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Fr(is)386 b(ev)-36 b(en,)800 46720 y(and)456 b(w)-36 b(e)458 b(to)36 b(ok)458 b Fq(p)408 b Fr(=)g(2)458 b(then)d(1)312 b Fm(\241)17291 46197 y Fn(2)p 17290 46415 V 17290 47179 a Fp(p)18305 46720 y Fr(=)408 b(0,)464 b(and)456 b(hence)g(p)36 b(ositiv)-36 b(e)458 b(densit)-36 b(y)457 b(is)g(not)g(necessarily)g (sho)-36 b(wn.\))648 b(If)800 48555 y Fq(p)369 b Fi(-)g Fq(k)478 b Fr(then)433 b Fq(S)7477 48754 y Fp(p)8439 48555 y Fr(either)h(equals)g(1)296 b Fm(\241)18709 48032 y Fn(1)p 18477 48250 935 54 v 18477 49013 a Fp(p)18951 48761 y Fh(2)19978 48555 y Fr(or)434 b(1)295 b Fm(\241)24207 48032 y Fn(2)p 23974 48250 V 23974 49013 a Fp(p)24448 48761 y Fh(2)25042 48555 y Fr(.)578 b(Let)12003 50872 y Fq(R)1118 b Fr(=)1106 b Fm(f)p Fq(n)370 b Fm(2)e Fi(N)i Fr(:)f Fq(a)295 b Fr(+)g Fq(k)45 b(n)434 b Fr(and)f Fq(b)295 b Fr(+)g Fq(k)45 b(n)434 b Fr(are)f(square)h(free)g Fm(g)14111 53097 y Fr(=)17121 51835 y Fe(\\)16229 54643 y Fp(p)f Fn(prime)19711 53097 y Fq(R)20701 53296 y Fp(p)21230 53097 y Fq(:)800 56561 y Fr(Then,)h(w)-36 b(e)433 b(get)h(that)f(the)g (densit)-36 b(y)434 b(of)g Fq(R)444 b Fr(is)15821 57643 y Fe(Y)15040 60451 y Fp(p)433 b Fn(prime)18521 58905 y Fq(S)19321 59104 y Fp(p)20968 58905 y Fr(=)23097 57643 y Fe(Y)23322 60521 y Fp(p)p Fo(j)p Fp(k)24795 58905 y Fr(\()p Fq(S)26101 59104 y Fp(p)26629 58905 y Fr(\))27356 57643 y Fe(Y)27581 60517 y Fp(p)p Fd(-)p Fp(k)29054 58905 y Fr(\()p Fq(S)30360 59104 y Fp(p)30889 58905 y Fr(\))20957 63300 y Fm(\270)23097 62038 y Fe(Y)23322 64916 y Fp(p)p Fo(j)p Fp(k)25016 61427 y Fe(\265)25994 63300 y Fr(1)295 b Fm(\241)28402 62401 y Fr(2)p 28400 62994 653 54 v 28400 64211 a Fq(p)29186 61427 y Fe(\266)30385 62038 y(Y)30610 64912 y Fp(p)p Fd(-)p Fp(k)32304 61427 y Fe(\265)33282 63300 y Fr(1)g Fm(\241)35953 62401 y Fr(2)p 35689 62994 1179 54 v 35689 64211 a Fq(p)36342 63827 y Fn(2)37000 61427 y Fe(\266)38199 63300 y Fq(:)800 67898 y Fr(W)-108 b(e)445 b(see)g(that)g(the)f(\257rst)h(pro)36 b(duct)444 b(is)h(p)36 b(ositiv)-36 b(e,)449 b(as)d(there)e(are)h(only)h(a)g (\257nite)e(n)-36 b(um)g(b)36 b(er)443 b(of)j(primes)f Fq(p)g Fr(suc)-36 b(h)800 69448 y(that)433 b Fq(p)p Fm(j)p Fq(k)45 b Fr(.)578 b(W)-108 b(e)434 