%%Page: 1 1 1 0 bop Black 0 TeXcolorgray Black Black Black Black 10800 5267 a @beginspecial 0 @llx 0 @lly 99 @urx 16 @ury 2880 @rwi @setspecial%%BeginDocument: logo129.eps %!PS-Adobe-2.0 EPSF-2.0 %%Title: logo128.eps %%Creator: fig2dev Version 3.2.3 Patchlevel %%CreationDate: Thu Nov 8 16:13:04 2001 %%For: pope@fry.research.att.com (Sue Pope) %%BoundingBox: 0 0 99 16 %%Magnification: 0.1500 %%EndComments /$F2psDict 200 dict def $F2psDict begin $F2psDict /mtrx matrix put /col-1 {0 setgray} bind def /col0 {0.000 0.000 0.000 srgb} bind def /col1 {0.000 0.000 1.000 srgb} bind def /col2 {0.000 1.000 0.000 srgb} bind def /col3 {0.000 1.000 1.000 srgb} bind def /col4 {1.000 0.000 0.000 srgb} bind def /col5 {1.000 0.000 1.000 srgb} bind def /col6 {1.000 1.000 0.000 srgb} bind def /col7 {1.000 1.000 1.000 srgb} bind def /col8 {0.000 0.000 0.560 srgb} bind def /col9 {0.000 0.000 0.690 srgb} bind def /col10 {0.000 0.000 0.820 srgb} bind def /col11 {0.530 0.810 1.000 srgb} bind def /col12 {0.000 0.560 0.000 srgb} bind def /col13 {0.000 0.690 0.000 srgb} bind def /col14 {0.000 0.820 0.000 srgb} bind def /col15 {0.000 0.560 0.560 srgb} bind def /col16 {0.000 0.690 0.690 srgb} bind def /col17 {0.000 0.820 0.820 srgb} bind def /col18 {0.560 0.000 0.000 srgb} bind def /col19 {0.690 0.000 0.000 srgb} bind def /col20 {0.820 0.000 0.000 srgb} bind def /col21 {0.560 0.000 0.560 srgb} bind def /col22 {0.690 0.000 0.690 srgb} bind def /col23 {0.820 0.000 0.820 srgb} bind def /col24 {0.500 0.190 0.000 srgb} bind def /col25 {0.630 0.250 0.000 srgb} bind def /col26 {0.750 0.380 0.000 srgb} bind def /col27 {1.000 0.500 0.500 srgb} bind def /col28 {1.000 0.630 0.630 srgb} bind def /col29 {1.000 0.750 0.750 srgb} bind def /col30 {1.000 0.880 0.880 srgb} bind def /col31 {1.000 0.840 0.000 srgb} bind def end save newpath 0 16 moveto 0 0 lineto 99 0 lineto 99 16 lineto closepath clip newpath -12.0 26.0 translate 1 -1 scale /cp {closepath} bind def /ef {eofill} bind def /gr {grestore} bind def /gs {gsave} bind def /sa {save} bind def /rs {restore} bind def /l {lineto} bind def /m {moveto} bind def /rm {rmoveto} bind def /n {newpath} bind def /s {stroke} bind def /sh {show} bind def /slc {setlinecap} bind def /slj {setlinejoin} bind def /slw {setlinewidth} bind def /srgb {setrgbcolor} bind def /rot {rotate} bind def /sc {scale} bind def /sd {setdash} bind def /ff {findfont} bind def /sf {setfont} bind def /scf {scalefont} bind def /sw {stringwidth} bind def /tr {translate} bind def /tnt {dup dup currentrgbcolor 4 -2 roll dup 1 exch sub 3 -1 roll mul add 4 -2 roll dup 1 exch sub 3 -1 roll mul add 4 -2 roll dup 1 exch sub 3 -1 roll mul add srgb} bind def /shd {dup dup currentrgbcolor 4 -2 roll mul 4 -2 roll mul 4 -2 roll mul srgb} bind def /DrawEllipse { /endangle exch def /startangle exch def /yrad exch def /xrad exch def /y exch def /x exch def /savematrix mtrx currentmatrix def x y tr xrad yrad sc 0 0 1 startangle endangle arc closepath savematrix setmatrix } def /$F2psBegin {$F2psDict begin /$F2psEnteredState save def} def /$F2psEnd {$F2psEnteredState restore end} def $F2psBegin %%Page: 1 1 10 setmiterlimit 0.00900 0.00900 sc 7.500 slw % Ellipse n 2213 1988 856 856 0 360 DrawEllipse gs col4 1.00 shd ef gr gs col4 s gr % Ellipse n 2213 1991 813 813 0 360 DrawEllipse gs col8 1.00 shd ef gr gs col8 s gr % Ellipse n 1602 1879 177 177 0 360 DrawEllipse gs col11 1.00 shd ef gr gs col11 s gr % Ellipse n 2001 2575 177 177 0 360 DrawEllipse gs col11 1.00 shd ef gr gs col11 s gr % Ellipse n 2831 1877 177 177 0 360 DrawEllipse gs col11 1.00 shd ef gr gs col11 s gr % Ellipse n 2618 1509 177 177 0 360 DrawEllipse gs col11 1.00 shd ef gr gs col11 s gr % Ellipse n 1806 1519 177 177 0 360 DrawEllipse gs col11 1.00 shd ef gr gs col11 s gr % Ellipse n 2205 1364 177 177 0 360 DrawEllipse gs col11 1.00 shd ef gr gs col11 s gr % Ellipse n 1669 2290 177 177 0 360 DrawEllipse gs col11 1.00 shd ef gr gs col11 s gr % Ellipse n 2762 2305 177 177 0 360 DrawEllipse gs col11 1.00 shd ef gr gs col11 s gr % Ellipse n 2439 2579 177 177 0 360 DrawEllipse gs col11 1.00 shd ef gr gs col11 s gr % Ellipse n 2220 1992 440 440 0 360 DrawEllipse gs col4 1.00 shd ef gr gs col4 s gr % Ellipse n 2618 1509 141 141 0 360 DrawEllipse gs col30 1.00 shd ef gr gs col30 s gr % Ellipse n 1805 1515 141 141 0 360 DrawEllipse gs col30 1.00 shd ef gr gs col30 s gr % Ellipse n 1669 2290 141 141 0 360 DrawEllipse gs col30 1.00 shd ef gr gs col30 s gr % Ellipse n 2205 1360 141 141 0 360 DrawEllipse gs col30 1.00 shd ef gr gs col30 s gr % Ellipse n 2762 2305 141 141 0 360 DrawEllipse gs col30 1.00 shd ef gr gs col30 s gr % Ellipse n 1600 1875 141 141 0 360 DrawEllipse gs col30 1.00 shd ef gr gs col30 s gr % Ellipse n 2439 2579 141 141 0 360 DrawEllipse gs col30 1.00 shd ef gr gs col30 s gr % Ellipse n 2831 1877 141 141 0 360 DrawEllipse gs col30 1.00 shd ef gr gs col30 s gr % Ellipse n 2001 2573 141 141 0 360 DrawEllipse gs col30 1.00 shd ef gr gs col30 s gr /Times-Bold ff 225.00 scf sf 1997 2652 m gs 1 -1 sc (23) dup sw pop 2 div neg 0 rm col0 sh gr /Times-Bold ff 225.00 scf sf 2438 2659 m gs 1 -1 sc (11) dup sw pop 2 div neg 0 rm col0 sh gr /Times-Roman ff 480.00 scf sf 3375 2205 m gs 1 -1 sc (Article 03.1.1) col0 sh gr /Times-Roman ff 480.00 scf sf 3375 1650 m gs 1 -1 sc (Journal of Integer Sequences, Vol. 6 \(2003\),) col0 sh gr /Times-Bold ff 225.00 scf sf 2618 1592 m gs 1 -1 sc (2) dup sw pop 2 div neg 0 rm col0 sh gr /Times-Bold ff 225.00 scf sf 2830 1956 m gs 1 -1 sc (3) dup sw pop 2 div neg 0 rm col0 sh gr /Times-Bold ff 225.00 scf sf 2761 2386 m gs 1 -1 sc (6) dup sw pop 2 div neg 0 rm col0 sh gr % Ellipse n 1805 1517 42 42 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col0 s gr % Polyline n 2554 1797 m 2554 1796 l 2554 1790 l 2554 1779 l 2554 1765 l 2553 1753 l 2552 1743 l 2550 1736 l 2548 1730 l 2544 1725 l 2540 1721 l 2534 1717 l 2528 1713 l 2521 1711 l 2514 1709 l 2507 1708 l 2499 1707 l 2492 1707 l 2483 1707 l 2474 1707 l 2465 1708 l 2456 1710 l 2447 1712 l 2438 1714 l 2431 1717 l 2423 1720 l 2416 1724 l 2408 1728 l 2401 1734 l 2394 1739 l 2388 1745 l 2382 1751 l 2377 1756 l 2372 1762 l 2368 1768 l 2363 1775 l 2359 1783 l 2356 1791 l 2352 1799 l 2350 1807 l 2348 1814 l 2346 1823 l 2345 1831 l 2345 1841 l 2345 1852 l 2346 1863 l 2349 1873 l 2352 1884 l 2356 1894 l 2360 1902 l 2365 1910 l 2371 1919 l 2378 1928 l 2385 1937 l 2393 1946 l 2401 1955 l 2409 1963 l 2417 1970 l 2425 1977 l 2435 1985 l 2446 1993 l 2457 2000 l 2467 2008 l 2477 2015 l 2487 2021 l 2494 2027 l 2501 2033 l 2506 2038 l 2510 2043 l 2513 2049 l 2515 2055 l 2516 2061 l 2516 2067 l 2516 2073 l 2514 2079 l 2510 2087 l 2505 2095 l 2498 2104 l 2490 2113 l 2481 2120 l 2473 2125 l 2465 2129 l 2458 2131 l 2449 2133 l 2440 2134 l 2431 2134 l 2422 2133 l 2414 2131 l 2406 2128 l 2396 2122 l 2385 2115 l 2375 2107 l 2366 2101 l 2359 2097 l 2353 2096 l 2350 2098 l 2347 2101 l 2346 2107 l 2344 2114 l 2344 2122 l 2344 2130 l 2345 2138 l 2346 2145 l 2347 2151 l 2349 2158 l 2352 2164 l 2355 2169 l 2360 2174 l 2364 2179 l 2370 2182 l 2375 2186 l 2382 2188 l 2390 2190 l 2399 2193 l 2409 2194 l 2419 2195 l 2429 2196 l 2438 2196 l 2448 2196 l 2456 2195 l 2465 2194 l 2475 2192 l 2484 2189 l 2493 2187 l 2501 2183 l 2509 2180 l 2516 2177 l 2524 2172 l 2533 2166 l 2541 2159 l 2548 2152 l 2555 2144 l 2560 2137 l 2565 2129 l 2569 2121 l 2573 2111 l 2576 2102 l 2579 2093 l 2581 2084 l 2583 2076 l 2584 2068 l 2584 2058 l 2584 2049 l 2583 2040 l 2582 2032 l 2580 2023 l 2577 2014 l 2572 2004 l 2568 1994 l 2563 1984 l 2558 1976 l 2552 1968 l 2546 1960 l 2538 1952 l 2531 1945 l 2524 1938 l 2517 1932 l 2509 1926 l 2501 1921 l 2493 1914 l 2484 1908 l 2476 1902 l 2468 1897 l 2461 1890 l 2453 1883 l 2445 1876 l 2437 1869 l 2431 1862 l 2427 1856 l 2423 1849 l 2420 1842 l 2418 1835 l 2417 1830 l 2417 1825 l 2417 1820 l 2417 1816 l 2418 1812 l 2419 1808 l 2419 1806 l 2420 1803 l 2421 1801 l 2422 1798 l 2424 1796 l 2425 1794 l 2427 1792 l 2429 1789 l 2431 1787 l 2433 1785 l 2436 1783 l 2437 1781 l 2439 1780 l 2442 1779 l 2444 1778 l 2446 1778 l 2448 1777 l 2450 1777 l 2452 1777 l 2455 1777 l 2457 1777 l 2460 1776 l 2462 1776 l 2465 1775 l 2468 1775 l 2470 1775 l 2473 1775 l 2476 1775 l 2479 1776 l 2482 1776 l 2484 1777 l 2487 1777 l 2489 1777 l 2492 1778 l 2495 1779 l 2498 1780 l 2502 1782 l 2506 1785 l 2510 1788 l 2514 1790 l 2517 1792 l 2520 1794 l 2522 1795 l 2524 1796 l 2525 1798 l 2527 1799 l 2529 1800 l 2531 1802 l 2534 1805 l 2536 1807 l 2539 1809 l 2540 1811 l 2542 1812 l 2544 1813 l 2546 1814 l 2547 1814 l 2549 1813 l 2550 1811 l 2552 1808 l 2554 1804 l 2555 1801 l 2556 1798 l 2556 1796 l 2557 1795 l 2557 1793 l 2557 1792 l gs 0.00 setgray ef gr gs col0 s gr % Polyline n 1871 1753 m 1902 1705 l 2090 1705 l 2075 1753 l 2075 2255 l 2012 2317 l 1933 2317 l 2012 2255 l 2012 1753 l 1871 1753 l 1918 1737 l cp gs 0.00 setgray ef gr gs col0 s gr % Polyline n 2169 1705 m 2278 1705 l 2263 1720 l 2247 1753 l 2247 2129 l 2278 2191 l 2152 2191 l 2169 2176 l 2185 2129 l 2185 2098 l 2185 1753 l cp gs 0.00 setgray ef gr gs col0 s gr % Ellipse n 1600 1877 42 42 0 360 DrawEllipse gs 0.00 setgray ef gr gs col0 s gr /Times-Bold ff 225.00 scf sf 2197 1439 m gs 1 -1 sc (1) dup sw pop 2 div neg 0 rm col0 sh gr /Times-Bold ff 225.00 scf sf 1667 2376 m gs 1 -1 sc (47) dup sw pop 2 div neg 0 rm col0 sh gr $F2psEnd rs %%EndDocument @endspecial Black Black 16267 11257 a Fy(Deriv)-72 b(ed)862 b(Sequences)22579 16399 y Fx(G.)519 b(L.)h(Cohen)7200 18391 y(Departmen)-43 b(t)519 b(of)i(Mathematical)f(Sciences,)d(F)-130 b(acult)-43 b(y)519 b(of)i(Science)15437 20384 y(Univ)-43 b(ersit)g(y)517 b(of)k(T)-130 b(ec)-43 b(hnology)-130 b(,)520 b(Sydney)14716 22376 y(PO)g(Bo)-43 b(x)520 b(123,)h(Broadw)-43 b(a)g(y)-130 b(,)521 b(NSW)f(2007)23653 24369 y(Australia)25543 27554 y(and)21858 30739 y(D.)g(E.)g(Iann)-43 b(ucci)14208 32732 y(Division)519 b(of)h(Science)f(and)i(Mathematics)16036 34724 y(Univ)-43 b(ersit)g(y)517 b(of)k(the)f(Virgin)g(Islands)19209 36717 y(St.)693 b(Thomas,)521 b(VI)f(00802)25196 38709 y(USA)p Black Black 23944 41549 a Fw(Abstract)2751 44389 y Fv(W)-108 b(e)358 b(de\257ne)g(a)g(m)-36 b(ultiplicativ)g(e)360 b(arithmetic)e(function)g Fu(D)394 b Fv(b)-36 b(y)359 b(assigning)g Fu(D)36 b Fv(\()p Fu(p)39947 43906 y Ft(a)40502 44389 y Fv(\))369 b(=)f Fu(ap)44093 43906 y Ft(a)p Fs(\241)p Fr(1)45850 44389 y Fv(,)374 b(when)358 b Fu(p)g Fv(is)h(a)800 45994 y(prime)j(and)g Fu(a)g Fv(is)g(a)h(p)36 b(ositiv)-36 b(e)363 b(in)-36 b(teger,)377 b(and,)f(for)363 b Fu(n)370 b Fq(\270)f Fv(1,)377 b(w)-36 b(e)362 b(set)h Fu(D)33115 45512 y Fr(0)33640 45994 y Fv(\()p Fu(n)p Fv(\))370 b(=)e Fu(n)363 b Fv(and)f Fu(D)41891 45512 y Ft(k)42460 45994 y Fv(\()p Fu(n)p Fv(\))369 b(=)f Fu(D)36 b Fv(\()p Fu(D)48735 45512 y Ft(k)24 b Fs(\241)p Fr(1)50506 45994 y Fv(\()p Fu(n)p Fv(\)\))800 47599 y(when)554 b Fu(k)619 b Fq(\270)575 b Fv(1.)941 b(W)-108 b(e)554 b(term)g Fq(f)p Fu(D)16540 47117 y Ft(k)17109 47599 y Fv(\()p Fu(n)p Fv(\))p Fq(g)19561 47117 y Fs(1)19561 47944 y Ft(k)24 b Fr(=0)21887 47599 y Fv(the)553 b(deriv)-36 b(ed)554 b(sequence)h(of)g Fu(n)p Fv(.)941 b(W)-108 