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Fk(2)2152 b(Excluding)716 b(the)g(simple)h (cases)800 56676 y Fn(W)-108 b(e)382 b(assume)g(in)f(this)h(section)g (that)g Fm(k)414 b Fl(\270)369 b Fn(5)382 b(and)f Fm(a)25123 56875 y Fj(n)26131 56676 y Fn(is)h(a)g(square,)393 b(hence)382 b(9)p Fm(a)37724 56875 y Fj(n)38732 56676 y Fn(is)g(a)g(square)g(as)g (w)-36 b(ell.)563 b(Mak)-36 b(e)800 58281 y(use)437 b(of)h(simple)f (reasonings,)h(w)-36 b(e)438 b(shall)f(sho)-36 b(w)437 b(that)g(this)g(fact)g(is)h(imp)36 b(ossible.)589 b(T)-108 b(o)437 b(this)g(end,)h(w)-36 b(e)437 b(use)g(the)800 59886 y(sym)-36 b(b)36 b(ol)434 b(of)h(Legendre)d(in)i(some)g(cases.) 2751 61491 y(The)460 b(16)h(cases)g(whic)-36 b(h)461 b(ha)-36 b(v)g(e)460 b(to)h(b)36 b(e)460 b(excluded)g(will)i(b)36 b(e)460 b(exp)36 b(osed)460 b(in)h(a)f(concise)h(form,)468 b(inasm)-36 b(uc)g(h)460 b(as)800 63097 y(some)434 b(of)g(them)f(are)h (quite)g(similar:)18201 66030 y Fm(a)18884 66229 y Fg(3)19409 66030 y Fm(;)221 b(a)20674 66229 y Fg(4)21200 66030 y Fm(;)g(a)22465 66229 y Fg(20)23462 66030 y Fn(;)591 b Fm(a)25097 66229 y Fg(2)25622 66030 y Fm(;)221 b(a)26887 66229 y Fg(15)27884 66030 y Fm(;)g(a)29149 66229 y Fg(18)30146 66030 y Fn(;)590 b Fm(a)31780 66229 y Fg(11)32777 66030 y Fm(;)221 b(a)34042 66229 y Fg(17)35038 66030 y Fm(:)800 68963 y Fn(W)-108 b(e)561 b(men)-36 b(tion)560 b(that)g(eac)-36 b(h)560 b(of)h(the)f(cases)h(b)36 b(elo)-36 b(w)562 b(is)e(concluded)g (b)-36 b(y)561 b(a)g(con)-36 b(tradictory)560 b(assertion,)593 b(th)-36 b(us)800 70569 y(pro)g(ving)434 b(the)f(imp)36 b(ossibilit)-36 b(y)435 b(of)f(the)f(corresp)36 b(onding)433 b(case.)p Black 26475 74617 a(2)p Black eop %%Page: 3 3 3 2 bop Black 0 TeXcolorgray Black Black 2751 1424 a Fo(1.)578 b Fn(W)-108 b(e)434 b(ha)-36 b(v)g(e)434 b(9)p Fm(a)11063 1623 y Fg(2)11958 1424 y Fn(=)368 b(10)14638 942 y Fj(k)15503 1424 y Fn(+)295 b(449)370 b Fl(\264)f Fn(\()p Fl(\241)p Fn(1\))23227 942 y Fj(k)24091 1424 y Fn(+)295 b(9)591 b(\(mo)36 b(d)442 b(11\).)579 b(But)35409 348 y Fe(\241)36386 901 y 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Fn(.)1015 b(Consequen)-36 b(tly)800 6571 y(2)1450 6089 y Fj(k)24 b Ff(\241)p Fg(3)3517 6571 y Fl(\242)295 b Fn(5)4831 6089 y Fj(k)5769 6571 y Fn(=)369 b Fm(x)7889 6089 y Fg(2)8710 6571 y Fl(\241)295 b Fn(1)369 b Fl(\270)h Fn(5)13110 6089 y Fj(k)13679 6571 y Fn(\(5)14835 6089 y Fj(k)15699 6571 y Fl(\241)295 b Fn(2\),)434 b(hence)f(2)23241 6089 y Fj(k)24 b Ff(\241)p Fg(3)25382 6571 y Fl(\270)369 b Fn(5)27434 6089 y Fj(k)28298 6571 y Fl(\241)296 b Fn(2.)2751 8509 y Fo(3.)1213 b Fn(By)646 b(9)p Fm(a)8712 8708 y Fg(4)9967 8509 y Fn(=)728 b(2)440 b Fl(\242)f Fn(10)14905 8027 y Fj(k)15914 8509 y Fn(+)g(25)729 b(=)g(\(5)p Fm(x)p Fn(\))23536 8027 y Fg(2)24062 8509 y Fn(,)698 b(w)-36 b(e)646 b(ha)-36 b(v)g(e)645 b(2)31108 8027 y Fj(k)24 b Fg(+1)33319 8509 y Fl(\242)439 b Fn(5)34777 8027 y Fj(k)24 b Ff(\241)p Fg(2)37277 8509 y Fn(=)729 b(\()p Fm(x)439 b Fl(\241)h Fn(1\)\()p Fm(x)f Fn(+)g(1\),)698 b(whence)800 10114 y(2)1450 9632 y Fj(k)24 b Fg(+1)3517 10114 y Fl(\242)295 b Fn(5)4831 9632 y 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Fn(=)555 b(2)p Fm(h)542 b Fn(with)h Fm(h)555 b Fl(\270)f Fn(3,)800 15261 y(then)517 b(\(10)5653 14779 y Fj(h)6604 15261 y Fl(\241)353 b Fm(x)p Fn(\)\(10)11041 14779 y Fj(h)11992 15261 y Fn(+)g Fm(x)p Fn(\))513 b(=)g(6751,)541 b(whence)518 b(10)26079 14779 y Fj(h)27030 15261 y Fl(\241)353 b Fm(x)513 b Fn(=)g Fm(a)p Fn(,)540 b(10)34077 14779 y Fj(h)35028 15261 y Fn(+)352 b Fm(x)514 b Fn(=)e Fm(b)p Fn(,)540 b(where)518 b(w)-36 b(e)519 b(ha)-36 b(v)g(e)518 b(either)800 16866 y(\()p Fm(a;)221 b(b)p Fn(\))369 b(=)g(\(1)p Fm(;)221 b Fn(6751\))336 b(or)d(\()p Fm(a;)221 b(b)p Fn(\))370 b(=)e(\(43)p Fm(;)221 b Fn(157\).)547 b(Since)334 b(2)91 b Fl(\242)g Fn(10)28179 16384 y Fj(h)29147 16866 y Fn(=)369 b Fm(a)91 b Fn(+)g Fm(b)p Fn(,)354 b(it)334 b(follo)-36 b(ws)336 b(that)d(either)h(2)91 b Fl(\242)g Fn(10)47850 16384 y Fj(h)48818 16866 y Fn(=)369 b(6752)800 18471 y(or)434 b(2)295 b Fl(\242)g Fn(10)5299 17989 y Fj(h)6267 18471 y Fn(=)368 b(200,)435 b(although)f Fm(h)368 b Fl(\270)h Fn(3.)2751 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