b(see)g(that)f(the)g(second)g (in\257nite)g(pro)36 b(duct)432 b(is)i(p)36 b(ositiv)-36 b(e)435 b(b)36 b(ecause)40117 68452 y Fe(P)42106 68925 y Fn(2)p 41874 69142 935 54 v 41874 69906 a Fp(p)42348 69654 y Fh(2)43375 69448 y Fr(con)-36 b(v)g(erges.)p Black Black eop %%Page: 3 3 3 2 bop Black 0 TeXcolorgray Black 52288 -3114 a Fj(3)p Black 2128 -458 a Fr(Th)-36 b(us)380 b(w)-36 b(e)381 b(see)g(that)f(the)g(densit)-36 b(y)380 b(of)h Fq(n)g Fr(where)g Fq(a)187 b Fr(+)g Fq(nk)425 b Fr(and)380 b Fq(b)187 b Fr(+)g Fq(nk)425 b Fr(are)380 b(b)36 b(oth)380 b(square)h(free)g(is)g(p)36 b(ositiv)-36 b(e,)800 1092 y(hence)433 b(there)g(exists)h(at)g(least)g(one.)33495 b Fc(\244)p Black 800 4494 a Fs(Theorem)499 b(2.1.)p Black 554 w Ff(Ther)-66 b(e)464 b(exist)g(cycles)h(of)g(every)f(or)-66 b(der.)p Black 800 7897 a(Pr)g(o)g(of.)p Black 552 w Fr(This)471 b(result)e(is)i(pro)-36 b(v)g(ed)470 b(b)-36 b(y)470 b(constructing)f(a)i(cycle)g(of)g(order)e Fq(k)515 b Fr(for)471 b(arbitrary)f Fq(k)45 b Fr(.)689 b(Pic)-36 b(k)470 b Fq(k)477 b(>)430 b Fr(1.)800 9446 y(Pic)-36 b(k)434 b Fq(k)479 b Fr(distinct)433 b(o)36 b(dd)433 b(primes)g Fq(p)16983 9645 y Fn(1)17509 9446 y Fq(;)221 b Fm(\242)g(\242)g(\242)444 b Fq(;)221 b(p)21319 9645 y Fp(k)21889 9446 y Fr(.)2128 10996 y(F)-108 b(or)529 b(\271)-666 b Fq(a)504 b Fr(=)g([)p Fq(a)8285 11195 y Fn(1)8811 10996 y Fq(;)221 b Fm(\242)g(\242)g(\242)444 b Fq(;)221 b(a)12651 11195 y Fp(k)13221 10996 y Fr(])513 b(let)530 b(\271)-667 b Fq(a)16736 11195 y Fp(i)17616 10996 y Fr(=)504 b([)p Fq(a)20176 11195 y Fn(1)20702 10996 y Fq(;)221 b Fm(\242)g(\242)g(\242)444 b Fq(;)221 b(a)24542 11195 y Fp(i)p Fo(\241)p Fn(1)26121 10996 y Fq(;)g(a)27386 11195 y Fp(i)28111 10996 y Fr(+)349 b(1)p Fq(;)221 b(a)31387 11195 y Fp(i)p Fn(+1)32966 10996 y Fq(;)g Fm(\242)g(\242)g(\242)444 b Fq(;)221 b(a)36806 11195 y Fp(k)37376 10996 y Fr(].)817 b(The)513 b(goal)i(is)e(to)g (\257nd)f(an)529 b(\271)-666 b Fq(a)800 12546 y Fr(suc)-36 b(h)433 b(that)22143 15982 y Fq(D)36 b Fr(\()110 b(\271)-760 b Fq(p)24433 15433 y Fn(\271)-485 b Fp(a)24918 15556 y Fh(1)25434 15982 y Fr(\))369 b(=)g Fq(s)28303 16181 y Fn(1)29123 15982 y Fm(\242)405 b Fr(\271)-759 b Fq(p)30456 15433 y Fn(\271)-485 b Fp(a)30941 15556 y