b(e)554 b(sho)-36 b(w)554 b(that)g(all)h(deriv)-36 b(ed)800 49204 y(sequences)448 b(of)g Fu(n)394 b(<)f Fv(1)p Fu(:)p Fv(5)306 b Fq(\242)f Fv(10)14729 48722 y Fr(10)16173 49204 y Fv(are)448 b(b)36 b(ounded,)450 b(and)e(that)f(the)g(densit)-36 b(y)448 b(of)g(those)g Fu(n)394 b Fq(2)f Fp(N)448 b Fv(with)g(b)36 b(ounded)800 50809 y(deriv)-36 b(ed)446 b(sequences)h(exceeds)g(0.996,)452 b(but)445 b(w)-36 b(e)447 b(conjecture)g(nonetheless)f(the)g(existence) h(of)h(un)-36 b(b)36 b(ounded)800 52414 y(sequences.)819 b(Kno)-36 b(wn)514 b(b)36 b(ounded)512 b(deriv)-36 b(ed)513 b(sequences)h(end)f(\(e\256ectiv)-36 b(ely\))515 b(in)e(cycles)i(of)g (lengths)e(only)i(1)800 54019 y(to)570 b(6,)604 b(and)569 b(8,)605 b(y)-36 b(et)569 b(the)g(existence)i(of)f(cycles)h(of)f (arbitrary)g(length)f(is)h(conjectured.)986 b(W)-108 b(e)570 b(pro)-36 b(v)g(e)570 b(the)800 55624 y(existence)434 b(of)g(deriv)-36 b(ed)434 b(sequences)f(of)i(arbitrarily)f(man)-36 b(y)434 b(terms)f(without)g(a)h(cycle.)800 61261 y Fo(1)2152 b(In)-60 b(tro)60 b(duction)800 64181 y Fv(De\257ne)433 b(a)h(m)-36 b(ultiplicativ)g(e)435 b(arithmetic)e(function)g Fu(D)470 b Fv(b)-36 b(y)433 b(assigning)22530 66936 y Fu(D)36 b Fv(\()p Fu(p)24805 66388 y Ft(a)25360 66936 y Fv(\))369 b(=)g Fu(ap)28952 66388 y Ft(a)p Fs(\241)p Fr(1)30708 66936 y Fu(;)20069 b Fv(\(1\))800 69691 y(when)504 b Fu(p)h Fv(is)g(a)g(prime)f(and)h Fu(a)f Fv(is)h(a)g(p)36 b(ositiv)-36 b(e)506 b(in)-36 b(teger.)791 b(The)505 b(m)-36 b(ultiplicativit)g(y)506 b(implies)f Fu(D)36 b Fv(\(1\))490 b(=)g(1)505 b(and,)800 71296 y(for)591 b(example,)630 b Fu(D)36 b Fv(\()p Fu(p)10870 70814 y Ft(a)11424 71296 y Fu(q)12049 70814 y Ft(b)12507 71296 y Fv(\))634 b(=)h Fu(abp)17183 70814 y Ft(a)p Fs(\241)p Fr(1)18940 71296 y Fu(q)19565 70814 y Ft(b)p Fs(\241)p Fr(1)21225 71296 y Fv(,)629 b(where)590 b Fu(q)26754 70814 y Ft(b)27801 71296 y Fv(is)g(another)g(prime)f(p)36 b(o)-36 b(w)g(er,)630 b Fu(q)682 b Fq(6)p Fv(=)635 b Fu(p)p Fv(.)1047 b(It)590 b(is)g(only)p Black 26475 74617 a(1)p Black eop %%Page: 2 2 2 1 bop Black 0 TeXcolorgray Black Black 800 1424 a Fv(the)503 b(shap)36 b(e)504 b(of)h(the)e(de\257nition)g(\(1\))h(that)f (encourages)h(us)g(to)f(use)h(freely)h(terms)e(from)i(calculus.)789 b(\(Our)800 3029 y(deriv)-72 b(ativ)-36 b(es)485 b(ha)-36 b(v)g(e)483 b(no)h(relationship)g(to)f(an)h(earlier)g(use)g(of)g(the)f (term,)496 b(in)483 b(Ap)36 b(ostol)485 b([)p 0 1 0 0 TeXcolorcmyk(1)p (#cite.Apostol) [[462 690 468 702] [1 1 1 [3 3]] [0 0 1]] pdfm Black(],)497 b(for)484 b(example.\))800 4634 y(W)-108 b(riting)467 b Fu(D)6718 4152 y Fr(0)7244 4634 y Fv(\()p Fu(n)p Fv(\))426 b(=)g Fu(n)468 b Fv(and)f Fu(D)15819 4152 y Ft(k)16388 4634 y Fv(\()p Fu(n)p Fv(\))426 b(=)g Fu(D)36 b Fv(\()p Fu(D)22778 4152 y Ft(k)24 b Fs(\241)p Fr(1)24549 4634 y Fv(\()p Fu(n)p Fv(\)\))467 b(for)h Fu(k)j Fq(\270)426 b Fv(1)468 b(and)f(an)-36 b(y)467 b(p)36 b(ositiv)-36 b(e)468 b(in)-36 b(teger)467 b Fu(n)p Fv(,)477 b(w)-36 b(e)467 b(call)800 6239 y Fq(f)p Fu(D)2580 5757 y Ft(k)3149 6239 y Fv(\()p Fu(n)p Fv(\))p Fq(g)5601 5757 y Fs(1)5601 6585 y Ft(k)24 b Fr(=0)7373 6239 y Fv(,)480 b(or)471 b Fq(f)p Fu(n;)221 b(D)36 b Fv(\()p Fu(n)p Fv(\))p Fu(;)221 b(D)16465 5757 y Fr(2)16992 6239 y Fv(\()p Fu(n)p Fv(\))p Fu(;)g(D)20478 5757 y Fr(3)21005 6239 y Fv(\()p Fu(n)p Fv(\))p Fu(;)g(:)g(:)g(:)j Fq(g)p Fv(,)480 b(the)470 b(deriv)-36 b(ed)471 b(sequence)f(of)i Fu(n)p Fv(,)480 b(and)471 b(denote)f(this)g(b)-36 b(y)800 7844 y Fq(D)37 b Fv(\()p Fu(n)p Fv(\).)915 b(W)-108 b(e)546 b(refer)g(to)g Fu(D)13207 7362 y Ft(k)13776 7844 y Fv(\()p Fu(n)p Fv(\))g(for)h Fu(k)605 b Fq(\270)560 b Fv(1)547 b(as)f(the)f Fu(k)45 b Fv(th)546 b(deriv)-72 b(ativ)-36 b(e)547 b(of)f Fu(n)h Fv(and)e(w)-36 b(e)546 b(refer)g(to)h Fu(D)48426 7362 y Ft(j)48913 7844 y Fv(\()p Fu(n)p Fv(\))e(for)800 9450 y(0)369 b Fq(\267)h Fu(j)443 b(<)369 b(k)479 b Fv(as)433 b(in)-36 b(tegrals)434 b(of)h Fu(D)16179 8968 y Ft(k)16748 9450 y Fv(\()p Fu(n)p Fv(\).)2751 11055 y(If)389 b Fu(n)370 b Fv(=)6532 10058 y Fn(Q)7787 10409 y Ft(w)7787 11442 y(i)p Fr(=1)9586 11055 y Fu(p)10239 10462 y Ft(a)10739 10597 y Fm(i)10239 11395 y Ft(i)11534 11055 y Fv(is)390 b(the)e(prime)g(decomp)36 b(osition)389 b(of)h Fu(n)f Fv(then)f(the)g(de\257nition)g(of)i Fu(D)36 b Fv(\()p Fu(n)p Fv(\))389 b(ma)-36 b(y)389 b(b)36 b(e)388 b(giv)-36 b(en)800 12660 y(di\256eren)g(tly)433 b(as)19546 14955 y Fu(D)36 b Fv(\()p Fu(n)p Fv(\))369 b(=)25352 14056 y Fu(n)p 24333 14649 2814 54 v 24333 15866 a(C)95 b Fv(\()p Fu(n)p Fv(\))27501 14955 y Fu(\277)28436 13082 y Fn(\265)30565 14056 y Fu(n)p 29546 14649 V 29546 15866 a(C)g Fv(\()p Fu(n)p Fv(\))32493 13082 y Fn(\266)33692 14955 y Fu(;)800 18074 y Fv(where)445 b Fu(\277)148 b Fv(\()p Fu(n)p Fv(\))388 b(=)8858 17078 y Fn(Q)10113 17428 y Ft(w)10113 18461 y(i)p Fr(=1)11691 18074 y Fv(\()p Fu(a)12880 18273 y Ft(i)13558 18074 y Fv(+)303 b(1\))445 b(is)g(the)f(n)-36 b(um)g(b)36 b(er)444 b(of)i(divisors)f(of)h Fu(n)f Fv(and)g Fu(C)95 b Fv(\()p Fu(n)p Fv(\))388 b(=)40897 17078 y Fn(Q)42152 17428 y Ft(w)42152 18461 y(i)p Fr(=1)43951 18074 y Fu(p)44604 18273 y Ft(i)45424 18074 y Fv(is)446 b(the)e(core)h(of)800 19679 y Fu(n)p Fv(.)2751 21284 y(Our)j(in)-36 b(ten)g(tion)449 b(is)g(to)h(initiate)g(a)f(study)g(of)h (the)f(ultimate)g(b)36 b(eha)-36 b(viour)450 b(of)g(deriv)-36 b(ed)449 b(sequences.)625 b(Dif-)800 22889 y(feren)-36 b(t)433 b(forms)h(of)h(ultimate)e(b)36 b(eha)-36 b(viour)434 b(are)g(indicated)f(in)g(the)g(follo)-36 b(wing)436 b(examples:)5198 25823 y Fq(D)37 b Fv(\(5)7416 25274 y Fr(2)7941 25823 y Fv(17)296 b Fq(\242)f Fv(37\))370 b(=)f Fq(f)p Fv(5)15072 25274 y Fr(2)15598 25823 y Fv(17)296 b Fq(\242)f Fv(37)p Fu(;)221 b Fv(2)297 b Fq(\242)e Fv(5)p Fu(;)221 b Fv(1)p 22583 26035 651 54 v 1 w Fu(;)g(:)g(:)g(:)j Fq(g)p Fu(;)24548 b Fv(\(2\))8288 27760 y Fq(D)37 b Fv(\(2)10506 27211 y Fr(25)11502 27760 y Fv(\))369 b(=)g Fq(f)p Fv(2)15072 27211 y Fr(25)16068 27760 y Fu(;)221 b Fv(2)17300 27211 y Fr(24)18298 27760 y Fv(5)18948 27211 y Fr(2)19474 27760 y Fu(;)g Fv(2)20706 27211 y Fr(27)21703 27760 y Fv(3)296 b Fq(\242)f Fv(5)p Fu(;)221 b Fv(2)25195 27211 y Fr(26)26192 27760 y Fv(3)26842 27211 y Fr(3)27369 27760 y Fu(;)g Fv(2)28601 27211 y Fr(26)29598 27760 y Fv(3)30248 27211 y Fr(3)30774 27760 y Fv(13)p 27951 27972 4124 54 v 1 w Fu(;)g(:)g(:)g(:)i Fq(g)p Fu(;)15708 b Fv(\(3\))7778 29897 y Fq(D)37 b Fv(\(13)10646 29348 y Fr(16\))12377 29897 y Fv(=)369 b Fq(f)p Fv(13)15722 29348 y Fr(16)16719 29897 y Fu(;)221 b Fv(2)17951 29348 y Fr(4)18477 29897 y Fv(13)19777 29348 y Fr(15)20774 29897 y Fu(;)g Fv(2)22006 29348 y Fr(5)22533 29897 y Fv(3)296 b Fq(\242)f Fv(5)g Fq(\242)h Fv(13)27053 29348 y Fr(14)28050 29897 y Fu(;)221 b Fv(2)29282 29348 y Fr(5)29808 29897 y Fv(5)296 b Fq(\242)f Fv(7)h Fq(\242)f Fv(13)34328 29348 y Fr(13)35325 29897 y Fu(;)221 b Fv(2)36557 29348 y Fr(4)37084 29897 y Fv(5)295 b Fq(\242)g Fv(13)39993 29348 y Fr(13)p 35907 30109 5083 54 v 40990 29897 a Fu(;)221 b Fv(2)42222 29348 y Fr(5)42749 29897 y Fv(13)44049 29348 y Fr(13)p 41573 30109 3474 54 v 45046 29897 a Fu(;)g(:)g(:)g(:)j Fq(g)p Fu(;)2736 b Fv(\(4\))8288 31834 y Fq(D)37 b Fv(\(2)10506 31286 y Fr(32)11502 31834 y Fv(\))369 b(=)g Fq(f)p Fv(2)15072 31286 y Fr(32)16068 31834 y Fu(;)221 b Fv(2)17300 31286 y Fr(36)18298 31834 y Fu(;)g Fv(2)19530 31286 y Fr(37)20527 31834 y Fv(3)21177 31286 y Fr(2)p 18880 32047 2823 54 v 21703 31834 a Fu(;)g Fv(2)22935 31286 y Fr(37)23932 31834 y Fv(3)296 b Fq(\242)f Fv(37)p 22285 32047 4557 54 v 1 w Fu(;)221 b Fv(2)28075 31286 y Fr(36)29072 31834 y Fv(37)p 27425 32047 2948 54 v 1 w Fu(;)g(:)g(:)g(:)i Fq(g)p Fu(;)17410 b Fv(\(5\))8759 33771 y Fq(D)37 b Fv(\(3)10977 33223 y Fr(8)11502 33771 y Fv(\))369 b(=)g Fq(f)p Fv(3)15072 33223 y Fr(8)15598 33771 y Fu(;)221 b Fv(2)16830 33223 y Fr(3)17357 33771 y Fv(3)18007 33223 y Fr(7)p 16181 33984 2353 54 v 18533 33771 a Fu(;)g Fv(2)19765 33223 y Fr(2)20292 33771 y Fv(3)20942 33223 y Fr(7)21763 33771 y Fq(\242)295 b Fv(7)p 19115 33984 3962 54 v 1 w Fu(;)221 b Fv(2)24310 33223 y Fr(2)24836 33771 y Fv(3)25486 33223 y Fr(6)26308 33771 y Fq(\242)295 b Fv(7)p 23660 33984 V Fu(;)221 b Fv(2)28854 33223 y Fr(3)29381 33771 y Fv(3)30031 33223 y Fr(6)p 28205 33984 2353 54 v 30557 33771 a Fu(;)g(:)g(:)g(:)j Fq(g)p Fu(:)17225 b Fv(\(6\))800 36705 y(The)434 b(underlined)e(terms)h (in)g(eac)-36 b(h)434 b(case)g(form)g(cycles.)579 b(Precisely:)h(if) 10237 39638 y Fq(D)37 b Fv(\()p Fu(n)p Fv(\))368 b(=)h Fq(f)p Fu(:)221 b(:)g(:)i(;)e(D)18946 39090 y Ft(j)19434 39638 y Fv(\()p Fu(n)p Fv(\))p Fu(;)g(D)22920 39090 y Ft(j)51 b Fr(+1)24610 39638 y Fv(\()p Fu(n)p Fv(\))p Fu(;)221 b(:)g(:)g(:)i(;)e(D)30426 39090 y Ft(j)51 b Fr(+)p Ft(k)24 b Fs(\241)p Fr(1)33362 39638 y Fv(\()p Fu(n)p Fv(\))p Fu(;)221 b(D)36848 39090 y Ft(j)51 b Fr(+)p Ft(k)38581 39638 y Fv(\()p Fu(n)p Fv(\))p Fu(;)221 b(:)g(:)g(:)i Fq(g)800 42572 y Fv(and)526 b Fu(D)4538 42090 y Ft(j)51 b Fr(+)p Ft(k)6271 42572 y Fv(\()p Fu(n)p Fv(\))527 b(=)g Fu(D)11241 42090 y Ft(j)11728 42572 y Fv(\()p Fu(n)p Fv(\),)550 b(where)527 b Fu(j)602 b Fq(\270)528 b Fv(0)f(and)f Fu(k)573 b Fq(\270)527 b Fv(1)g(is)g(the)g(smallest)g(in)-36 b(teger)526 b(with)h(this)g(prop)36 b(ert)-36 b(y)-108 b(,)800 44177 y(then)378 b Fu(D)4824 43695 y Ft(j)5311 44177 y Fv(\()p Fu(n)p Fv(\))p Fu(;)221 b(D)8797 43695 y Ft(j)51 b Fr(+1)10487 44177 y Fv(\()p Fu(n)p Fv(\))p Fu(;)221 b(:)g(:)g(:)j(;)d(D)16304 43695 y Ft(j)51 b Fr(+)p Ft(k)24 b Fs(\241)p Fr(1)19239 44177 y Fv(\()p Fu(n)p Fv(\))380 b(is)f(a)h(deriv)-36 b(ed)379 b Fu(k)45 b Fv(-cycle,)391 b(whic)-36 b(h,)390 b(if)380 b(w)-36 b(e)379 b(need)g(to,)390 b(w)-36 b(e)380 b(describ)36 b(e)379 b(as)800 45782 y(b)36 b(eing)412 b(arriv)-36 b(ed)411 b(at)h(in)f Fu(j)325 b Fv(+)250 b Fu(k)456 b Fv(iterations)412 b(of)h Fu(D)36 b Fv(.)571 b(F)-108 b(or)411 b(example,)417 b(in)411 b(\(3\),)416 b Fu(D)36 b Fv(\(2)38214 45300 y Fr(26)39211 45782 y Fv(3)39861 45300 y Fr(3)40387 45782 y Fv(13\))369 b(=)g(2)44593 45300 y Fr(26)45589 45782 y Fv(3)46239 45300 y Fr(3)46766 45782 y Fv(13,)416 b(and,)g(in)800 47387 y(\(6\),)431 b Fu(D)36 b Fv(\(2)5526 46905 y Fr(3)6052 47387 y Fv(3)6702 46905 y Fr(6)7228 47387 y Fv(\))369 b(=)f(2)10133 46905 y Fr(3)10659 47387 y Fv(3)11309 46905 y Fr(7)11836 47387 y Fv(.)577 b(W)-108 b(e)429 b(ha)-36 b(v)g(e)430 b(1-cycles)h(in)f (\(2\))f(and)g(\(3\),)i(and)e(2-,)i(3-)f(and)f(4-cycles)i(in)e(\(4\),)i (\(5\))f(and)800 48992 y(\(6\),)411 b(resp)36 b(ectiv)-36 b(ely)-108 b(.)569 b(The)405 b(3-cycle)g(in)g(\(5\))f(is)h(arriv)-36 b(ed)405 b(at)f(in)h(four)g(iterations)g(of)g Fu(D)36 b Fv(.)569 b(W)-108 b(e)404 b(will)i(refer)f(to)g(the)800 50597 y(elemen)-36 b(t)433 b(of)i(a)e(1-cycle)i(as)f(a)g(\257xed)f(p)36 b(oin)-36 b(t)433 b(of)h Fu(D)36 b Fv(.)2751 52202 y(It)332 b(is)g(not)g(kno)-36 b(wn)332 b(whether)g(the)f(ultimate)h(b)36 b(eha)-36 b(viour)332 b(of)h Fq(D)37 b Fv(\()p Fu(n)p Fv(\))331 b(is)i(a)f(cycle)h(for)g(all)f Fu(n)p Fv(,)353 b(or)333 b(whether,)351 b(for)800 53807 y(some)467 b Fu(n)p Fv(,)474 b Fu(D)6819 53325 y Ft(k)7388 53807 y Fv(\()p Fu(n)p Fv(\))467 b(increases)f(without)g(b)36 b(ound)465 b(as)h Fu(k)512 b Fv(increases.)676 b(W)-108 b(e)466 