459] [1 1 1 [3 3]] [0 0 1]] pdfm Black(\)\).)g(Therefore,)939 b(from)465 b(the)g(previous)g(discussion)g (the)800 31560 y(cost)343 b(of)h(computing)f Fu(c)11682 31759 y Fp(j)12169 31560 y Fv(\()p Fu(f)70 b(;)221 b(p)p Fv(\))342 b(from)i Fu(Z)95 b Fv(\()p Fu(t;)221 b(f)142 b Fv(\))344 b(is)f(b)36 b(ounded)342 b(b)-36 b(y)343 b Fu(O)36 b Fv(\()p Fu(d)32992 31759 y Fp(f)33940 31560 y Fu(l)34327 31759 y Fp(f)34932 31560 y Fv(\))1029 b(arithmetic)343 b(op)36 b(erations.)549 b(These)800 33110 y(arithmetic)453 b(op)36 b(erations)453 b(are)h(p)36 b(erformed)452 b(on)h(in)-36 b(tegers)453 b(of)h(binary)f(length)g(b)36 b(ounded)905 b(b)-36 b(y)453 b Fu(O)36 b Fv(\(max)p Ft(f)p Fv(\()p Fu(j)383 b Fv(+)800 34659 y Fu(l)1187 34858 y Fp(f)1792 34659 y Fv(\))221 b(log)241 b Fu(p;)221 b Fv(log)241 b Fu(p;)387 b Fv(log)19 b(\()p Fu(d)11821 34858 y Fp(f)12426 34659 y Fu(l)12813 34858 y Fp(f)13418 34659 y Fv(\))p Ft(g)p Fv(\))p Fu(:)388 b Fv(Indeed,)396 b(the)386 b(binary)i(lengths)f (of)h(the)f(n)-36 b(umerator)386 b(and)h(the)f(denominator)800 36305 y(of)1202 b Fu(a)3732 36504 y Fp(j)4218 36305 y Fv(\()p Fu(u)p Fv(\))409 b(+)g Fu(a)8483 36504 y Fp(j)8969 36305 y Fv(\()p Fu(u)10215 35511 y Ff(0)10569 36305 y Fv(\),)642 b Fu(u)p Fv(,)h Fu(u)14562 35511 y Ff(0)15569 36305 y Ft(2)653 b Fu(T)181 b Fv(\()p Fu(f)70 b(;)221 b(l)20237 36504 y Fp(f)20842 36305 y Fv(\))601 b(are)f(b)36 b(ounded)599 b(b)-36 b(y)601 b(\()p Fu(l)32628 36504 y Fp(f)33642 36305 y Fv(+)408 b(1)h(+)g Fu(j)75 b 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(#equation.8.8) [[387 348 402 360] [1 1 1 [3 3]] [0 0 1]] pdfm Black(\).)p 38046 41120 443 831 v 800 43465 a(8.1.)652 b Fw(Pro)42 b(of)498 b(of)f(Theorem)p 0 1 0 0 TeXcolorcmyk 500 w(8.1)p (#theorem.8.1) [[213 326 230 338] [1 1 1 [3 3]] [0 0 1]] pdfm Black(.)651 b Fv(The)433 b(theorem)g(follo)-36 b(ws)436 b(from)e(prop)36 b(osition)p 0 1 0 0 TeXcolorcmyk 434 w(8.3)p (#proposition.8.3) [[437 326 452 338] [1 1 1 [3 3]] [0 0 1]] pdfm Black 434 w(\(3\).)19529 46366 y(9.)651 b Fr(A)-39 b(ckno)-30 b(wledgments.)2128 48691 y Fv(This)434 b(w)-36 b(ork)435 b(supp)36 b(orted)432 b(b)-36 b(y)433 b(COLCIENCIAS-Gran)-36 b(t)433 b(#)g(089-2000.)22927 51592 y Fr(References)p Black 1354 53695 a Fe([1])p Black 554 w(Anshel,)332 b(M.,)g(and)322 b(Goldfeld,)332 b(D.,)g(Zeta)322 b(functions,)333 b(one-w)-31 b(a)g(y)324 b(functions)e(and)g(pseudorandom)g(n)-31 b(um)g(b)31 b(er)322 b(generators,)3075 55023 y Fd(Duke)397 b(Math.)e(J.)370 b Fc(88)g Fe(\(1997\),)i(371{390.)p Black 1354 56352 a([2])p Black 554 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