Fh(2)800 19689 y Fr(and)433 b(in)h(general)21815 23125 y Fq(D)36 b Fr(\()110 b(\271)-760 b Fq(p)24105 22576 y Fn(\271)-485 b Fp(a)24590 22711 y Fg(i)24996 23125 y Fr(\))369 b(=)f Fq(s)27864 23324 y Fp(i)28535 23125 y Fm(\242)405 b Fr(\271)-760 b Fq(p)29867 22576 y Fn(\271)-485 b Fp(a)30352 22711 y Fg(i)p Fh(+1)800 26832 y Fr(where)444 b Fq(i)302 b Fr(+)g(1)445 b(is)f(tak)-36 b(en)445 b(mo)36 b(dulo)444 b Fq(k)45 b Fr(,)447 b(and)d(the)g Fq(s)24197 27031 y Fp(i)25016 26832 y Fr(are)h(square)f(free)h(coprime)f(to)g Fq(p)40976 27031 y Fn(1)41804 26832 y Fm(\242)303 b Fq(p)43129 27031 y Fn(2)43876 26832 y Fm(\242)221 b(\242)g(\242)h Fq(p)46300 27031 y Fp(k)46868 26832 y Fr(.)611 b(Then)443 b(for)800 28381 y(an)-36 b(y)434 b Fq(i)p Fr(,)543 b(\271)-760 b Fq(p)5163 27899 y Fn(\271)-485 b Fp(a)5648 28034 y Fg(i)6488 28381 y Fr(giv)-36 b(es)435 b(a)f(cycle)g(of)h(order)e Fq(k)45 b Fr(.)2128 29931 y(Note)434 b(that)f(if)i(w)-36 b(e)433 b(\257nd)g Fq(a)14481 30130 y Fp(i)15290 29931 y Fr(suc)-36 b(h)433 b(that)p Black 3777 32695 a Fm(\262)p Black 553 w Fq(a)5677 32894 y Fp(i)6486 32695 y Fr(is)h(square)g(free,) p Black 3777 34245 a Fm(\262)p Black 553 w Fq(a)5677 34444 y Fp(i)6348 34245 y Fr(+)295 b(1)434 b(is)f(square)h(free,)p Black 3777 35795 a Fm(\262)p Black 553 w Fr(gcd\()p Fq(a)8134 35994 y Fp(i)8509 35795 y Fq(;)221 b(p)9744 35994 y Fp(i)10121 35795 y Fr(\))368 b(=)h Fq(p)13029 35994 y Fp(i)13405 35795 y Fr(,)p Black 3777 37344 a Fm(\262)p Black 553 w Fr(gcd\()p Fq(a)8134 37543 y Fp(i)8805 37344 y Fr(+)294 b(1)p Fq(;)221 b(p)11996 37543 y Fp(i)p Fn(+1)13575 37344 y Fr(\))369 b(=)g Fq(p)16484 37543 y Fp(i)p Fn(+1)18061 37344 y Fr(,)p Black 3777 38894 a Fm(\262)p Black 553 w Fr(gcd\()p Fq(a)8134 39093 y Fp(i)8509 38894 y Fq(;)221 b(p)9744 39093 y Fp(j)10232 38894 y Fr(\))369 b(=)f(1)434 b(for)g Fq(j)444 b Fm(6)p Fr(=)369 b Fq(i)p Fr(,)p Black 3777 40444 a Fm(\262)p Black 553 w Fr(gcd\()p Fq(a)8134 40643 y Fp(i)8805 40444 y Fr(+)294 b(1)p Fq(;)221 b(p)11996 40643 y Fp(j)12484 40444 y Fr(\))369 b(=)g(1)433 b(for)i Fq(j)443 b Fm(6)p Fr(=)369 b Fq(i)295 b Fr(+)g(1,)p Black 3777 41994 a Fm(\262)p Black 553 w Fr(gcd\()p Fq(a)8134 42193 y Fp(i)8805 41994 y Fr(+)f(1)p Fq(;)221 b(a)12026 42193 y Fn(1)12553 