b(will)i(sho)-36 b(w,)474 b(ho)-36 b(w)g(ev)g(er,)475 b(that)466 b(cycles)800 55412 y(result)487 b(for)h(more)f(than)g (99.5\045)i(of)f(v)-72 b(alues)488 b(of)g Fu(n)p Fv(.)740 b(Man)-36 b(y)487 b(iterations)h(of)g Fu(D)524 b Fv(ma)-36 b(y)488 b(b)36 b(e)487 b(required)g(b)36 b(efore)488 b(a)800 57017 y(cycle)519 b(is)g(reac)-36 b(hed,)539 b(if)518 b(that)g(is)h(to)f(b)36 b(e)518 b(the)f(case:)748 b(for)519 b(example,)540 b Fq(D)37 b Fv(\(5)35397 56535 y Fr(63)36393 57017 y Fv(\))518 b(arriv)-36 b(es)519 b(in)f(531)h(iterations)g(at)800 58623 y(the)442 b(\257xed)h(p)36 b(oin)-36 b(t)442 b(2)10257 58140 y Fr(1403)12195 58623 y Fv(3)12845 58140 y Fr(329)14312 58623 y Fv(5)14962 58140 y Fr(106)16429 58623 y Fv(7)17079 58140 y Fr(15)18076 58623 y Fv(23)302 b Fq(\242)f Fv(47)i Fq(\242)e Fv(53)h Fq(\242)g Fv(61.)607 b(Our)442 b(most)h(impressiv)-36 b(e)443 b(example)g(is)h Fq(D)37 b Fv(\(17)48640 58140 y Fr(35)49636 58623 y Fv(19)50936 58140 y Fr(39)51933 58623 y Fv(\),)800 60228 y(whic)-36 b(h,)434 b(in)f(443507)j (iterations)e(of)g Fu(D)36 b Fv(,)434 b(arriv)-36 b(es)434 b(at)g(the)f(\257xed)g(p)36 b(oin)-36 b(t)9794 63161 y(2)10444 62613 y Fr(4318267)13793 63161 y Fv(3)14443 62613 y Fr(1370053)17792 63161 y Fv(5)18442 62613 y Fr(525835)21321 63161 y Fv(7)21971 62613 y Fr(159649)24849 63161 y Fv(11)26149 62613 y Fr(33429)28557 63161 y Fv(13)29857 62613 y Fr(20597)32266 63161 y Fv(17)33566 62613 y Fr(1037)35504 63161 y Fv(19)36804 62613 y Fr(1349)38741 63161 y Fv(23)40041 62613 y Fr(299)41509 63161 y Fv(31)42809 62613 y Fr(31)10458 65098 y Fq(\242)295 b Fv(43)h Fq(\242)f Fv(61)h Fq(\242)f Fv(71)16942 64550 y Fr(2)17469 65098 y Fv(479)h Fq(\242)f Fv(1013)h Fq(\242)g Fv(22807)h Fq(\242)e Fv(105167)i Fq(\242)e Fv(1370053)j Fq(\242)d Fv(4318267)p Fu(:)2751 68032 y Fv(Other)510 b(instances)g(of)i(sequences)e(of)i(iterated)e(arithmetic)h(functions)g (are)f(giv)-36 b(en)512 b(b)-36 b(y)510 b(Guy)h([)p 0 1 0 0 TeXcolorcmyk(3)p (#cite.Guy) [[515 105 521 117] [1 1 1 [3 3]] [0 0 1]] pdfm Black(].)810 b(It-)800 69637 y(eration)481 b(of)h(the)e(function)h Fu(\276)48 b Fv(\()p Fu(n)p Fv(\))327 b Fq(\241)h Fu(n)p Fv(,)493 b(for)481 b(example,)494 b(where)481 b Fu(\276)529 b Fv(is)481 b(the)f(sum-of-divisors)h(function,)493 b(has)800 71242 y(b)36 b(een)417 b(studied)g(extensiv)-36 b(ely)-108 b(.)574 b(The)418 b(situation)g(is)g(similar:)572 b(there)417 b(is)h(an)g(ev)-36 b(en)g(tual)418 b(iterate)g(equal)g(to)g(1,)k(or)p Black 26475 74617 a(2)p Black eop %%Page: 3 3 3 2 bop Black 0 TeXcolorgray Black Black 800 1424 a Fv(there)450 b(is)i(ev)-36 b(en)g(tually)452 b(a)f(cycle,)457 b(or)451 b(the)g(ultimate)g(b)36 b(eha)-36 b(viour)451 b(is)g(unkno)-36 b(wn.)631 b(Iteration)451 b(of)h(the)e(function)800 3029 y Fu(\276)482 b Fv(itself)434 b(w)-36 b(as)434 b(studied)f(in)g(Cohen)h (and)f(te)g(Riele)i([)p 0 1 0 0 TeXcolorcmyk(2)p (#cite.Cohen-teRiele) [[301 690 307 702] [1 1 1 [3 3]] [0 0 1]] pdfm Black(].)2751 4634 y(In)449 b(the)f(follo)-36 b(wing,)455 b Fu(p)p Fv(,)d Fu(q)48 b Fv(,)452 b Fu(r)485 b Fv(and)448 b Fu(t)p Fv(,)453 b(with)c(and)f(without)g(subscripts,)k(denote)c (prime)g(n)-36 b(um)g(b)36 b(ers,)452 b(and)800 6239 y Fu(s)p Fv(,)466 b(with)460 b(and)f(without)h(subscripts,)465 b(denotes)459 b(a)h(squarefree)g(n)-36 b(um)g(b)36 b(er.)656 b(W)-108 b(e)459 b(include)g(1)h(as)g(a)g(squarefree)800 7844 y(n)-36 b(um)g(b)36 b(er.)577 b(Other)432 b(letters)i(denote)f(p) 36 b(ositiv)-36 b(e)434 b(in)-36 b(tegers,)434 b(unless)f(sp)36 b(eci\257ed)433 b(otherwise.)800 12277 y Fo(2)2152 b(General)717 b(results)800 15198 y Fv(W)-108 b(e)434 b(are)f(able)h(to)g(giv)-36 b(e)435 b(a)e(n)-36 b(um)g(b)36 b(er)432 b(of)j(results)e(of)h(a)g (general)g(nature.)2751 16803 y(First,)327 b(it)299 b(is)h(easy)h(to)e (see)h(that)f Fu(n)h Fv(is)g(a)g(\257xed)f(p)36 b(oin)-36 b(t)300 b(of)g Fu(D)336 b Fv(if)300 b(and)f(only)h(if)h(either)e Fu(n)369 b Fv(=)g(1)300 b(or)g Fu(n)369 b Fv(=)47826 15807 y Fn(Q)49080 16157 y Ft(w)49080 17190 y(i)p Fr(=1)50880 16803 y Fu(p)51533 16210 y Ft(a)52033 16345 y Fm(i)51533 17143 y Ft(i)52439 16803 y Fv(,)800 18408 y(where)4629 17412 y Fn(Q)5884 17762 y Ft(w)5884 18796 y(i)p Fr(=1)7683 18408 y Fu(p)8336 18607 y Ft(i)9203 18408 y Fv(=)10706 17412 y Fn(Q)11961 17762 y Ft(w)11961 18796 y(i)p Fr(=1)13760 18408 y Fu(a)14443 18607 y Ft(i)14819 18408 y Fv(.)794 b(More)506 b(generally)-108 b(,)524 b(w)-36 b(e)506 b(ha)-36 b(v)g(e)506 b(Prop)36 b(osition)506 b(1,)524 b(b)36 b(elo)-36 b(w.)795 b(F)-108 b(or)505 b(simplicit)-36 b(y)506 b(of)800 20013 y(notation,)554 b(w)-36 b(e)531 b(will)g(write)f Fu(n)j Fv(=)17323 19017 y Fn(Q)18799 20013 y Fu(p)19452 19433 y Ft(a)19952 19556 y Fl(0)19452 20339 y Fr(0)20998 20013 y Fv(and)c Fu(D)36 b Fv(\()p Fu(n)p Fv(\))533 b(=)28605 19017 y Fn(Q)30081 20013 y Fu(p)30734 19433 y Ft(a)31234 19556 y Fl(1)30734 20339 y Fr(1)32280 20013 y Fv(as)d(shorthand)e(for)j Fu(n)i Fv(=)45156 19017 y Fn(Q)46410 19367 y Ft(w)47085 19490 y Fl(0)46410 20401 y Ft(i)p Fr(=1)48210 20013 y Fu(p)48863 19421 y Ft(a)49363 19556 y Fm(i)p Fl(0)48863 20354 y Ft(i)p Fr(0)50705 20013 y Fv(and)800 21618 y Fu(D)36 b Fv(\()p Fu(n)p Fv(\))369 b(=)5454 20622 y Fn(Q)6708 20973 y Ft(w)7383 21096 y Fl(1)6708 22006 y Ft(i)p Fr(=1)8508 21618 y Fu(p)9161 21026 y Ft(a)9661 21161 y Fm(i)p Fl(1)9161 21959 y Ft(i)p Fr(1)10473 21618 y Fv(,)434 b(and)f(so)h(on.)p Black 800 24630 a Fw(Prop)42 b(osition)500 b(1)p Black 650 w Fk(Supp)-66 b(ose)347 b Fu(n)369 b(>)g Fv(1)347 b Fk(and)f(write)g Fu(n)370 b Fv(=)26741 23634 y Fn(Q)28217 24630 y Fu(p)28870 24049 y Ft(a)29370 24172 y Fl(0)28870 24956 y Fr(0)29886 24630 y Fk(,)g Fu(D)36 b Fv(\()p Fu(n)p Fv(\))369 b(=)35309 23634 y Fn(Q)36785 24630 y Fu(p)37438 24049 y Ft(a)37938 24172 y Fl(1)37438 24956 y Fr(1)38454 24630 y Fk(,)h Fu(:)221 b(:)g(:)i Fk(,)369 b Fu(D)42855 24148 y Ft(k)24 b Fs(\241)p Fr(1)44626 24630 y Fv(\()p Fu(n)p Fv(\))369 b(=)48164 23634 y Fn(Q)49640 24630 y Fu(p)50293 23924 y Ft(a)50793 24080 y Fm(k)14 b Fj(\241)p Fl(1)50293 25000 y Ft(k)24 b Fs(\241)p Fr(1)52402 24630 y Fk(.)800 26235 y(We)464 b(have)h Fu(D)7265 25753 y Ft(k)7834 26235 y Fv(\()p Fu(n)p Fv(\))369 b(=)g Fu(n)465 b Fk(if)f(and)h(only)g(if)20484 25239 y Fn(Q)21960 26235 y Fu(p)22613 26434 y Fr(0)23360 25239 y Fn(Q)24835 26235 y Fu(p)25488 26434 y Fr(1)26235 26235 y Fq(\242)221 b(\242)g(\242)28007 25239 y Fn(Q)29483 26235 y Fu(p)30136 26434 y Ft(k)24 b Fs(\241)p Fr(1)32275 26235 y Fv(=)33656 25239 y Fn(Q)35132 26235 y Fu(a)35815 26434 y Fr(0)36562 25239 y Fn(Q)38038 26235 y Fu(a)38721 26434 y Fr(1)39468 26235 y Fq(\242)221 b(\242)g(\242)41239 25239 y Fn(Q)42715 26235 y Fu(a)43398 26434 y Ft(k)24 b Fs(\241)p Fr(1)45169 26235 y Fk(.)800 29247 y(Pr)-66 b(o)g(of)p Fv(.)578 b(Note)433 b(that)15409 30557 y Fu(n)369 b Fv(=)17935 29295 y Fn(Y)19854 30557 y Fu(p)20507 29976 y Ft(a)21007 30099 y Fl(0)20507 30883 y Fr(0)21523 30557 y Fu(;)13281 33125 y(D)36 b Fv(\()p Fu(n)p Fv(\))369 b(=)17935 31863 y Fn(Y)19854 33125 y Fu(p)20507 32545 y Ft(a)21007 32668 y Fl(1)20507 33451 y Fr(1)21523 33125 y Fu(;)2393 b Fv(so)26962 31863 y Fn(Y)28881 33125 y Fu(p)29534 32545 y Ft(a)30034 32668 y Fl(1)29534 33451 y Fr(1)30919 33125 y Fv(=)32300 31863 y Fn(Y)34219 33125 y Fu(a)34902 33324 y Fr(0)35427 33125 y Fu(p)36080 32545 y Ft(a)36580 32668 y Fl(0)37041 32545 y Fs(\241)p Fr(1)36080 33451 y(0)38299 33125 y Fu(;)12755 35693 y(D)13871 35145 y Fr(2)14397 35693 y Fv(\()p Fu(n)p Fv(\))369 b(=)17935 34431 y Fn(Y)19854 35693 y Fu(p)20507 35113 y Ft(a)21007 35236 y Fl(2)20507 36019 y Fr(2)21523 35693 y Fu(;)2393 b Fv(so)26962 34431 y Fn(Y)28881 35693 y Fu(p)29534 35113 y Ft(a)30034 35236 y Fl(2)29534 36019 y Fr(2)30919 35693 y Fv(=)32300 34431 y Fn(Y)34219 35693 y Fu(a)34902 35892 y Fr(1)35427 35693 y Fu(p)36080 35113 y Ft(a)36580 35236 y Fl(1)37041 35113 y Fs(\241)p Fr(1)36080 36019 y(1)38299 35693 y Fu(;)16185 37660 y Fv(.)16185 38103 y(.)16185 38546 y(.)11510 40865 y Fu(D)12626 40316 y Ft(k)24 b Fs(\241)p Fr(1)14397 40865 y Fv(\()p Fu(n)p Fv(\))369 b(=)17935 39603 y Fn(Y)19854 40865 y Fu(p)20507 40159 y Ft(a)21007 40315 y Fm(k)14 b Fj(\241)p Fl(1)20507 41235 y Ft(k)24 b Fs(\241)p Fr(1)22615 40865 y Fu(;)1301 b Fv(so)26962 39603 y Fn(Y)28881 40865 y Fu(p)29534 40159 y Ft(a)30034 40315 y Fm(k)14 b Fj(\241)p Fl(1)29534 41235 y Ft(k)24 b Fs(\241)p Fr(1)32012 40865 y Fv(=)33392 39603 y Fn(Y)35311 40865 y Fu(a)35994 41064 y Ft(k)g Fs(\241)p Fr(2)37765 40865 y Fu(p)38418 40159 y Ft(a)38918 40315 y Fm(k)14 b Fj(\241)p Fl(2)40471 40159 y Fs(\241)p Fr(1)38418 41235 y Ft(k)24 b Fs(\241)p Fr(2)41729 40865 y Fu(:)800 44283 y Fv(If,)435 b(further,)e Fu(D)8311 43801 y Ft(k)8879 44283 y Fv(\()p Fu(n)p Fv(\))369 b(=)g Fu(n)434 b Fv(then)16590 43286 y Fn(Q)18066 44283 y Fu(p)18719 43702 y Ft(a)19219 43825 y Fl(0)18719 44608 y Fr(0)20104 44283 y Fv(=)21484 43286 y Fn(Q)22960 44283 y Fu(a)23643 44482 y Ft(k)24 b Fs(\241)p Fr(1)25414 44283 y Fu(p)26067 43577 y Ft(a)26567 43733 y Fm(k)14 b Fj(\241)p Fl(1)28120 43577 y Fs(\241)p Fr(1)26067 44653 y Ft(k)24 b Fs(\241)p Fr(1)29378 44283 y Fv(,)434 b(and)f(w)-36 b(e)434 b(ha)-36 b(v)g(e)8235 46961 y Fn(Y)10154 48223 y Fu(p)10807 48422 y Fr(0)11554 46961 y Fn(Y)13472 48223 y Fu(p)14125 48422 y Fr(1)14872 48223 y Fq(\242)221 b(\242)g(\242)16643 46961 y Fn(Y)18562 48223 y Fu(p)19215 48422 y Ft(k)24 b Fs(\241)p Fr(1)21355 48223 y Fv(=)23470 46328 y Fn(Q)24946 47324 y Fu(p)25599 46744 y Ft(a)26099 46867 y Fl(1)25599 47650 y Fr(1)p 22869 47917 4348 54 v 22869 48232 a Fn(Q)24345 49228 y Fu(p)24998 48648 y Ft(a)25498 48771 y Fl(0)25958 48648 y Fs(\241)p Fr(1)24998 49554 y(0)28083 46328 y Fn(Q)29559 47324 y Fu(p)30212 46744 y Ft(a)30712 46867 y Fl(2)30212 47650 y Fr(2)p 27482 47917 V 27482 48232 a Fn(Q)28958 49228 y Fu(p)29611 48648 y Ft(a)30111 48771 y Fl(1)30571 48648 y Fs(\241)p Fr(1)29611 49554 y(1)32183 48223 y Fq(\242)221 b(\242)g(\242)34688 46246 y Fn(Q)36164 47243 y Fu(p)36817 46537 y Ft(a)37317 46693 y Fm(k)14 b Fj(\241)p Fl(1)36817 47613 y Ft(k)24 b Fs(\241)p Fr(1)p 34087 47917 5440 54 v 34087 48357 a Fn(Q)35563 49354 y Fu(p)36216 48648 y Ft(a)36716 48804 y Fm(k)14 b Fj(\241)p Fl(2)38269 48648 y Fs(\241)p Fr(1)36216 49724 y Ft(k)24 b Fs(\241)p Fr(2)40940 46328 y Fn(Q)42416 47324 y Fu(p)43069 46744 y Ft(a)43569 46867 y Fl(0)43069 47650 y Fr(0)p 39793 47917 V 39793 48357 a Fn(Q)41269 49354 y Fu(p)41922 48648 y Ft(a)42422 48804 y Fm(k)14 b Fj(\241)p Fl(1)43975 48648 y Fs(\241)p Fr(1)41922 49724 y Ft(k)24 b Fs(\241)p Fr(1)21355 51653 y Fv(=)22736 50391 y Fn(Y)24654 51653 y Fu(a)25337 51852 y Fr(0)26084 50391 y Fn(Y)28003 51653 y Fu(a)28686 51852 y Fr(1)29433 51653 y Fq(\242)221 b(\242)g(\242)31204 50391 y Fn(Y)33123 51653 y Fu(a)33806 51852 y Ft(k)24 b Fs(\241)p Fr(1)35577 51653 y Fu(:)800 54717 y Fv(The)434 b(con)-36 b(v)g(erse)433 b(is)h(also)h(clear.)1879 b Fi(\244)2751 56978 y Fv(It)508 b(do)36 b(es)509 b(not)e(seem)i(to)f(b) 36 b(e)508 b(easy)h(to)f(use)g(this)g(result)g(to)g(determine)f (cycles,)528 b(but)508 b(w)-36 b(e)508 b(can)g(at)h(least)800 58583 y(iden)-36 b(tify)434 b(those)f(n)-36 b(um)g(b)36 b(ers)432 b(whic)-36 b(h)434 b(ha)-36 b(v)g(e)434 b(a)f(deriv)-72 b(ativ)-36 b(e)435 b(equal)f(to)g(the)f(\257xed)g(p)36 b(oin)-36 b(t)433 b(1)h(of)h Fu(D)36 b Fv(:)p Black 800 61595 a Fw(Prop)42 b(osition)500 b(2)p Black 650 w Fk(The)465 b(inte)-66 b(ger)463 b Fu(n)369 b(>)g Fv(1)465 b Fk(has)p Black 2737 64283 a Fq(\262)p Black 651 w Fk(\257rst)f(derivative)f Fv(1)j Fk(if)d Fu(n)370 b Fv(=)e Fu(s)p Fk(,)p Black 2737 66987 a Fq(\262)p Black 651 w Fk(se)-66 b(c)g(ond)464 b(derivative)f Fv(1)i Fk(if)f Fu(n)369 b Fv(=)g Fu(p)19687 66505 y Fr(2)20212 66987 y Fu(s)465 b Fk(wher)-66 b(e)465 b Fu(p)368 b(>)h Fv(2)465 b Fk(and)g Fu(p)369 b Fp(-)g Fu(s)p Fk(,)p Black 2737 69691 a Fq(\262)p Black 651 w Fk(thir)-66 b(d)491 b(derivative)e Fv(1)k Fk(if)d Fu(n)419 b Fv(=)g Fu(p)18881 69209 y Fr(3)19406 69691 y Fu(s)492 b Fk(wher)-66 b(e)491 b Fu(p)418 b(>)h Fv(3)492 b Fk(and)f Fu(p)419 b Fp(-)g Fu(s)p Fk(,)497 b(or)492 b Fu(n)419 b Fv(=)f Fu(p)38752 69209 y Fr(3)39278 69691 y Fu(q)39903 69209 y Fr(2)40428 69691 y Fu(s)492 b Fk(wher)-66 b(e)491 b Fu(p)418 b(>)h Fv(3)p Fk(,)498 b Fu(q)466 b(>)418 b Fv(3)p Fk(,)4052 71296 y Fu(p)368 b Fq(6)p Fv(=)h Fu(q)512 b Fk(and)465 b Fv(\()p Fu(s;)221 b(pq)48 b Fv(\))368 b(=)h(1)p Fk(.)p Black 26475 74617 a Fv(3)p Black eop %%Page: 4 4 4 3 bop Black 0 TeXcolorgray Black Black 800 1424 a Fk(Ther)-66 b(e)464 b(ar)-66 b(e)464 b(no)h(other)g(situations)f(in)g(which)h Fu(n)h Fk(has)f(a)g(derivative)e(e)-66 b(qual)465 b(to)g Fv(1)p Fk(.)2751 4390 y Fv(The)546 b(pro)36 b(of)547 b(is)f(a)g(matter)g(of)g(recognising)h(those)f(situations)g(in)g(whic) -36 b(h)545 b(2)40152 3908 y Fr(2)41224 4390 y Fv(or)h(3)43576 3908 y Fr(3)44649 4390 y Fv(migh)-36 b(t)545 b(arise)i(as)800 5995 y(exact)531 b(factors)g(of)g(terms)e(in)h(the)g(deriv)-36 b(ed)530 b(sequence,)554 b(and)530 b(a)-36 b(v)g(oiding)531 b(them)e(since)h(these)g(factors)h(will)800 7600 y(p)36 b(ersist)433 b(in)h(subsequen)-36 b(t)432 b(di\256eren)-36 b(tiations.)2751 9205 y(It)330 b(is)h(also)g(a)g(matter)f(of)h(c)-36 b(hec)g(king)331 b(that)e(2-)i(and)f(3-cycles)h(are)f(obtained)g(in)g (the)g(follo)-36 b(wing)333 b(situations.)p Black 800 12170 a Fw(Prop)42 b(osition)500 b(3)p Black 650 w Fk(F)-100 b(or)466 b(any)e Fu(p)p Fk(,)p Black 2737 14824 a Fq(\262)p Black 651 w Fk(if)g Fu(p)5967 14342 y Fr(2)6787 14824 y Fv(+)295 b(1)466 b Fk(is)e(squar)-66 b(efr)g(e)g(e,)463 b(then)h Fq(D)37 b Fv(\()p Fu(p)22157 14342 y Ft(p)22631 14029 y Fl(2)23091 14342 y Fr(+1)24349 14824 y Fv(\))369 b(=)f Fq(f)p Fu(p)27921 14342 y Ft(p)28395 14029 y Fl(2)28856 14342 y Fr(+1)p 27268 15294 2846 54 v 30114 14824 a Fu(;)221 b Fv(\()p Fu(p)31855 14342 y Fr(2)32676 14824 y Fv(+)295 b(1\))p Fu(p)35792 14342 y Ft(p)36266 14029 y Fl(2)p 30696 15368 6086 54 v 36782 14824 a Fu(;)221 b(:)g(:)g(:)j Fq(g)p Fk(,)p Black 2737 17672 a Fq(\262)p Black 651 w Fk(if)464 b Fu(p)5967 17190 y Fr(3)6787 17672 y Fv(+)295 b(2)466 b Fk(and)e Fu(p)12386 17190 y Fr(3)13207 17672 y Fv(+)295 b(1)465 b Fk(ar)-66 b(e)465 b(squar)-66 b(efr)g(e)g(e,)462 b(then)14390 20537 y Fq(D)37 b Fv(\()p Fu(p)16611 19988 y Ft(p)17085 19676 y Fl(3)17545 19988 y Fr(+2)18802 20537 y Fv(\))369 b(=)g Fq(f)p Fu(p)22375 19988 y Ft(p)22849 19676 y Fl(3)23310 19988 y Fr(+2)p 21722 21008 2846 54 v 24567 20537 a Fu(;)221 b Fv(\()p Fu(p)26308 19988 y Fr(3)27129 20537 y Fv(+)295 b(2\))p Fu(p)30245 19988 y Ft(p)30719 19676 y Fl(3)31180 19988 y Fr(+1)p 25150 21081 7288 54 v 32438 20537 a Fu(;)221 b Fv(\()p Fu(p)34179 19988 y Fr(3)35000 20537 y Fv(+)295 b(1\))p Fu(p)38116 19988 y Ft(p)38590 19676 y Fl(3)p 33020 21081 6086 54 v 39106 20537 a Fu(;)221 b(:)g(:)g(:)j Fq(g)p Fu(:)2751 23945 y Fv(The)568 b(underlined)f(terms)g(are)i(cycles.)983 b(Notice)568 b(that)g(13,)603 b(37,)g(61,)f Fu(:)221 b(:)g(:)i Fv(,)602 b(are)569 b(primes)e Fu(p)h Fv(suc)-36 b(h)567 b(that)800 25550 y Fu(p)1453 25068 y Fr(3)2311 25550 y Fv(+)331 b(2)489 b(and)e Fu(p)8029 25068 y Fr(3)8887 25550 y Fv(+)331 b(1)488 b(are)g(squarefree.)742 b(Certainly)-108 b(,)502 b(2-)488 b(and)f(3-cycles)i(ma)-36 b(y)488 b(arise)g(in)g (other)f(w)-36 b(a)g(ys,)503 b(as)488 b(in)800 27155 y(the)433 b(examples)h(\(4\))g(and)f(\(5\).)2751 28760 y(W)-108 b(e)434 b(can)f(also)i(giv)-36 b(e)434 b(a)g(general)g (instance)g(that)f(leads)h(to)f(a)h(4-cycle:)p Black 800 31726 a Fw(Prop)42 b(osition)500 b(4)p Black 650 w Fk(L)-66 b(et)347 b Fu(s)h Fk(b)-66 b(e)347 b(such)h(that)g Fu(s)368 b Fq(\264)h Fv(2)591 b(\(mo)36 b(d)443 b(3\))p Fk(,)371 b Fv(4)p Fu(s)35 b Fq(\241)g Fv(1)348 b Fk(is)g(squar)-66 b(efr)g(e)g(e)346 b(and)h Fv(2)p Fu(s)35 b Fq(\241)g Fv(1)349 b Fk(is)e(squar)-66 b(efr)g(e)g(e.)800 33331 y(Then)464 b Fq(D)37 b Fv(\(3)6405 32849 y Fr(4)p Ft(s)7366 33331 y Fv(\))465 b Fk(r)-66 b(esults)465 b(in)f(a)h Fv(4)p Fk(-cycle.)800 36296 y(Pr)-66 b(o)g(of)p Fv(.)578 b(W)-108 b(rite)433 b(4)p Fu(s)295 b Fq(\241)h Fv(1)369 b(=)g Fu(s)14275 36495 y Fr(1)15234 36296 y Fv(and)433 b(2)p Fu(s)295 b Fq(\241)g Fv(1)370 b(=)e(3)p Fu(s)24312 36495 y Fr(2)25272 36296 y Fv(\(where)433 b(3)369 b Fp(-)g Fu(s)31905 36495 y Fr(2)32431 36296 y Fv(\).)578 b(If)434 b Fu(s)f Fv(is)h(o)36 b(dd,)434 b(then)7253 39161 y Fq(D)37 b Fv(\(3)9471 38613 y Fr(4)p Ft(s)10432 39161 y Fv(\))368 b(=)h Fq(f)p Fv(3)14001 38613 y Fr(4)p Ft(s)14962 39161 y Fu(;)221 b Fv(2)16194 38613 y Fr(2)16721 39161 y Fv(3)17371 38613 y Fr(4)p Ft(s)p Fs(\241)p Fr(1)19535 39161 y Fu(s;)g Fv(2)21380 38613 y Fr(2)21906 39161 y Fv(3)22556 38613 y Fr(4)p Ft(s)p Fs(\241)p Fr(2)24720 39161 y Fu(s)25333 39360 y Fr(1)p 20730 39573 5129 54 v 25858 39161 a Fu(;)g Fv(2)27090 38613 y Fr(3)27617 39161 y Fv(3)28267 38613 y Fr(4)p Ft(s)p Fs(\241)p Fr(2)30431 39161 y Fu(s)31044 39360 y Fr(2)p 26441 39573 V 31569 39161 a Fu(;)g Fv(2)32801 38613 y Fr(3)33328 39161 y Fv(3)33978 38613 y Fr(4)p Ft(s)p Fs(\241)p Fr(1)36142 39161 y Fu(s)36755 39360 y Fr(2)p 32152 39573 V 37280 39161 a Fu(;)g Fv(2)38512 38613 y Fr(2)39039 39161 y Fv(3)39689 38613 y Fr(4)p Ft(s)p Fs(\241)p Fr(1)41852 39161 y Fu(s)42465 39360 y Fr(1)p 37863 39573 V 42991 39161 a Fu(;)g(:)g(:)g(:)j Fq(g)p Fu(;)800 42026 y Fv(while)434 b(if)h Fu(s)e Fv(is)h(ev)-36 b(en,)434 b(then)6097 44890 y Fq(D)37 b Fv(\(3)8315 44342 y Fr(4)p Ft(s)9275 44890 y Fv(\))369 b(=)g Fq(f)p Fv(3)12845 44342 y Fr(4)p Ft(s)13806 44890 y Fu(;)221 b Fv(2)15038 44342 y Fr(3)15565 44890 y Fv(3)16215 44342 y Fr(4)p Ft(s)p Fs(\241)p Fr(1)18379 44890 y Fv(\()p Fu(s=)p Fv(2\))p Fu(;)g Fv(2)22536 44342 y Fr(2)23062 44890 y Fv(3)23712 44342 y Fr(4)p Ft(s)p Fs(\241)p Fr(1)25876 44890 y Fu(s)26489 45089 y Fr(1)p 21886 45302 V 27014 44890 a Fu(;)g Fv(2)28246 44342 y Fr(2)28773 44890 y Fv(3)29423 44342 y Fr(4)p Ft(s)p Fs(\241)p Fr(2)31587 44890 y Fu(s)32200 45089 y Fr(1)p 27597 45302 V 32725 44890 a Fu(;)g Fv(2)33957 44342 y Fr(3)34484 44890 y Fv(3)35134 44342 y Fr(4)p Ft(s)p Fs(\241)p Fr(2)37298 44890 y Fu(s)37911 45089 y Fr(2)p 33308 45302 V 38436 44890 a Fu(;)g Fv(2)39668 44342 y Fr(3)40195 44890 y Fv(3)40845 44342 y Fr(4)p Ft(s)p Fs(\241)p Fr(1)43009 44890 y Fu(s)43622 45089 y Fr(2)p 39019 45302 V 44147 44890 a Fu(;)g(:)g(:)g(:)j Fq(g)p Fu(:)800 47755 y Fv(The)372 b(underlined)e(terms)h(in)h(eac)-36 b(h)372 b(case)g(are)g(4-cycles)h(\(in)e(fact,)385 b(algebraically)-108 b(,)387 b(the)371 b(same)h(4-cycle\).)1859 b Fi(\244)2751 50005 y Fv(The)500 b(smallest)h(p)36 b(ermissible)500 b(v)-72 b(alue)501 b(of)f Fu(s)g Fv(in)g(this)g(prop)36 b(osition)500 b(is)g Fu(s)482 b Fv(=)g(2,)517 b(as)501 b(in)f(the)f(example)i(\(6\);)800 51610 y(thereafter,)434 b Fu(s)f Fv(ma)-36 b(y)434 b(tak)-36 b(e)434 b(the)f(v)-72 b(alues)434 b(11,)h(17,)f(26,)h(29,)f(35,)h(.)217 b(.)g(.)g(.)2751 53215 y(Other)511 b(examples)j(of)f(4-cycles)g(are)g(not)f(di\261cult)g (to)g(\257nd,)531 b(and)512 b(w)-36 b(e)513 b(need)f(not)g(alw)-36 b(a)g(ys)514 b(start)e(at)h(a)800 54820 y(prime)433 b(p)36 b(o)-36 b(w)g(er.)579 b(F)-108 b(or)433 b(example:)7675 57685 y Fq(D)37 b Fv(\(2)9893 57136 y Fr(10)10889 57685 y Fv(3)11539 57136 y Fr(10)12536 57685 y Fv(\))369 b(=)f Fq(f)p Fv(2)16105 57136 y Fr(10)17102 57685 y Fv(3)17752 57136 y Fr(10)18749 57685 y Fu(;)221 b Fv(2)19981 57136 y Fr(11)20978 57685 y Fv(3)21628 57136 y Fr(9)22154 57685 y Fv(5)22804 57136 y Fr(2)p 19332 57897 3999 54 v 23330 57685 a Fu(;)g Fv(2)24562 57136 y Fr(11)25560 57685 y Fv(3)26210 57136 y Fr(10)27206 57685 y Fv(5)296 b Fq(\242)f Fv(11)p 23912 57897 6204 54 v 1 w Fu(;)221 b Fv(2)31349 57136 y Fr(11)32346 57685 y Fv(3)32996 57136 y Fr(9)33522 57685 y Fv(5)296 b Fq(\242)f Fv(11)p 30699 57897 5734 54 v 1 w Fu(;)221 b Fv(2)37665 57136 y Fr(10)38662 57685 y Fv(3)39312 57136 y Fr(10)40604 57685 y Fq(\242)295 b Fv(11)p 37015 57897 5554 54 v Fu(;)221 b(:)g(:)g(:)j Fq(g)p Fu(:)2751 60549 y Fv(It)444 b(w)-36 b(as)445 b(initially)h(more) f(di\261cult)f(to)g(\257nd)f(examples)i(of)g(deriv)-36 b(ed)444 b Fu(k)45 b Fv(-cycles)445 b(for)g Fu(k)433 b(>)387 b Fv(4,)447 b(but,)g(ha)-36 b(ving)800 62154 y(found)392 b(a)g(few,)402 b(patterns)391 b(w)-36 b(ere)392 b(detected)f(suggesting)i(in\257nite)e(families)j(of)e(these.)565 b(Some)392 b(are)g(describ)36 b(ed)800 63760 y(in)433 b(the)h(follo)-36 b(wing)435 b(prop)36 b(ositions.)579 b(\(W)-108 b(e)433 b(ha)-36 b(v)g(e)434 b(other,)f(more)h(general,)g (examples.\))p Black 800 66725 a Fw(Prop)42 b(osition)500 b(5)p Black 650 w Fk(L)-66 b(et)424 b Fu(s)g Fk(b)-66 b(e)424 b(such)h(that)g Fv(\()p Fu(s;)221 b Fv(2)206 b Fq(\242)g Fv(3)g Fq(\242)g Fv(5)g Fq(\242)g Fv(47\))368 b(=)h(1)p Fk(,)432 b(and)425 b(supp)-66 b(ose)425 b Fv(\()p Fu(s)39938 66924 y Fr(1)40464 66725 y Fu(;)221 b Fv(5)206 b Fq(\242)g Fv(23)g Fq(\242)g Fv(47\))369 b(=)g(1)p Fk(,)432 b(wher)-66 b(e)800 68330 y Fu(s)1413 68529 y Fr(1)2308 68330 y Fv(=)368 b(\(3)p Fu(s)295 b Fq(\241)g Fv(1\))p Fu(=)p Fv(2)p Fk(.)599 b(Put)465 b Fu(n)369 b Fv(=)g(2)16185 67848 y Fr(3)p Ft(s)17146 68330 y Fv(3)17796 67848 y Fr(45)18793 68330 y Fv(5)19443 67848 y Fr(5)19969 68330 y Fv(23)p Fu(s)21882 68529 y Fr(1)22408 68330 y Fk(.)597 b(Then)465 b Fu(n)p Fk(,)f Fu(D)36 b Fv(\()p Fu(n)p Fv(\))p Fk(,)465 b Fu(:)221 b(:)g(:)i Fk(,)464 b Fu(D)35926 67848 y Fr(4)36452 68330 y Fv(\()p Fu(n)p Fv(\))h Fk(is)g(a)g Fv(5)p Fk(-cycle.)2751 71296 y Fv(In)433 b(this,)h Fu(s)f Fv(ma)-36 b(y)434 b(tak)-36 b(e)434 b(the)f(v)-72 b(alues)435 b(1,)f(13,)g(23,)h(29,)f(41,)h(53,)f(61,)h Fu(:)221 b(:)g(:)i Fv(.)p Black 26475 74617 a(4)p Black eop %%Page: 5 5 5 4 bop Black 0 TeXcolorgray Black Black Black 800 1424 a Fw(Prop)42 b(osition)500 b(6)p Black 650 w Fv(\(a\))410 b Fk(L)-66 b(et)409 b Fu(s)g Fk(b)-66 b(e)409 b(such)h(that)g Fv(\()p Fu(s;)221 b Fv(2)172 b Fq(\242)g Fv(3)g Fq(\242)g Fv(5)g Fq(\242)g Fv(7)g Fq(\242)g Fv(53\))374 b(=)368 b(1)p Fk(,)421 b(and)410 b(supp)-66 b(ose)410 b Fv(\()p Fu(s)43058 1623 y Fr(1)43583 1424 y Fu(;)221 b Fv(5)172 b Fq(\242)g Fv(53)g Fq(\242)g Fv(107\))374 b(=)368 b(1)p Fk(,)800 3029 y(wher)-66 b(e)465 b Fu(s)5083 3228 y Fr(1)5977 3029 y Fv(=)369 b(6)p Fu(s)295 b Fv(+)g(1)p Fk(.)597 b(Put)466 b Fu(n)369 b Fv(=)g(2)17521 2547 y Fr(6)p Ft(s)18482 3029 y Fv(3)19132 2547 y Fr(105)20599 3029 y Fv(5)21249 2547 y Fr(6)21775 3029 y Fv(7)p Fu(s)23038 3228 y Fr(1)23564 3029 y Fk(.)597 b(Then)465 b Fu(n)p Fk(,)f Fu(D)36 b Fv(\()p Fu(n)p Fv(\))p Fk(,)465 b Fu(:)221 b(:)g(:)i Fk(,)464 b Fu(D)37082 