41994 y Fq(a)13236 42193 y Fn(2)13983 41994 y Fm(\242)g(\242)g(\242)h Fq(a)16437 42193 y Fp(i)p Fo(\241)p Fn(1)18015 41994 y Fr(\))369 b(=)f(1)434 b(for)g Fq(i)369 b(>)g Fr(1,)p Black 3777 43543 a Fm(\262)p Black 553 w Fr(gcd\()p Fq(a)8134 43742 y Fp(i)8509 43543 y Fq(;)221 b(a)9774 43742 y Fn(1)10301 43543 y Fq(a)10984 43742 y Fn(2)11731 43543 y Fm(\242)g(\242)g(\242)h Fq(a)14185 43742 y Fp(i)p Fo(\241)p Fn(1)15763 43543 y Fr(\))368 b(=)h(1)434 b(for)g Fq(i)369 b(>)f Fr(1,)p Black 3777 45093 a Fm(\262)p Black 553 w Fr(gcd\()p Fq(a)8134 45292 y Fp(i)8509 45093 y Fq(;)221 b Fr(\()p Fq(a)10280 45292 y Fn(1)11102 45093 y Fr(+)295 b(1\)\()p Fq(a)14754 45292 y Fn(2)15574 45093 y Fr(+)g(1\))221 b Fm(\242)g(\242)g(\242)i Fr(\()p Fq(a)21219 45292 y Fp(i)p Fo(\241)p Fn(1)23092 45093 y Fr(+)294 b(1\)\))369 b(=)g(1)434 b(for)g Fq(i)369 b(>)f Fr(1,)800 47857 y(then)567 b(\271)-666 b Fq(a)571 b Fr(=)f([)p Fq(a)7761 48056 y Fn(1)8287 47857 y Fq(;)221 b Fm(\242)g(\242)g(\242)444 b Fq(;)221 b(a)12127 48056 y Fp(k)12696 47857 y Fr(])553 b(has)f(the)f(desired)h(prop)36 b(ert)-36 b(y)-108 b(.)933 b(It)552 b(is)h(w)-36 b(orth)551 b(noting)h(here)g(that)g(the)f(last)i(t)-36 b(w)g(o)800 49407 y(conditions)434 b(require)f(all)i(of)f(the)f Fq(a)17604 49606 y Fp(i)18413 49407 y Fr(to)h(b)36 b(e)433 b(o)36 b(dd.)578 b(T)-108 b(o)434 b(see)g(that)449 b(\271)-666 b Fq(a)433 b Fr(has)h(the)f(desired)g(prop)36 b(ert)-36 b(y)-108 b(,)433 b(note)g(that)10028 53385 y Fq(D)36 b Fr(\()p Fq(s)12263 53584 y Fp(i)p Fo(\241)p Fn(1)13950 53385 y Fr(\271)-760 b Fq(p)14508 52836 y Fn(\271)-485 b Fp(a)14993 52971 y Fg(i)15400 53385 y Fr(\))368 b(=)h Fq(D)36 b Fr(\()110 b(\271)-760 b Fq(p)19945 52836 y Fn(\271)-485 b Fp(a)20430 52971 y Fg(i)20836 53385 y Fr(\))369 b(=)g Fq(a)23775 53584 y Fn(1)24300 53385 y Fq(a)24983 53584 y Fn(2)25730 53385 y Fm(\242)221 b(\242)g(\242)h Fr(\()p Fq(a)28690 53584 y Fp(i)29361 53385 y Fr(+)295 b(1\))221 b Fm(\242)g(\242)g(\242)h Fq(a)34499 53584 y Fp(n)35235 53385 y Fr(\271)-760 b Fq(p)35793 52836 y Fn(\271)-485 b Fp(a)36278 52971 y Fg(i)36629 52836 y Fo(\241)p Fn(1)38256 53385 y Fr(=)368 b Fq(s)40249 53584 y Fp(i)40734 53385 y Fr(\271)-759 b Fq(p)41278 52836 y Fp(a)41778 52971 y Fg(i)p Fh(+1)43211 