2547 y Fr(5)37608 3029 y Fv(\()p Fu(n)p Fv(\))h Fk(is)g(a)g Fv(6)p Fk(-cycle.)2751 4634 y Fv(\(b\))437 b Fk(L)-66 b(et)437 b Fu(s)h Fk(b)-66 b(e)437 b(such)i(that)f Fv(\()p Fu(s;)221 b Fv(2)236 b Fq(\242)g Fv(3)g Fq(\242)f Fv(5)h Fq(\242)g Fv(13)g Fq(\242)g Fv(43\))369 b(=)g(1)p Fk(,)443 b(and)438 b(supp)-66 b(ose)439 b Fv(\()p Fu(s)37016 4833 y Fr(1)37542 4634 y Fu(;)221 b Fv(7)236 b Fq(\242)g Fv(13)g Fq(\242)g Fv(43)g Fq(\242)g Fv(131\))369 b(=)g(1)p Fk(,)443 b(wher)-66 b(e)800 6239 y Fu(s)1413 6438 y Fr(1)2308 6239 y Fv(=)368 b(30)p Fu(s)296 b Fv(+)e(1)p Fk(.)598 b(Put)465 b Fu(n)370 b Fv(=)e(2)14501 5757 y Fr(30)p Ft(s)15933 6239 y Fv(3)16583 5757 y Fr(129)18050 6239 y Fv(5)18700 5757 y Fr(6)19226 6239 y Fv(7)296 b Fq(\242)f Fv(43)p Fu(s)22749 6438 y Fr(1)23275 6239 y Fk(.)597 b(Then)465 b Fu(n)p Fk(,)g Fu(D)36 b Fv(\()p Fu(n)p Fv(\))p Fk(,)464 b Fu(:)221 b(:)g(:)i Fk(,)465 b Fu(D)36794 5757 y Fr(5)37319 6239 y Fv(\()p Fu(n)p Fv(\))g Fk(is)g(a)g Fv(6)p Fk(-cycle.)800 9091 y(Pr)-66 b(o)g(of)p Fv(.)552 b(As)357 b(usual,)372 b(the)356 b(pro)36 b(ofs)358 b(are)f(a)g(matter)f(of)i(straigh)-36 b(tforw)g(ard)357 b(v)-36 b(eri\257cation.)553 b(W)-108 b(e)357 b(will)h(demonstrate)800 10696 y(this)433 b(in)h(the)f(case)h (of)g(Prop)36 b(osition)434 b(6\(a\).)579 b(W)-108 b(e)434 b(ha)-36 b(v)g(e)13704 13461 y Fu(n)370 b Fv(=)e(2)16880 12912 y Fr(6)p Ft(s)17842 13461 y Fv(3)18492 12912 y Fr(105)19959 13461 y Fv(5)20609 12912 y Fr(6)21135 13461 y Fv(7)p Fu(s)22398 13660 y Fr(1)22924 13461 y Fu(;)11577 15398 y(D)36 b Fv(\()p Fu(n)p Fv(\))369 b(=)f(2)16880 14849 y Fr(6)p Ft(s)p Fr(+1)19044 15398 y Fv(3)19694 14849 y Fr(107)21161 15398 y Fv(5)21811 14849 y Fr(6)22337 15398 y Fv(7)p Fu(s;)3128 b Fv(since)433 b(\()p Fu(s)31394 15597 y Fr(1)31919 15398 y Fu(;)221 b Fv(2)297 b Fq(\242)e Fv(3)g Fq(\242)h Fv(5)f Fq(\242)g Fv(7\))369 b(=)g(1)p Fu(;)11051 17335 y(D)12167 16787 y Fr(2)12693 17335 y Fv(\()p Fu(n)p Fv(\))g(=)f(2)16880 16787 y Fr(6)p Ft(s)p Fr(+1)19044 17335 y Fv(3)19694 16787 y Fr(107)21161 17335 y Fv(5)21811 16787 y Fr(5)22337 17335 y Fv(107)p Fu(s)24900 17534 y Fr(1)25427 17335 y Fu(;)1301 b Fv(since)433 b(\()p Fu(s;)221 b Fv(2)296 b Fq(\242)f Fv(3)h Fq(\242)f Fv(5)g Fq(\242)g Fv(7\))370 b(=)e(1)p Fu(;)11051 19272 y(D)12167 18724 y Fr(3)12693 19272 y Fv(\()p Fu(n)p Fv(\))h(=)f(2)16880 18724 y Fr(6)p Ft(s)17842 19272 y Fv(3)18492 18724 y Fr(106)19959 19272 y Fv(5)20609 18724 y Fr(5)21135 19272 y Fv(107)p Fu(s)23698 19471 y Fr(1)24224 19272 y Fu(;)2504 b Fv(since)433 b(\()p Fu(s)31394 19471 y Fr(1)31919 19272 y Fu(;)221 b Fv(2)297 b Fq(\242)e Fv(3)g Fq(\242)h Fv(5)f Fq(\242)g Fv(107\))370 b(=)f(1)p Fu(;)11051 21209 y(D)12167 20661 y Fr(4)12693 21209 y Fv(\()p Fu(n)p Fv(\))g(=)f(2)16880 20661 y Fr(6)p Ft(s)p Fr(+1)19044 21209 y Fv(3)19694 20661 y Fr(106)21161 21209 y Fv(5)21811 20661 y Fr(5)22337 21209 y Fv(53)p Fu(s;)2478 b Fv(since)433 b(\()p Fu(s)31394 21408 y Fr(1)31919 21209 y Fu(;)221 b Fv(2)297 b Fq(\242)e Fv(3)g Fq(\242)h Fv(5)f Fq(\242)g Fv(107\))370 b(=)f(1)p Fu(;)11051 23147 y(D)12167 22598 y Fr(5)12693 23147 y Fv(\()p Fu(n)p Fv(\))g(=)f(2)16880 22598 y Fr(6)p Ft(s)p Fr(+1)19044 23147 y Fv(3)19694 22598 y Fr(105)21161 23147 y Fv(5)21811 22598 y Fr(5)22337 23147 y Fv(53)p Fu(s)24250 23346 y Fr(1)24776 23147 y Fu(;)1952 b Fv(since)433 b(\()p Fu(s;)221 b Fv(2)296 b Fq(\242)f Fv(3)h Fq(\242)f Fv(5)g Fq(\242)g Fv(53\))370 b(=)e(1)p Fu(;)11051 25084 y(D)12167 24535 y Fr(6)12693 25084 y Fv(\()p Fu(n)p Fv(\))h(=)f(2)16880 24535 y Fr(6)p Ft(s)17842 25084 y Fv(3)18492 24535 y Fr(105)19959 25084 y Fv(5)20609 24535 y Fr(6)21135 25084 y Fv(7)p Fu(s)22398 25283 y Fr(1)22924 25084 y Fu(;)3804 b Fv(since)433 b(\()p Fu(s)31394 25283 y Fr(1)31919 25084 y Fu(;)221 b Fv(2)297 b Fq(\242)e Fv(3)g Fq(\242)h Fv(5)f Fq(\242)g Fv(53\))370 b(=)e(1)p Fu(:)800 27849 y Fv(But)433 b Fu(D)4499 27367 y Fr(6)5025 27849 y Fv(\()p Fu(n)p Fv(\))369 b(=)g Fu(n)p Fv(.)578 b(W)-108 b(e)434 b(ha)-36 b(v)g(e)434 b(also)g(used)f(the)g(fact)h(that)f Fu(s)h Fv(and)f Fu(s)32907 28048 y Fr(1)33866 27849 y Fv(are)h(squarefree.) 1879 b Fi(\244)2751 30070 y Fv(In)397 b(Prop)36 b(osition)398 b(6\(a\),)405 b(w)-36 b(e)397 b(ma)-36 b(y)398 b(ha)-36 b(v)g(e)397 b Fu(s)368 b Fv(=)h(11,)405 b(13,)h(17,)f(23,)g(31,)h(37,)f (41,)g Fu(:)221 b(:)g(:)i Fv(.)567 b(In)397 b(Prop)36 b(osition)397 b(6\(b\),)800 31675 y Fu(s)433 b Fv(ma)-36 b(y)434 b(tak)-36 b(e)434 b(the)g(v)-72 b(alues)434 b(1,)g(7,)g(11,)g (19,)h(23,)g(37,)f(41,)h(.)217 b(.)g(.)g(.)p Black 800 34526 a Fw(Prop)42 b(osition)500 b(7)p Black 650 w Fk(L)-66 b(et)448 b Fu(s)h Fk(b)-66 b(e)449 b(such)g(that)g Fu(s)369 b Fq(\264)g Fv(7)450 b(\(mo)36 b(d)416 b(10\))450 b Fk(and)f Fv(\()p Fu(s;)221 b Fv(3)261 b Fq(\242)f Fv(23)h Fq(\242)f Fv(31)h Fq(\242)f Fv(47)h Fq(\242)f Fv(103)h Fq(\242)f Fv(311\))370 b(=)f(1)p Fk(,)452 b(and)800 36131 y(supp)-66 b(ose)518 b Fv(\()p Fu(s)6720 36330 y Fr(1)7245 36131 y Fu(;)221 b Fv(3)334 b Fq(\242)g Fv(5)g Fq(\242)f Fv(31)h Fq(\242)g Fv(47)g Fq(\242)f Fv(103)i Fq(\242)e Fv(311\))466 b(=)e(1)p Fk(,)529 b(wher)-66 b(e)517 b Fu(s)29171 36330 y Fr(1)30161 36131 y Fv(=)464 b(\(2)p Fu(s)333 b Fv(+)h(1\))p Fu(=)p Fv(5)p Fk(.)753 b(Put)517 b Fu(n)465 b Fv(=)f(2)44587 35649 y Fr(2)p Ft(s)45548 36131 y Fv(3)46198 35649 y Fr(311)47665 36131 y Fv(5)48315 35649 y Fr(46)49312 36131 y Fv(103)p Fu(s)51875 36330 y Fr(1)52402 36131 y Fk(.)800 37736 y(Then)g Fu(n)p Fk(,)h Fu(D)36 b Fv(\()p Fu(n)p Fv(\))p Fk(,)465 b Fu(:)221 b(:)g(:)i Fk(,)464 b Fu(D)13322 37254 y Fr(7)13848 37736 y Fv(\()p Fu(n)p Fv(\))h Fk(is)g(an)g Fv(8)p Fk(-cycle.)2751 40588 y Fv(In)500 b(this,)516 b Fu(s)500 b Fv(ma)-36 b(y)500 b(tak)-36 b(e)501 b(the)e(v)-72 b(alues)501 b(17,)517 b(107,)h(167,)g(197,)f(227,)h Fu(:)221 b(:)g(:)i Fv(.)778 b(Prop)36 b(osition)500 b(7)g(w)-36 b(as)501 b(found)e(b)-36 b(y)800 42193 y(observing)398 b(that)g Fq(D)37 b Fv(\(5)11589 41711 y Fr(13)12585 42193 y Fv(29)13885 41711 y Fr(54)14882 42193 y Fv(\))398 b(arriv)-36 b(es)398 b(in)g(428)h(iterations)f(of)h Fu(D)434 b Fv(at)398 b(the)f(8-cycle)i(b)36 b(eginning)397 b(with)h(29)50665 41711 y Fr(29)51662 42193 y Fu(n)p Fv(,)800 43798 y(with)434 b Fu(s)368 b Fv(=)h(557.)579 b(Tw)-36 b(o)435 b(other)e(examples)h(of)h (8-cycles)f(turned)e(up)h(in)g(our)h(searc)-36 b(hes:)12161 46563 y(2)12811 46014 y Fr(159)14278 46563 y Fv(3)14928 46014 y Fr(16725)17336 46563 y Fv(5)17986 46014 y Fr(5)18513 46563 y Fv(79)295 b Fq(\242)h Fv(8363)p Fu(;)4521 b Fv(2)28905 46014 y Fr(158)30372 46563 y Fv(3)31022 46014 y Fr(16726)33430 46563 y Fv(5)34080 46014 y Fr(7)34606 46563 y Fv(53)296 b Fq(\242)f Fv(223)p Fu(;)12161 48500 y Fv(2)12811 47952 y Fr(159)14278 48500 y Fv(3)14928 47952 y Fr(16725)17336 48500 y Fv(5)17986 47952 y Fr(6)18513 48500 y Fv(7)g Fq(\242)g Fv(79)h Fq(\242)f Fv(8363)p Fu(;)2912 b Fv(2)28905 47952 y Fr(159)30372 48500 y Fv(3)31022 47952 y Fr(16727)33430 48500 y Fv(5)34080 47952 y Fr(7)34606 48500 y Fv(53)296 b Fq(\242)f Fv(223)p Fu(;)12161 50437 y Fv(2)12811 49889 y Fr(158)14278 50437 y Fv(3)14928 49889 y Fr(16727)17336 50437 y Fv(5)17986 49889 y Fr(6)18513 50437 y Fv(7)g Fq(\242)g Fv(43)h Fq(\242)f Fv(53)h Fq(\242)f Fv(389)p Fu(;)1302 b Fv(2)28905 49889 y Fr(159)30372 50437 y Fv(3)31022 49889 y Fr(16727)33430 50437 y Fv(5)34080 49889 y Fr(5)34606 50437 y Fv(43)296 b Fq(\242)f Fv(79)h Fq(\242)f Fv(389)p Fu(;)12161 52374 y Fv(2)12811 51826 y Fr(158)14278 52374 y Fv(3)14928 51826 y Fr(16727)17336 52374 y Fv(5)17986 51826 y Fr(5)18513 52374 y Fv(43)g Fq(\242)h Fv(53)f Fq(\242)h Fv(389)p Fu(;)2911 b Fv(2)28905 51826 y Fr(158)30372 52374 y Fv(3)31022 51826 y Fr(16726)33430 52374 y Fv(5)34080 51826 y Fr(5)34606 52374 y Fv(43)296 b Fq(\242)f Fv(79)h Fq(\242)f Fv(389)p Fu(;)800 55139 y Fv(and)11511 57904 y(2)12161 57356 y Fr(87)13158 57904 y Fv(3)13808 57356 y Fr(149325)16686 57904 y Fv(5)17336 57356 y Fr(5)17862 57904 y Fv(43)h Fq(\242)f Fv(197)h Fq(\242)g Fv(379)p Fu(;)2911 b Fv(2)28905 57356 y Fr(86)29902 57904 y Fv(3)30552 57356 y Fr(149326)33430 57904 y Fv(5)34080 57356 y Fr(7)34606 57904 y Fv(11)296 b Fq(\242)f Fv(29)h Fq(\242)f Fv(181)p Fu(;)11511 59841 y Fv(2)12161 59293 y Fr(87)13158 59841 y Fv(3)13808 59293 y Fr(149325)16686 59841 y Fv(5)17336 59293 y Fr(6)17862 59841 y Fv(7)h Fq(\242)f Fv(43)h Fq(\242)f Fv(197)h Fq(\242)f Fv(379)p Fu(;)1302 b Fv(2)28905 59293 y Fr(87)29902 59841 y Fv(3)30552 59293 y Fr(149327)33430 59841 y Fv(5)34080 59293 y Fr(7)34606 59841 y Fv(11)296 b Fq(\242)f Fv(29)h Fq(\242)f Fv(181)p Fu(;)11511 61778 y Fv(2)12161 61230 y Fr(86)13158 61778 y Fv(3)13808 61230 y Fr(149327)16686 61778 y Fv(5)17336 61230 y Fr(6)17862 61778 y Fv(7)h Fq(\242)f Fv(29)h Fq(\242)f Fv(31)h Fq(\242)f Fv(4817)p Fu(;)1302 b Fv(2)28905 61230 y Fr(87)29902 61778 y Fv(3)30552 61230 y Fr(149327)33430 61778 y Fv(5)34080 61230 y Fr(5)34606 61778 y Fv(31)296 b Fq(\242)f Fv(43)h Fq(\242)f Fv(4817)p Fu(;)11511 63716 y Fv(2)12161 63167 y Fr(86)13158 63716 y Fv(3)13808 63167 y Fr(149327)16686 63716 y Fv(5)17336 63167 y Fr(5)17862 63716 y Fv(29)h Fq(\242)f Fv(31)h Fq(\242)f Fv(4817)p Fu(;)2912 b Fv(2)28905 63167 y Fr(86)29902 63716 y Fv(3)30552 63167 y Fr(149326)33430 63716 y Fv(5)34080 63167 y Fr(5)34606 63716 y Fv(31)296 b Fq(\242)f Fv(43)h Fq(\242)f Fv(4817)p Fu(:)800 66480 y Fv(These)448 b(o)36 b(ccur)449 b(in)f Fq(D)37 b Fv(\(3)11849 65998 y Fr(16695)14256 66480 y Fv(\))448 b(and)g Fq(D)37 b Fv(\(3)19972 65998 y Fr(149319)22850 66480 y Fv(\),)452 b(resp)36 b(ectiv)-36 b(ely)-108 b(.)623 b(It)448 b(is)h(not)f (di\261cult)g(to)g(determine)g(a)g(t)-36 b(w)g(o-)800 68086 y(parameter)620 b(family)-108 b(,)668 b(con)-36 b(taining)620 b(general)h(exp)36 b(onen)-36 b(ts)619 b(on)h(2)g(and)g(3,)667 b(that)620 b(includes)f(b)36 b(oth)620 b(of)g(these)800 69691 y(8-cycles.)2751 71296 y(W)-108 b(e)434 b(ha)-36 b(v)g(e)433 b(no)h(examples)g(of)g(deriv)-36 b(ed)434 b Fu(k)45 b Fv(-cycles)434 b(with)g Fu(k)414 b Fv(=)368 b(7)434 b(or)g Fu(k)414 b(>)368 b Fv(8.)p Black 26475 74617 a(5)p Black eop %%Page: 6 6 6 5 bop Black 0 TeXcolorgray Black Black 800 1424 a Fo(3)2152 b(Bounded)715 b(deriv)-60 b(ed)716 b(sequences)800 4345 y Fv(W)-108 b(e)413 b(ha)-36 b(v)g(e)413 b(t)-36 b(w)g(o)413 b(results)f(on)h(the)f(n)-36 b(um)g(b)36 b(er)412 b(of)h(b)36 b(ounded)412 b(deriv)-36 b(ed)412 b(sequences,)417 b(the)c(\257rst)f (resulting)g(largely)800 5950 y(from)434 b(a)g(direct)f(searc)-36 b(h,)434 b(the)f(second)g(of)h(a)g(m)-36 b(uc)g(h)433 b(more)g(theoretical)h(nature.)p Black 800 8994 a Fw(Prop)42 b(osition)500 b(8)p Black 650 w Fk(F)-100 b(or)466 b(al)66 b(l)466 b Fu(n)369 b(<)g Fv(1)p Fu(:)p Fv(5)296 b Fq(\242)f Fv(10)21004 8512 y Fr(10)22001 8994 y Fk(,)464 b(the)h(derive)-66 b(d)463 b(se)-66 b(quenc)g(e)464 b Fq(D)37 b Fv(\()p Fu(n)p Fv(\))464 b Fk(is)h(b)-66 b(ounde)g(d.)800 12038 y(Pr)g(o)g(of)p Fv(.)640 b(The)454 b(pro)36 b(of)455 b(in)-36 b(v)g(olv)g(ed)455 b(a)g(direct)e(incremen)-36 b(tal)454 b(in)-36 b(v)g(estigation)456 b(of)f(all)g(n)-36 b(um)g(b)36 b(ers)453 b Fu(n)404 b Fv(=)46771 11042 y Fn(Q)48026 11392 y Ft(w)48026 12425 y(i)p Fr(=1)49825 12038 y Fu(p)50478 11445 y Ft(a)50978 11580 y Fm(i)50478 12378 y Ft(i)51788 12038 y Fu(<)800 13643 y Fv(1)p Fu(:)p Fv(5)231 b Fq(\242)g Fv(10)4592 13161 y Fr(10)5990 13643 y Fv(for)403 b(whic)-36 b(h)11635 12647 y Fn(P)13037 12997 y Ft(w)13037 14031 y(i)p Fr(=1)14615 13643 y Fv(\()p Fu(a)15804 13842 y Ft(i)16410 13643 y Fq(\241)230 b Fv(1\))369 b Fq(\270)g Fv(8.)569 b(\(An)401 b(initial)h(factorisation)i(of)e(eac) -36 b(h)402 b Fu(n)g Fv(determined)f(whether)800 15248 y(this)412 b(condition)h(w)-36 b(as)413 b(satis\257ed.\))571 b(In)413 b(all)g(cases,)418 b Fq(D)37 b Fv(\()p Fu(n)p Fv(\))412 b(resulted)g(in)g(a)h(cycle.)573 b(W)-108 b(e)412 b(sho)-36 b(w)g(ed)413 b(also)g(that)g(the)800 16853 y(same)464 b(is)g(true)f(of)i(all)g Fu(n)f Fv(with)15785 15857 y Fn(P)17187 16208 y Ft(w)17187 17241 y(i)p Fr(=1)18765 16853 y Fv(\()p Fu(a)19954 17052 y Ft(i)20645 16853 y Fq(\241)316 b Fv(1\))420 b Fq(\267)h Fv(7.)669 b(F)-108 b(or)463 b(example,)473 b(supp)36 b(ose)463 b Fu(n)421 b Fv(=)f Fu(p)42762 16371 y Fr(3)43287 16853 y Fu(q)43912 16371 y Fr(2)44438 16853 y Fu(s)p Fv(,)471 b(where)463 b Fu(p)421 b Fq(6)p Fv(=)f Fu(q)800 18458 y Fv(and)471 b(\()p Fu(s;)221 b(pq)48 b Fv(\))432 b(=)h(1.)692 b(If)473 b Fu(p)e Fv(and)g Fu(q)518 b Fv(are)472 b(b)36 b(oth)471 b(greater)g(than)g(3,)481 b(then)471 b Fu(D)36 b Fv(\()p Fu(n)p Fv(\))433 b(=)g(2)322 b Fq(\242)e Fv(3)p Fu(p)41629 17976 y Fr(2)42155 18458 y Fu(q)48 b Fv(,)481 b Fu(D)44738 17976 y Fr(2)45264 18458 y Fv(\()p Fu(n)p Fv(\))433 b(=)g(2)p Fu(p)472 b Fv(and)800 20063 y Fu(D)1916 19581 y Fr(3)2442 20063 y Fv(\()p Fu(n)p Fv(\))555 b(=)g(1)543 b(\(or)g(use)f(Prop)36 b(osition)543 b(2\);)598 b(then)542 b(the)h(n)-36 b(um)g(b)36 b(ers)541 b Fu(p)32758 19581 y Fr(3)33283 20063 y Fv(2)33933 19581 y Fr(2)34460 20063 y Fu(s)h Fv(\()p Fu(p)555 b(>)f Fv(3\),)571 b Fu(p)41636 19581 y Fr(3)42162 20063 y Fv(3)42812 19581 y Fr(2)43338 20063 y Fu(s)542 b Fv(\()p Fu(p)555 b(>)f Fv(3\),)571 b(2)50511 19581 y Fr(3)51037 20063 y Fu(q)51662 19581 y Fr(2)52187 20063 y Fu(s)800 21669 y Fv(\()p Fu(q)416 b(>)369 b Fv(3\),)434 b(3)6281 21187 y Fr(3)6807 21669 y Fu(q)7432 21187 y Fr(2)7957 21669 y Fu(s)f Fv(\()p Fu(q)416 b(>)369 b Fv(3\),)434 b(2)14484 21187 y Fr(3)15010 21669 y Fv(3)15660 21187 y Fr(2)16186 21669 y Fu(s)g Fv(and)f(3)20412 21187 y Fr(3)20938 21669 y Fv(2)21588 21187 y Fr(2)22114 21669 y Fu(s)g Fv(m)-36 b(ust)433 b(b)36 b(e)433 b(separately)i(and)e(similarly)i(considered.) 1879 b Fi(\244)2751 23938 y Fv(It)581 b(w)-36 b(ould)580 b(seem)h(probable)f(that)g Fq(D)37 b Fv(\()p Fu(n)p Fv(\))580 b(is)h(un)-36 b(b)36 b(ounded)578 b(for)j(some)g Fu(n)p Fv(,)618 b(and)580 b(in)h(that)f(case)h(for)g(all)800 25543 y(n)-36 b(um)g(b)36 b(ers)502 b Fu(ns)p Fv(,)522 b(where)503 b(\()p Fu(n;)221 b(s)p Fv(\))489 b(=)f(1,)522 b(as)504 b(w)-36 b(ell.)789 b(Then)504 b(the)f(set)g(of)i(suc)-36 b(h)502 b(n)-36 b(um)g(b)36 b(ers)503 b(w)-36 b(ould)503 b(ha)-36 b(v)g(e)504 b(p)36 b(ositiv)-36 b(e)800 27148 y(densit)g(y)495 b(in)h Fp(N)p Fv(.)765 b(W)-108 b(e)495 b(sho)-36 b(w)496 b(no)-36 b(w)496 b(that)f(this)g(densit)-36 b(y)496 b(is)f(less)i(than)d(0.004.)767 b(W)-108 b(e)495 b(ha)-36 b(v)g(e)496 b(computed)e(lo)-36 b(w)g(er)800 28753 y(b)36 b(ounds)496 b(for)h(the)f(densities)h(of)h(45)f(classes)h (of)g(in)-36 b(tegers,)512 b(including)497 b(the)f(kno)-36 b(wn)497 b(result)g(for)g(the)g(set)f(of)800 30358 y(squarefree)433 b(n)-36 b(um)g(b)36 b(ers,)432 b(and)g(ha)-36 b(v)g(e)433 b(sho)-36 b(wn)432 b(that)g(in)-36 b(tegers)433 b(in)f(these)h(45)g (classes)g(ha)-36 b(v)g(e)433 b(b)36 b(ounded)431 b(deriv)-36 b(ed)800 31963 y(sequences.)855 b(In)526 b(eac)-36 b(h)525 b(case,)550 b(the)525 b(densit)-36 b(y)526 b(w)-36 b(as)526 b(computed)f(to)h(within)f(10)38166 31481 y Fs(\241)p Fr(6)39950 31963 y Fv(and)h(then)e(truncated)h(to)800 33568 y(\257v)-36 b(e)543 b(decimal)g(digits.)905 b(Those)543 b(densities)f(\(33)h(of)h(the)e(45\))h(whic)-36 b(h)542 b(ga)-36 b(v)g(e)543 b(a)g(p)36 b(ositiv)-36 b(e)544 b(lo)-36 b(w)g(er)543 b(b)36 b(ound)541 b(\(to)800 35173 y(that)631 b(n)-36 b(um)g(b)36 b(er)630 b(of)i(digits\))g(are)g(giv)-36 b(en)632 b(in)f(T)-108 b(able)632 b(1.)1172 b(W)-108 b(e)632 b(refer,)681 b(for)632 b(example,)682 b(to)632 b(the)f(t)-36 b(yp)36 b(e)631 b Fu(p)50247 34691 y Fr(3)50773 35173 y Fu(q)51398 34691 y Fr(2)51923 35173 y Fu(S)800 36779 y Fv(as)624 b(the)f(set)h(of)g(in)-36 b(tegers)624 b(of)h(the)e(form)h Fu(p)21928 36297 y Fr(3)22454 36779 y Fu(q)23079 36297 y Fr(2)23604 36779 y Fu(s)p Fv(,)671 b(where)624 b Fu(p)692 b Fq(6)p Fv(=)g Fu(q)671 b Fv(and)624 b(\()p Fu(s;)221 b(pq)48 b Fv(\))691 b(=)i(1.)1149 b(Ho)-36 b(w)624 b(the)f(giv)-36 b(en)800 38384 y(densities)432 b(w)-36 b(ere)431 b(obtained)h(will)h(b)36 b(e)431 b(illustrated)h (shortly)g(b)-36 b(y)431 b(the)g(determination)h(of)g(suc)-36 b(h)431 b(for)h(the)f(t)-36 b(yp)36 b(e)800 39989 y Fu(p)1453 39507 y Fr(3)1979 39989 y Fu(q)2604 39507 y Fr(2)3129 39989 y Fu(S)77 b Fv(.)962 b(The)561 b(45)h(classes)g(of)g(in)-36 b(tegers)561 b(w)-36 b(ere)562 b(all)g(p)36 b(ossible)562 b(t)-36 b(yp)36 b(es)561 b(of)h(the)f(form)h Fu(p)42286 39507 y Ft(a)42841 39989 y Fu(q)43466 39507 y Ft(b)44144 39989 y Fq(\242)221 b(\242)g(\242)h Fu(S)639 b Fv(suc)-36 b(h)560 b(that)800 41594 y(\()p Fu(a)183 b Fq(\241)g Fv(1\))g(+)g(\()p Fu(b)g Fq(\241)g Fv(1\))g(+)g Fq(\242)221 b(\242)g(\242)371 b(\267)e Fv(7)379 b(\(precisely)g(as)g(considered)f (in)h(the)f(pro)36 b(of)380 b(of)f(Prop)36 b(osition)379 b(8\),)390 b(and)379 b(T)-108 b(able)379 b(1)800 43199 y(sho)-36 b(ws)434 b(that)f(their)g(cum)-36 b(ulativ)g(e)434 b(densit)-36 b(y)433 b(is)h(at)g(least)g(0.996.)2751 44804 y(W)-108 b(e)421 b(sho)-36 b(w)421 b(no)-36 b(w)422 b(ho)-36 b(w)421 b(w)-36 b(e)421 b(obtain)g(that)g(the)f(densit)-36 b(y)421 b(of)h(the)f(class)g Fu(p)36413 44322 y Fr(3)36939 44804 y Fu(q)37564 44322 y Fr(2)38089 44804 y Fu(S)499 b Fv(is)421 b(0)p Fu(:)p Fv(01447,)426 b(truncated)420 b(to)800 46409 y(\257v)-36 b(e)434 b(decimal)g(digits.)2751 48014 y(Let)479 b Fu(x)446 b(>)g Fv(0)479 b(b)36 b(e)479 b(giv)-36 b(en.)716 b(In)479 b(general,)491 b(the)478 b(n)-36 b(um)g(b)36 b(er)478 b(of)h(p)36 b(ositiv)-36 b(e)480 b(in)-36 b(tegers)479 b Fu(n)447 b Fq(\267)g Fu(x)p Fv(,)490 b(not)479 b(divisible)h(b)-36 b(y)800 49619 y(the)524 b(prime)f(squares)i Fu(p)12253 49137 y Fr(2)12253 49948 y(1)12778 49619 y Fv(,)547 b Fu(p)14339 49137 y Fr(2)14339 49948 y(2)14865 49619 y Fv(,)g(.)217 b(.)g(.)g(,)547 b Fu(p)19068 49137 y Fr(2)19068 49965 y Ft(l)20118 49619 y Fv(and)523 b(not)h(divisible)h(b)-36 b(y)524 b(the)f(primes)h Fu(q)39425 49818 y Fr(1)39951 49619 y Fv(,)547 b Fu(q)41436 49818 y Fr(2)41961 49619 y Fv(,)g(.)217 b(.)g(.)g(,)547 b Fu(q)46088 49818 y Ft(m)47500 49619 y Fv(\(all)524 b(these)800 51224 y(b)36 b(eing)434 b(di\256eren)-36 b(t)432 b(primes\))h(is)15664 55404 y Fu(x)295 b Fq(\242)18066 53743 y Ft(l)17363 54142 y Fn(Y)17450 56941 y Ft(i)p Fr(=1)19281 53531 y Fn(\265)20259 55404 y Fv(1)h Fq(\241)22930 54505 y Fv(1)p 22666 55098 1179 54 v 22666 56315 a Fu(p)23319 55857 y Fr(2)23319 56655 y Ft(i)23977 53531 y Fn(\266)25250 55404 y Fq(\242)26347 53743 y Ft(m)25914 54142 y Fn(Y)26002 56941 y Ft(i)p Fr(=1)27833 53531 y Fn(\265)28811 55404 y Fv(1)f Fq(\241)31369 54505 y Fv(1)p 31218 55098 953 54 v 31218 56315 a Fu(q)31795 56514 y Ft(i)32303 53531 y Fn(\266)33576 55404 y Fv(+)g Fu(O)36 b Fv(\(1\))p Fu(:)2751 59576 y Fv(Note)502 b(that)e(the)h(p)36 b(ositiv)-36 b(e)502 b(in)-36 b(teger)501 b Fu(n)485 b Fq(\267)f Fu(x)501 b Fv(is)h(squarefree)g(if)g Fu(p)33926 59094 y Fr(2)34935 59576 y Fp(-)484 b Fu(n)502 b Fv(for)g(all)g(primes) f Fu(p)484 b Fq(\267)47915 58619 y(p)p 49022 58619 740 54 v 957 x Fu(x)p Fv(.)781 b(Fix)800 61181 y(distinct)511 b(primes)g Fu(p)h Fv(and)f Fu(q)48 b Fv(.)812 b(As)512 b(ab)36 b(o)-36 b(v)g(e,)532 b(the)511 b(n)-36 b(um)g(b)36 b(er)510 b(of)i(squarefree)h(p)36 b(ositiv)-36 b(e)512 b(in)-36 b(tegers)512 b Fu(n)502 b Fq(\267)g Fu(x=p)51124 60699 y Fr(3)51650 61181 y Fu(q)52275 60699 y Fr(2)800 62786 y Fv(whic)-36 b(h)433 b(are)h(divisible)h(b)-36 b(y)433 b(neither)g Fu(p)g Fv(nor)h Fu(q)480 b Fv(is)p Black 26475 74617 a(6)p Black eop %%Page: 7 7 7 6 bop Black 0 TeXcolorgray Black Black 5290 3503 a Fu(x)p 4495 4096 2329 54 v 4495 5312 a(p)5148 4929 y Fr(3)5674 5312 y Fu(q)6299 4929 y Fr(2)7178 2528 y Fn(\265)8156 4401 y Fv(1)296 b Fq(\241)10564 3503 y Fv(1)p 10563 4096 653 54 v 10563 5312 a Fu(p)11348 2528 y Fn(\266)222 b(\265)13525 4401 y Fv(1)296 b Fq(\241)15932 3503 y Fv(1)p 15932 4096 651 54 v 15945 5312 a Fu(q)16715 2528 y Fn(\266)19635 3139 y(Y)17915 6351 y Ft(r)26 b Fs(\267)19098 5459 y Fq(p)p 20204 5459 2849 54 v 20204 6351 a Ft(x=p)21678 6099 y Fl(3)22139 6351 y Ft(q)22591 6099 y Fl(2)19220 7469 y Ft(r)g Fs(6)p Fr(=)p Ft(p;)157 b(q)23274 2528 y Fn(\265)24251 4401 y Fv(1)296 b Fq(\241)26907 3503 y Fv(1)p 26658 4096 1149 54 v 26658 5312 a Fu(r)27280 4929 y Fr(2)27939 2528 y Fn(\266)29212 4401 y Fv(+)f Fu(O)36 b Fv(\(1\))4731 10363 y(=)7040 9465 y Fu(x)p 6245 10058 2329 54 v 6245 11274 a(p)6898 10891 y Fr(3)7423 11274 y Fu(q)8048 10891 y Fr(2)8928 8490 y Fn(\265)9906 10363 y Fv(1)295 b Fq(\241)12314 9465 y Fv(1)p 12312 10058 653 54 v 12312 11274 a Fu(p)13098 8490 y Fn(\266)221 b(\265)15275 10363 y Fv(1)296 b Fq(\241)17682 9465 y Fv(1)p 17682 10058 651 54 v 17695 11274 a Fu(q)18465 8490 y Fn(\266)221 b(\265)20642 10363 y Fv(1)295 b Fq(\241)23313 9465 y Fv(1)p 23049 10058 1179 54 v 23049 11274 a Fu(p)23702 10891 y Fr(2)24360 8490 y Fn(\266)25338 8788 y Fs(\241)p Fr(1)26817 8490 y Fn(\265)27795 10363 y Fv(1)g Fq(\241)30451 9465 y Fv(1)p 30201 10058 1151 54 v 30201 11274 a Fu(q)30826 10891 y Fr(2)31484 8490 y Fn(\266)32462 8788 y Fs(\241)p Fr(1)35661 9101 y Fn(Y)33941 12313 y Ft(r)26 b Fs(\267)35124 11422 y Fq(p)p 36231 11422 2849 54 v 891 x Ft(x=p)37705 12061 y Fl(3)38166 12313 y Ft(q)38618 12061 y Fl(2)39300 8490 y Fn(\265)40278 10363 y Fv(1)296 b Fq(\241)42934 9465 y Fv(1)p 42685 10058 1149 54 v 42685 11274 a Fu(r)43307 10891 y Fr(2)43966 8490 y Fn(\266)45239 10363 y Fv(+)f Fu(O)36 b Fv(\(1\))4731 15199 y(=)369 b Fu(x)295 b Fq(\242)10166 14300 y Fv(1)p 7943 14893 5096 54 v 7943 16110 a Fu(p)8596 15726 y Fr(2)9122 16110 y Fv(\()p Fu(p)g Fv(+)g(1\))13467 15199 y Fq(\242)16195 14300 y Fv(1)p 14264 14893 4513 54 v 14264 16110 a Fu(q)48 b Fv(\()p Fu(q)341 b Fv(+)295 b(1\))20851 13937 y Fn(Y)19131 17149 y Ft(r)26 b Fs(\267)20314 16257 y Fq(p)p 21420 16257 2849 54 v 21420 17149 a Ft(x=p)22894 16897 y Fl(3)23355 17149 y Ft(q)23807 16897 y Fl(2)24490 13326 y Fn(\265)25467 15199 y Fv(1)296 b Fq(\241)28123 14300 y Fv(1)p 27874 14893 1149 54 v 27874 16110 a Fu(r)28496 15726 y Fr(2)29155 13326 y Fn(\266)30428 15199 y Fv(+)f Fu(O)36 b Fv(\(1\))p Fu(;)800 19638 y Fv(the)433 b(pro)36 b(ducts)433 b(b)36 b(eing)433 b(tak)-36 b(en)434 b(o)-36 b(v)g(er)434 b(primes)f Fu(r)36 b Fv(.)2751 21243 y(In)404 b(general,)410 b(for)404 b Fu(y)417 b(>)369 b Fv(0)404 b(w)-36 b(e)404 b(ha)-36 b(v)g(e)19461 20247 y Fn(Q)20716 21631 y Ft(r)26 b Fs(\267)p Ft(y)22450 21243 y Fv(\(1)235 b Fq(\241)f Fv(1)p Fu(=r)27030 20761 y Fr(2)27557 21243 y Fv(\))369 b(=)f(6)p Fu(=\274)31898 20761 y Fr(2)32659 21243 y Fv(+)234 b Fu(O)36 b Fv(\(1)p Fu(=y)48 b Fv(\).)568 b(Applying)404 b(this)g(ab)36 