53385 y Fq(;)800 57363 y Fr(where)434 b(the)f(last)h(equalit)-36 b(y)434 b(follo)-36 b(ws)436 b(from)e(the)f(prop)36 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b(follo)-36 b(ws)436 b(immediately)e(b)-36 b(y)434 b(applying)g Fq(D)469 b Fr(to)544 b(\271)-760 b Fq(p)30298 41831 y Fn(\271)30332 42065 y Fp(b)30790 42547 y Fr(.)20616 b Fc(\244)2128 45006 y Fr(In)387 b(particular)f(an)h(elemen)-36 b(t)386 b(of)i Fq(D)18690 45205 y Fp(c)19153 45006 y Fr(\()p Fq(n)p Fr(\))e(cannot)h(ha)-36 b(v)g(e)387 b(prime)f(factors)h(that)g (are)f(not)h(also)g(factors)h(of)f Fq(n)p Fr(.)p Black 800 47445 a Fs(Corollary)547 b(3.1.)p Black 565 w Ff(L)-66 b(et)485 b Fq(p)h Ff(b)-66 b(e)484 b(a)i(prime.)659 b(Then)485 b Fq(D)25359 47644 y Fp(c)25822 47445 y Fr(\()p Fq(p)26981 46963 y Fp(a)27536 47445 y Fr(\))407 b Fm(6)p Fr(=)g Fm(;)486 b Ff(if)f(and)h(only)f(if)g Fq(a)407 b Fr(=)h Fq(p)42135 46963 y Fp(k)43014 47445 y Fr(+)310 b Fq(k)356 b Fm(\241)311 b Fr(1)486 b Ff(for)f(some)800 49143 y Fq(k)45 b Ff(.)597 b(F)-100 b(urther)466 b Fq(D)8298 49342 y Fp(c)8760 49143 y Fr(\()p Fq(p)9919 48661 y Fp(p)10393 48349 y Fg(k)10901 48661 y Fn(+)p Fp(k)24 b Fo(\241)p Fn(1)13404 49143 y Fr(\))369 b(=)f Fm(f)p Fq(p)16976 48661 y Fp(p)17450 48349 y Fg(k)18013 49143 y Fm(g)p Ff(.)p Black 800 51582 a Fs(Corollary)521 b(3.2.)p Black 554 w Ff(If)464 b Fq(s)g Ff(is)h(an)g(o)-66 b(dd)465 b(squar)-66 b(e)465 b(fr)-66 b(e)g(e)463 b(numb)-66 b(er,)463 b(then)h Fq(D)33933 51781 y Fp(c)34396 51582 y Fr(\()p Fq(s)p Fr(\))368 b(=)h Fm(;)p Ff(.)2128 54138 y Fr(Giv)-36 b(en)411 b(Lemma)p 0 1 0 0 TeXcolorcmyk 410 w(3.1)p (#lem.3.1) [[166 230 181 242] [1 1 1 [3 3]] [0 0 1]] pdfm Black(,)416 b(it)410 b(is)h(an)f(easy)h(matter)f(to)h(determine)e Fq(D)33045 54337 y Fp(c)33508 54138 y Fr(\()p Fq(n)p Fr(\).)570 b(Simply)411 b(compute)f Fq(D)36 b Fr(\()110 b(\271)-760 b Fq(p)48069 53422 y Fn(\271)48103 53656 y Fp(b)48560 54138 y Fr(\))410 b(where)800 55688 y(0)480 b Fm(\267)g Fq(b)3996 55887 y Fp(i)4852 55688 y Fm(\267)g Fq(a)7048 55887 y Fp(i)7763 55688 y Fr(+)339 b(1)499 b(and)f Fq(b)13410 55887 y Fp(i)14266 55688 y Fm(6)p Fr(=)479 b(1,)516 b(and)498 b(c)-36 b(hec)g(k)498 b(whic)-36 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