b(o)-36 b(v)g(e,)411 b(the)800 22966 y(n)-36 b(um)g(b)36 b(er)477 b(of)i(squarefree)f(p)36 b(ositiv)-36 b(e)479 b(in)-36 b(tegers)479 b Fu(n)445 b Fq(\267)g Fu(x=p)27753 22484 y Fr(3)28279 22966 y Fu(q)28904 22484 y Fr(2)29907 22966 y Fv(whic)-36 b(h)478 b(are)h(divisible)g(b) -36 b(y)478 b(neither)f Fu(p)h Fv(nor)g Fu(q)526 b Fv(is)800 24572 y(then)11864 27947 y Fu(x)295 b Fq(\242)15918 27049 y Fv(1)p 13695 27642 5096 54 v 13695 28858 a Fu(p)14348 28475 y Fr(2)14874 28858 y Fv(\()p Fu(p)g Fv(+)f(1\))19219 27947 y Fq(\242)21947 27049 y Fv(1)p 20016 27642 4513 54 v 20016 28858 a Fu(q)48 b Fv(\()p Fu(q)341 b Fv(+)295 b(1\))24882 25676 y Fn(\303)26397 27049 y Fv(6)p 26067 27642 1312 54 v 26067 28858 a Fu(\274)26853 28475 y Fr(2)27806 27947 y Fv(+)g Fu(O)30365 25676 y Fn(\303)31416 25811 y(r)p 32744 25811 2595 54 v 32877 27049 a Fu(p)33530 26665 y Fr(3)34056 27049 y Fu(q)34681 26665 y Fr(2)p 32877 27642 2329 54 v 33672 28858 a Fu(x)35339 25676 y Fn(!!)37737 27947 y Fv(+)g Fu(O)36 b Fv(\(1\))12233 31977 y(=)13746 31078 y(6)p Fu(x)p 13746 31671 1390 54 v 13785 32888 a(\274)14571 32504 y Fr(2)15564 31977 y Fq(\242)18583 31078 y Fv(1)p 16361 31671 5096 54 v 16361 32888 a Fu(p)17014 32504 y Fr(2)17539 32888 y Fv(\()p Fu(p)295 b Fv(+)g(1\))21884 31977 y Fq(\242)24612 31078 y Fv(1)p 22681 31671 4513 54 v 22681 32888 a Fu(q)48 b Fv(\()p Fu(q)342 b Fv(+)295 b(1\))27622 31977 y(+)g Fu(O)30180 30104 y Fn(\265)31158 30160 y(r)p 32486 30160 2595 54 v 33414 31078 a Fu(x)p 32619 31671 2329 54 v 32619 32888 a(p)33272 32504 y Fr(3)33798 32888 y Fu(q)34423 32504 y Fr(2)35081 30104 y Fn(\266)36280 31977 y Fu(:)2751 35399 y Fv(T)-108 b(o)554 b(\257nd)f(the)g(n)-36 b(um)g(b)36 b(er)552 b(of)j(p)36 b(ositiv)-36 b(e)554 b(in)-36 b(tegers)554 b Fu(n)574 b Fq(\267)g Fu(x)553 b Fv(of)i(the)e(form)h Fu(n)574 b Fv(=)g Fu(p)41179 34917 y Fr(3)41704 35399 y Fu(q)42329 34917 y Fr(2)42854 35399 y Fu(s)p Fv(,)584 b(where)554 b Fu(p)p Fv(,)584 b Fu(q)601 b Fv(are)800 37004 y(an)-36 b(y)475 b(t)-36 b(w)g(o)476 b(distinct)e(primes)h(and)g (\()p Fu(s;)221 b(pq)48 b Fv(\))438 b(=)i(1,)486 b(w)-36 b(e)475 b(sum)g(our)g(result)f(ab)36 b(o)-36 b(v)g(e)476 b(o)-36 b(v)g(er)475 b(primes)g Fu(p)440 b Fq(\267)48715 36557 y Fl(3)48383 36047 y Fq(p)p 49490 36047 740 54 v 957 x Fu(x)476 b Fv(and)800 38609 y Fu(q)416 b Fq(\267)3196 37474 y Fn(p)p 4524 37474 2569 54 v 1135 x Fu(x=p)6566 38226 y Fr(3)7092 38609 y Fv(.)561 b(Therefore)382 b(the)g(prop)36 b(ortion)381 b(of)h(these)g(in)-36 b(tegers)381 b Fu(p)32577 38127 y Fr(3)33103 38609 y Fu(q)33728 38127 y Fr(2)34253 38609 y Fu(s)h Fv(whic)-36 b(h)381 b(are)h(at)g(most)g Fu(x)g Fv(is)g(giv)-36 b(en)382 b(b)-36 b(y)7147 41093 y(1)p 7103 41686 740 54 v 7103 42903 a Fu(x)8569 40730 y Fn(X)8196 43678 y Ft(p)p Fs(\267)9663 43372 y Fl(3)9546 43040 y Fs(p)p 10330 43040 530 40 v 638 x Ft(x)12235 40730 y Fn(X)11081 43942 y Ft(q)32 b Fs(\267)12265 43050 y Fq(p)p 13372 43050 1935 54 v 892 x Ft(x=p)14846 43690 y Fl(3)12366 45060 y Ft(q)g Fs(6)p Fr(=)p Ft(p)15528 40119 y Fn(\265)16639 41093 y Fv(6)p Fu(x)p 16639 41686 1390 54 v 16678 42903 a(\274)17464 42519 y Fr(2)18457 41992 y Fq(\242)21476 41093 y Fv(1)p 19254 41686 5096 54 v 19254 42903 a Fu(p)19907 42519 y Fr(2)20432 42903 y Fv(\()p Fu(p)295 b Fv(+)g(1\))24777 41992 y Fq(\242)27505 41093 y Fv(1)p 25574 41686 4513 54 v 25574 42903 a Fu(q)48 b Fv(\()p Fu(q)342 b Fv(+)294 b(1\))30515 41992 y(+)g Fu(O)33073 40119 y Fn(\265)34051 40175 y(r)p 35379 40175 2595 54 v 36307 41093 a Fu(x)p 35512 41686 2329 54 v 35512 42903 a(p)36165 42519 y Fr(3)36691 42903 y Fu(q)37316 42519 y Fr(2)37974 40119 y Fn(\266)o(\266)7339 47733 y Fv(=)9092 46472 y Fn(X)8720 49420 y Ft(p)p Fs(\267)10187 49113 y Fl(3)10070 48782 y Fs(p)p 10854 48782 530 40 v 638 x Ft(x)12758 46472 y Fn(X)11605 49684 y Ft(q)32 b Fs(\267)12789 48792 y Fq(p)p 13895 48792 1935 54 v 13895 49684 a Ft(x=p)15369 49432 y Fl(3)12889 50801 y Ft(q)g Fs(6)p Fr(=)p Ft(p)16515 46835 y Fv(6)p 16185 47428 1312 54 v 16185 48645 a Fu(\274)16971 48261 y Fr(2)17924 47733 y Fq(\242)20943 46835 y Fv(1)p 18721 47428 5096 54 v 18721 48645 a Fu(p)19374 48261 y Fr(2)19900 48645 y Fv(\()p Fu(p)294 b Fv(+)h(1\))24244 47733 y Fq(\242)26973 46835 y Fv(1)p 25041 47428 4513 54 v 25041 48645 a Fu(q)48 b Fv(\()p Fu(q)342 b Fv(+)295 b(1\))29982 47733 y(+)g Fu(O)32319 45860 y Fn(\265)33669 46472 y(X)33297 49420 y Ft(p)p Fs(\267)34764 49113 y Fl(3)34647 48782 y Fs(p)p 35431 48782 530 40 v 638 x Ft(x)37335 46472 y Fn(X)36182 49684 y Ft(q)32 b Fs(\267)37366 48792 y Fq(p)p 38473 48792 1935 54 v 892 x Ft(x=p)39947 49432 y Fl(3)42635 46835 y Fv(1)p 40762 47428 4397 54 v 40762 47694 a Fn(p)p 42090 47694 3068 54 v 1151 x Fu(xp)43482 48462 y Fr(3)44008 48845 y Fu(q)44633 48462 y Fr(2)45291 45860 y Fn(\266)46269 47733 y Fu(:)2751 53304 y Fv(In)433 b(general,)9218 52307 y Fn(P)10620 53691 y Ft(p)p Fs(\267)p Ft(y)12599 53304 y Fv(1)p Fu(=p)14552 52822 y Fr(3)p Ft(=)p Fr(2)16388 53304 y Fv(=)369 b Fu(O)36 b Fv(\(1\))433 b(and)23424 52307 y Fn(P)24826 53691 y Ft(q)32 b Fs(\267)p Ft(y)26783 53304 y Fv(1)p Fu(=q)417 b Fv(=)369 b Fu(O)36 b Fv(\(log)240 b(log)g Fu(y)48 b Fv(\),)434 b(and)f(so)6067 56840 y Fu(O)7097 54967 y Fn(\265)8447 55579 y(X)8075 58527 y Ft(p)p Fs(\267)9542 58220 y Fl(3)9425 57889 y Fs(p)p 10209 57889 530 40 v 638 x Ft(x)12113 55579 y Fn(X)10960 58791 y Ft(q)32 b Fs(\267)12144 57899 y Fq(p)p 13250 57899 1935 54 v 13250 58791 a Ft(x=p)14724 58538 y Fl(3)17413 55942 y Fv(1)p 15540 56535 4397 54 v 15540 56801 a Fn(p)p 16868 56801 3068 54 v 1151 x Fu(xp)18260 57569 y Fr(3)18786 57952 y Fu(q)19411 57569 y Fr(2)20069 54967 y Fn(\266)21416 56840 y Fv(=)368 b Fu(O)23826 54967 y Fn(\265)25535 55942 y Fv(1)p 24937 56535 1847 54 v 24937 56801 a Fq(p)p 26044 56801 740 54 v 956 x Fu(x)27510 55579 y Fn(X)27137 58527 y Ft(p)p Fs(\267)28604 58220 y Fl(3)28487 57889 y Fs(p)p 29271 57889 530 40 v 638 x Ft(x)31084 55942 y Fv(1)p 30155 56535 2507 54 v 30155 56801 a Fn(p)p 31484 56801 1179 54 v 31484 57952 a Fu(p)32137 57569 y Fr(3)33306 55579 y Fn(X)33016 58511 y Ft(q)32 b Fs(\267)34200 57872 y(p)p 34984 57872 530 40 v 639 x Ft(x)35868 55942 y Fv(1)p 35868 56535 651 54 v 35881 57752 a Fu(q)36651 54967 y Fn(\266)37998 56840 y Fv(=)369 b Fu(O)40409 54967 y Fn(\265)41519 55942 y Fv(log)241 b(log)f Fu(x)p 41519 56535 4542 54 v 42867 56801 a Fq(p)p 43974 56801 740 54 v 956 x Fu(x)46194 54967 y Fn(\266)47172 56840 y Fu(:)800 61280 y Fv(Th)-36 b(us)433 b(the)g(required)g(densit)-36 b(y)434 b(is)3335 64344 y(lim)3033 65141 y Ft(x)p Fs(!1)6038 63082 y Fn(X)5666 66031 y Ft(p)p Fs(\267)7133 65724 y Fl(3)7016 65392 y Fs(p)p 7800 65392 530 40 v 639 x Ft(x)9704 63082 y Fn(X)8551 66294 y Ft(q)32 b Fs(\267)9735 65402 y Fq(p)p 10842 65402 1935 54 v 892 x Ft(x=p)12316 66042 y Fl(3)9835 67412 y Ft(q)g Fs(6)p Fr(=)p Ft(p)13461 63445 y Fv(6)p 13131 64039 1312 54 v 13131 65255 a Fu(\274)13917 64872 y Fr(2)14870 64344 y Fq(\242)17890 63445 y Fv(1)p 15667 64039 5096 54 v 15667 65255 a Fu(p)16320 64872 y Fr(2)16846 65255 y Fv(\()p Fu(p)294 b Fv(+)h(1\))21190 64344 y Fq(\242)23919 63445 y Fv(1)p 21987 64039 4513 54 v 21987 65255 a Fu(q)48 b Fv(\()p Fu(q)342 b Fv(+)295 b(1\))27002 64344 y(=)28846 63445 y(6)p 28515 64039 1312 54 v 28515 65255 a Fu(\274)29301 64872 y Fr(2)30181 63082 y Fn(X)30903 65872 y Ft(p)34676 63445 y Fv(1)p 32454 64039 5096 54 v 32454 65255 a Fu(p)33107 64872 y Fr(2)33632 65255 y Fv(\()p Fu(p)g Fv(+)g(1\))37903 63082 y Fn(X)38034 65911 y Ft(q)32 b Fs(6)p Fr(=)p Ft(p)42108 63445 y Fv(1)p 40176 64039 4513 54 v 40176 65255 a Fu(q)48 b Fv(\()p Fu(q)342 b Fv(+)295 b(1\))45191 64344 y Fq(\270)369 b Fv(0)p Fu(:)p Fv(0144)p Fu(:)800 69691 y Fv(The)434 b(double)f(sum)g(w)-36 b(as)434 b(estimated)f(on)h(a)g(computer.)2751 71296 y(W)-108 b(e)434 b(ha)-36 b(v)g(e)433 b(therefore)h(sho)-36 b(wn)433 b(the)g(follo)-36 b(wing:)p Black 26475 74617 a(7)p Black eop %%Page: 8 8 8 7 bop Black 0 TeXcolorgray Black Black Black Black Black 3729 5206 a Fh(T)-85 b(yp)-57 b(e)3816 b(Density)27716 b(T)-85 b(runc)-57 b(ate)g(d)397 b(density)p 3065 5649 47471 45 v 3729 6584 a Fg(S)10208 6149 y Ff(6)p 9940 6330 978 45 v 9940 6966 a Fe(\274)10486 6745 y Fd(2)43715 6584 y Fc(0.60792)3729 8250 y Fg(p)4286 7848 y Ff(2)4783 8250 y Fg(S)10208 7814 y Ff(6)p 9940 7995 V 9940 8632 a Fe(\274)10486 8411 y Fd(2)11235 7420 y Fb(P)12403 8582 y Fe(p)14374 7814 y Ff(1)p 13232 7995 2726 45 v 13232 8632 a Fe(p)p Ff(\()p Fe(p)p Ff(+1\))43715 8250 y Fc(0.20075)3729 9916 y Fg(p)4286 9514 y Ff(3)4783 9916 y Fg(S)10208 9480 y Ff(6)p 9940 9661 978 45 v 9940 10298 a Fe(\274)10486 10076 y Fd(2)11235 9086 y Fb(P)12403 10248 y Fe(p)14374 9480 y Ff(1)p 13232 9661 2726 45 v 13232 10298 a Fe(p)p Ff(\()p Fe(p)p Ff(+1\))43715 9916 y Fc(0.07417)3729 11582 y Fg(p)4286 11180 y Ff(2)4783 11582 y Fg(q)5317 11180 y Ff(2)5813 11582 y Fg(S)10208 11146 y Ff(6)p 9940 11327 978 45 v 9940 11964 a Fe(\274)10486 11742 y Fd(2)11235 10752 y Fb(P)12403 11914 y Fe(p)14374 11146 y Ff(1)p 13232 11327 2726 45 v 13232 11964 a Fe(p)p Ff(\()p Fe(p)p Ff(+1\))16275 10752 y Fb(P)17443 11914 y Fe(q)28 b(>p)20517 11146 y Ff(1)p 19398 11327 2680 45 v 19398 11964 a Fe(q)g Ff(\()p Fe(q)g Ff(+1\))43715 11582 y Fc(0.02212)3729 13248 y Fg(p)4286 12846 y Ff(4)4783 13248 y Fg(S)10208 12812 y Ff(6)p 9940 12993 978 45 v 9940 13629 a Fe(\274)10486 13408 y Fd(2)11235 12417 y Fb(P)12403 13580 y Fe(p)14590 12812 y Ff(1)p 13232 12993 3158 45 v 13232 13629 a Fe(p)13688 13408 y Fd(3)14121 13629 y Ff(\()p Fe(p)p Ff(+1\))43715 13248 y Fc(0.03206)3729 14913 y Fg(p)4286 14512 y Ff(3)4783 14913 y Fg(q)5317 14512 y Ff(2)5813 14913 y Fg(S)10208 14478 y Ff(6)p 9940 14659 978 45 v 9940 15295 a Fe(\274)10486 15074 y Fd(2)11235 14083 y Fb(P)12403 15246 y Fe(p)14590 14478 y Ff(1)p 13232 14659 3158 45 v 13232 15295 a Fe(p)13688 15074 y Fd(2)14121 15295 y Ff(\()p Fe(p)p Ff(+1\))16707 14083 y Fb(P)17875 15246 y Fe(q)g Fa(6)p Ff(=)p Fe(p)20937 14478 y Ff(1)p 19817 14659 2680 45 v 19817 15295 a Fe(q)g Ff(\()p Fe(q)g Ff(+1\))43715 14913 y Fc(0.01447)3729 16579 y Fg(p)4286 16178 y Ff(2)4783 16579 y Fg(q)5317 16178 y Ff(2)5813 16579 y Fg(r)6343 16178 y Ff(2)6840 16579 y Fg(S)10208 16143 y Ff(6)p 9940 16324 978 45 v 9940 16961 a Fe(\274)10486 16740 y Fd(2)11235 15749 y Fb(P)12403 16911 y Fe(p)14374 16143 y Ff(1)p 13232 16324 2726 45 v 13232 16961 a Fe(p)p Ff(\()p Fe(p)p Ff(+1\))16275 15749 y Fb(P)17443 16911 y Fe(q)g(>p)20517 16143 y Ff(1)p 19398 16324 2680 45 v 19398 16961 a Fe(q)g Ff(\()p Fe(q)g Ff(+1\))22395 15749 y Fb(P)23563 16911 y Fe(r)c(>q)26617 16143 y Ff(1)p 25496 16324 2683 45 v 25496 16961 a Fe(r)g Ff(\()p Fe(r)g Ff(+1\))43715 16579 y Fc(0.00107)3729 18245 y Fg(p)4286 17843 y Ff(5)4783 18245 y Fg(S)10208 17809 y Ff(6)p 9940 17990 978 45 v 9940 18627 a Fe(\274)10486 18405 y Fd(2)11235 17415 y Fb(P)12403 18577 y Fe(p)14590 17809 y Ff(1)p 13232 17990 3158 45 v 13232 18627 a Fe(p)13688 18405 y Fd(4)14121 18627 y Ff(\()p Fe(p)p Ff(+1\))43715 18245 y Fc(0.01474)3729 19911 y Fg(p)4286 19509 y Ff(4)4783 19911 y Fg(q)5317 19509 y Ff(2)5813 19911 y Fg(S)10208 19475 y Ff(6)p 9940 19656 978 45 v 9940 20293 a Fe(\274)10486 20071 y Fd(2)11235 19081 y Fb(P)12403 20243 y Fe(p)14590 19475 y Ff(1)p 13232 19656 3158 45 v 13232 20293 a Fe(p)13688 20071 y Fd(3)14121 20293 y Ff(\()p Fe(p)p Ff(+1\))16707 19081 y Fb(P)17875 20243 y Fe(q)k Fa(6)p Ff(=)p Fe(p)20937 19475 y Ff(1)p 19817 19656 2680 45 v 19817 20293 a Fe(q)g Ff(\()p Fe(q)g Ff(+1\))43715 19911 y Fc(0.00586)3729 21577 y Fg(p)4286 21175 y Ff(3)4783 21577 y Fg(q)5317 21175 y Ff(3)5813 21577 y Fg(S)10208 21141 y Ff(6)p 9940 21322 978 45 v 9940 21958 a Fe(\274)10486 21737 y Fd(2)11235 20746 y Fb(P)12403 21909 y Fe(p)14590 21141 y Ff(1)p 13232 21322 3158 45 v 13232 21958 a Fe(p)13688 21737 y Fd(2)14121 21958 y Ff(\()p Fe(p)p Ff(+1\))16707 20746 y Fb(P)17875 21909 y Fe(q)g(>p)21165 21141 y Ff(1)p 19830 21322 3112 45 v 19830 21958 a Fe(q)20264 21737 y Fd(2)20695 21958 y Ff(\()p Fe(q)g Ff(+1\))43715 21577 y Fc(0.00216)3729 23242 y Fg(p)4286 22841 y Ff(3)4783 23242 y Fg(q)5317 22841 y Ff(2)5813 23242 y Fg(r)6343 22841 y Ff(2)6840 23242 y Fg(S)10208 22807 y Ff(6)p 9940 22988 978 45 v 9940 23624 a Fe(\274)10486 23403 y Fd(2)11235 22412 y Fb(P)12403 23575 y Fe(p)14590 22807 y Ff(1)p 13232 22988 3158 45 v 13232 23624 a Fe(p)13688 23403 y Fd(2)14121 23624 y Ff(\()p Fe(p)p Ff(+1\))16707 22412 y Fb(P)17875 23575 y Fe(q)g Fa(6)p Ff(=)p Fe(p)20937 22807 y Ff(1)p 19817 22988 2680 45 v 19817 23624 a Fe(q)g Ff(\()p Fe(q)g Ff(+1\))22814 22412 y Fb(P)23983 23575 y Fe(r)c(>q)k(;)150 b(r)24 b Fa(6)p Ff(=)p Fe(p)29021 22807 y Ff(1)p 27901 22988 2683 45 v 27901 23624 a Fe(r)g Ff(\()p Fe(r)g Ff(+1\))43715 23242 y Fc(0.00091)3729 24908 y Fg(p)4286 24507 y Ff(2)4783 24908 y Fg(q)5317 24507 y Ff(2)5813 24908 y Fg(r)6343 24507 y Ff(2)6840 24908 y Fg(t)7240 24507 y Ff(2)7736 24908 y Fg(S)10208 24472 y Ff(6)p 9940 24653 978 45 v 9940 25290 a Fe(\274)10486 25069 y Fd(2)11235 24078 y Fb(P)12403 25240 y Fe(p)14374 24472 y Ff(1)p 13232 24653 2726 45 v 13232 25290 a Fe(p)p Ff(\()p Fe(p)p Ff(+1\))16275 24078 y Fb(P)17443 25240 y Fe(q)k(>p)20517 24472 y Ff(1)p 19398 24653 2680 45 v 19398 25290 a Fe(q)g Ff(\()p Fe(q)g Ff(+1\))22395 24078 y Fb(P)23563 25240 y Fe(r)c(>q)26617 24472 y Ff(1)p 25496 24653 2683 45 v 25496 25290 a Fe(r)g Ff(\()p Fe(r)g Ff(+1\))28496 24078 y Fb(P)29664 25240 y Fe(t>r)32518 24472 y Ff(1)p 31498 24653 2482 45 v 31498 25290 a Fe(t)p Ff(\()p Fe(t)p Ff(+1\))43715 24908 y Fc(0.00002)3729 26574 y Fg(p)4286 26172 y Ff(6)4783 26574 y Fg(S)10208 26138 y Ff(6)p 9940 26319 978 45 v 9940 26956 a Fe(\274)10486 26734 y Fd(2)11235 25744 y Fb(P)12403 26906 y Fe(p)14590 26138 y Ff(1)p 13232 26319 3158 45 v 13232 26956 a Fe(p)13688 26734 y Fd(5)14121 26956 y Ff(\()p Fe(p)p Ff(+1\))43715 26574 y Fc(0.00699)3729 28240 y Fg(p)4286 27838 y Ff(5)4783 28240 y Fg(q)5317 27838 y Ff(2)5813 28240 y Fg(S)10208 27804 y Ff(6)p 9940 27985 978 45 v 9940 28622 a Fe(\274)10486 28400 y Fd(2)11235 27410 y Fb(P)12403 28572 y Fe(p)14590 27804 y Ff(1)p 13232 27985 3158 45 v 13232 28622 a Fe(p)13688 28400 y Fd(4)14121 28622 y Ff(\()p Fe(p)p Ff(+1\))16707 27410 y Fb(P)17875 28572 y Fe(q)k Fa(6)p Ff(=)p Fe(p)20937 27804 y Ff(1)p 19817 27985 2680 45 v 19817 28622 a Fe(q)g Ff(\()p Fe(q)g Ff(+1\))43715 28240 y Fc(0.00259)3729 29906 y Fg(p)4286 29504 y Ff(4)4783 29906 y Fg(q)5317 29504 y Ff(3)5813 29906 y Fg(S)10208 29470 y Ff(6)p 9940 29651 978 45 v 9940 30287 a Fe(\274)10486 30066 y Fd(2)11235 29075 y Fb(P)12403 30238 y Fe(p)14590 29470 y Ff(1)p 13232 29651 3158 45 v 13232 30287 a Fe(p)13688 30066 y Fd(3)14121 30287 y Ff(\()p Fe(p)p Ff(+1\))16707 29075 y Fb(P)17875 30238 y Fe(q)g Fa(6)p Ff(=)p Fe(p)21153 29470 y Ff(1)p 19817 29651 3112 45 v 19817 30287 a Fe(q)20251 30066 y Fd(2)20683 30287 y Ff(\()p Fe(q)g Ff(+1\))43715 29906 y Fc(0.00163)3729 31571 y Fg(p)4286 31170 y Ff(4)4783 31571 y Fg(q)5317 31170 y Ff(2)5813 31571 y Fg(r)6343 31170 y Ff(2)6840 31571 y Fg(S)10208 31136 y Ff(6)p 9940 31317 978 45 v 9940 31953 a Fe(\274)10486 31732 y Fd(2)11235 30741 y Fb(P)12403 31904 y Fe(p)14590 31136 y Ff(1)p 13232 31317 3158 45 v 13232 31953 a Fe(p)13688 31732 y Fd(3)14121 31953 y Ff(\()p Fe(p)p Ff(+1\))16707 30741 y Fb(P)17875 31904 y Fe(q)g Fa(6)p Ff(=)p Fe(p)20937 31136 y Ff(1)p 19817 31317 2680 45 v 19817 31953 a Fe(q)g Ff(\()p Fe(q)g Ff(+1\))22814 30741 y Fb(P)23983 31904 y Fe(r)c(>q)k(;)150 b(r)24 b Fa(6)p Ff(=)p Fe(p)29021 31136 y Ff(1)p 27901 31317 2683 45 v 27901 31953 a Fe(r)g Ff(\()p Fe(r)g Ff(+1\))43715 31571 y Fc(0.00035)3729 33237 y Fg(p)4286 32836 y Ff(3)4783 33237 y Fg(q)5317 32836 y Ff(3)5813 33237 y Fg(r)6343 32836 y Ff(2)6840 33237 y Fg(S)10208 32801 y Ff(6)p 9940 32982 978 45 v 9940 33619 a Fe(\274)10486 33398 y Fd(2)11235 32407 y Fb(P)12403 33569 y Fe(p)14590 32801 y Ff(1)p 13232 32982 3158 45 v 13232 33619 a Fe(p)13688 33398 y Fd(2)14121 33619 y Ff(\()p Fe(p)p Ff(+1\))16707 32407 y Fb(P)17875 33569 y Fe(q)k(>p)21165 32801 y Ff(1)p 19830 32982 3112 45 v 19830 33619 a Fe(q)20264 33398 y Fd(2)20695 33619 y Ff(\()p Fe(q)g Ff(+1\))23259 32407 y Fb(P)24427 33569 y Fe(r)c Fa(6)p Ff(=)p Fe(q)k(;p)28188 32801 y Ff(1)p 27067 32982 2683 45 v 27067 33619 a Fe(r)c Ff(\()p Fe(r)g Ff(+1\))43715 33237 y Fc(0.00023)3729 34903 y Fg(p)4286 34501 y Ff(3)4783 34903 y Fg(q)5317 34501 y Ff(2)5813 34903 y Fg(r)6343 34501 y Ff(2)6840 34903 y Fg(t)7240 34501 y Ff(2)7736 34903 y Fg(S)10208 34467 y Ff(6)p 9940 34648 978 45 v 9940 35285 a Fe(\274)10486 35063 y Fd(2)11235 34073 y Fb(P)12403 35235 y Fe(p)14590 34467 y Ff(1)p 13232 34648 3158 45 v 13232 35285 a Fe(p)13688 35063 y Fd(2)14121 35285 y Ff(\()p Fe(p)p Ff(+1\))16707 34073 y Fb(P)17875 35235 y Fe(q)k Fa(6)p Ff(=)p Fe(p)20937 34467 y Ff(1)p 19817 34648 2680 45 v 19817 35285 a Fe(q)g Ff(\()p Fe(q)g Ff(+1\))22814 34073 y Fb(P)23983 35235 y Fe(r)c(>q)k(;)150 b(r)24 b Fa(6)p Ff(=)p Fe(p)29021 34467 y Ff(1)p 27901 34648 2683 45 v 27901 35285 a Fe(r)g Ff(\()p Fe(r)g Ff(+1\))30900 34073 y Fb(P)32069 35235 y Fe(t>r)-24 b(;)151 b(t)p Fa(6)p Ff(=)p Fe(p)36759 34467 y Ff(1)p 35739 34648 2482 45 v 35739 35285 a Fe(t)p Ff(\()p Fe(t)p Ff(+1\))43715 34903 y Fc(0.00002)3729 36569 y Fg(p)4286 36167 y Ff(7)4783 36569 y Fg(S)10208 36133 y Ff(6)p 9940 36314 978 45 v 9940 36951 a Fe(\274)10486 36729 y Fd(2)11235 35739 y Fb(P)12403 36901 y Fe(p)14590 36133 y Ff(1)p 13232 36314 3158 45 v 13232 36951 a Fe(p)13688 36729 y Fd(6)14121 36951 y Ff(\()p Fe(p)p Ff(+1\))43715 36569 y Fc(0.00338)3729 38235 y Fg(p)4286 37833 y Ff(6)4783 38235 y Fg(q)5317 37833 y Ff(2)5813 38235 y Fg(S)10208 37799 y Ff(6)p 9940 37980 978 45 v 9940 38616 a Fe(\274)10486 38395 y Fd(2)11235 37404 y Fb(P)12403 38567 y Fe(p)14590 37799 y Ff(1)p 13232 37980 3158 45 v 13232 38616 a Fe(p)13688 38395 y Fd(5)14121 38616 y Ff(\()p Fe(p)p Ff(+1\))16707 37404 y Fb(P)17875 38567 y Fe(q)28 b Fa(6)p Ff(=)p Fe(p)20937 37799 y Ff(1)p 19817 37980 2680 45 v 19817 38616 a Fe(q)g Ff(\()p Fe(q)g Ff(+1\))43715 38235 y Fc(0.00120)3729 39900 y Fg(p)4286 39499 y Ff(5)4783 39900 y Fg(q)5317 39499 y Ff(3)5813 39900 y Fg(S)10208 39465 y Ff(6)p 9940 39646 978 45 v 9940 40282 a Fe(\274)10486 40061 y Fd(2)11235 39070 y Fb(P)12403 40233 y Fe(p)14590 39465 y Ff(1)p 13232 39646 3158 45 v 13232 40282 a Fe(p)13688 40061 y Fd(4)14121 40282 y Ff(\()p Fe(p)p Ff(+1\))16707 39070 y Fb(P)17875 40233 y Fe(q)g Fa(6)p Ff(=)p Fe(p)21153 39465 y Ff(1)p 19817 39646 3112 45 v 19817 40282 a Fe(q)20251 40061 y Fd(2)20683 40282 y Ff(\()p Fe(q)g Ff(+1\))43715 39900 y Fc(0.00068)3729 41566 y Fg(p)4286 41165 y Ff(5)4783 41566 y Fg(q)5317 41165 y Ff(2)5813 41566 y Fg(r)6343 41165 y Ff(2)6840 41566 y Fg(S)10208 41130 y Ff(6)p 9940 41311 978 45 v 9940 41948 a Fe(\274)10486 41727 y Fd(2)11235 40736 y Fb(P)12403 41898 y Fe(p)14590 41130 y Ff(1)p 13232 41311 3158 45 v 13232 41948 a Fe(p)13688 41727 y Fd(4)14121 41948 y Ff(\()p Fe(p)p Ff(+1\))16707 40736 y Fb(P)17875 41898 y Fe(q)g Fa(6)p Ff(=)p Fe(p)20937 41130 y Ff(1)p 19817 41311 2680 45 v 19817 41948 a Fe(q)g Ff(\()p Fe(q)g Ff(+1\))22814 40736 y Fb(P)23983 41898 y Fe(r)c(>q)k(;)150 b(r)24 b Fa(6)p Ff(=)p Fe(p)29021 41130 y Ff(1)p 27901 41311 2683 45 v 27901 41948 a Fe(r)g Ff(\()p Fe(r)g Ff(+1\))43715 41566 y Fc(0.00015)3729 43232 y Fg(p)4286 42830 y Ff(4)4783 43232 y Fg(q)5317 42830 y Ff(4)5813 43232 y Fg(S)10208 42796 y Ff(6)p 9940 42977 978 45 v 9940 43614 a Fe(\274)10486 43392 y Fd(2)11235 42402 y Fb(P)12403 43564 y Fe(p)14590 42796 y Ff(1)p 13232 42977 3158 45 v 13232 43614 a Fe(p)13688 43392 y Fd(3)14121 43614 y Ff(\()p Fe(p)p Ff(+1\))16707 42402 y Fb(P)17875 43564 y Fe(q)k(>p)21165 42796 y Ff(1)p 19830 42977 3112 45 v 19830 43614 a Fe(q)20264 43392 y Fd(3)20695 43614 y Ff(\()p Fe(q)g Ff(+1\))43715 43232 y Fc(0.00029)3729 44898 y Fg(p)4286 44496 y Ff(4)4783 44898 y Fg(q)5317 44496 y Ff(3)5813 44898 y Fg(r)6343 44496 y Ff(2)6840 44898 y Fg(S)10208 44462 y Ff(6)p 9940 44643 978 45 v 9940 45280 a Fe(\274)10486 45058 y Fd(2)11235 44068 y Fb(P)12403 45230 y Fe(p)14590 44462 y Ff(1)p 13232 44643 3158 45 v 13232 45280 a Fe(p)13688 45058 y Fd(3)14121 45280 y Ff(\()p Fe(p)p Ff(+1\))16707 44068 y Fb(P)17875 45230 y Fe(q)g Fa(6)p Ff(=)p Fe(p)21153 44462 y Ff(1)p 19817 44643 3112 45 v 19817 45280 a Fe(q)20251 45058 y Fd(2)20683 45280 y Ff(\()p Fe(q)g Ff(+1\))23246 44068 y Fb(P)24415 45230 y Fe(r)c Fa(6)p Ff(=)p Fe(q)k(;)150 b(r)24 b Fa(6)p Ff(=)p Fe(p)29441 44462 y Ff(1)p 28320 44643 2683 45 v 28320 45280 a Fe(r)g Ff(\()p Fe(r)g Ff(+1\))43715 44898 y Fc(0.00016)3729 46564 y Fg(p)4286 46162 y Ff(3)4783 46564 y Fg(q)5317 46162 y Ff(3)5813 46564 y Fg(r)6343 46162 y Ff(3)6840 46564 y Fg(S)10208 46128 y Ff(6)p 9940 46309 978 45 v 9940 46945 a Fe(\274)10486 46724 y Fd(2)11235 45733 y Fb(P)12403 46896 y Fe(p)14590 46128 y Ff(1)p 13232 46309 3158 45 v 13232 46945 a Fe(p)13688 46724 y Fd(2)14121 46945 y Ff(\()p Fe(p)p Ff(+1\))16707 45733 y Fb(P)17875 46896 y Fe(q)k(>p)21165 46128 y Ff(1)p 19830 46309 3112 45 v 19830 46945 a Fe(q)20264 46724 y Fd(2)20695 46945 y Ff(\()p Fe(q)g Ff(+1\))23259 45733 y Fb(P)24427 46896 y Fe(r)c(>q)27697 46128 y Ff(1)p 26360 46309 3115 45 v 26360 46945 a Fe(r)26795 46724 y Fd(2)27227 46945 y Ff(\()p Fe(r)g Ff(+1\))43715 46564 y Fc(0.00001)3729 48230 y Fg(p)4286 47828 y Ff(8)4783 48230 y Fg(S)10208 47794 y Ff(6)p 9940 47975 978 45 v 9940 48611 a Fe(\274)10486 48390 y Fd(2)11235 47399 y Fb(P)12403 48562 y Fe(p)14590 47794 y Ff(1)p 13232 47975 3158 45 v 13232 48611 a Fe(p)13688 48390 y Fd(7)14121 48611 y Ff(\()p Fe(p)p Ff(+1\))43715 48230 y Fc(0.00165)3729 49895 y Fg(p)4286 49494 y Ff(7)4783 49895 y Fg(q)5317 49494 y Ff(2)5813 49895 y Fg(S)10208 49459 y Ff(6)p 9940 49640 978 45 v 9940 50277 a Fe(\274)10486 50056 y Fd(2)11235 49065 y Fb(P)12403 50227 y Fe(p)14590 49459 y Ff(1)p 13232 49640 3158 45 v 13232 50277 a Fe(p)13688 50056 y Fd(6)14121 50277 y Ff(\()p Fe(p)p Ff(+1\))16707 49065 y Fb(P)17875 50227 y Fe(q)k Fa(6)p Ff(=)p Fe(p)20937 49459 y Ff(1)p 19817 49640 2680 45 v 19817 50277 a Fe(q)g Ff(\()p Fe(q)g Ff(+1\))43715 49895 y Fc(0.00057)3729 51561 y Fg(p)4286 51159 y Ff(6)4783 51561 y Fg(q)5317 51159 y Ff(3)5813 51561 y Fg(S)10208 51125 y Ff(6)p 9940 51306 978 45 v 9940 51943 a Fe(\274)10486 51721 y Fd(2)11235 50731 y Fb(P)12403 51893 y Fe(p)14590 51125 y Ff(1)p 13232 51306 3158 45 v 13232 51943 a Fe(p)13688 51721 y Fd(5)14121 51943 y Ff(\()p Fe(p)p Ff(+1\))16707 50731 y Fb(P)17875 51893 y Fe(q)g Fa(6)p Ff(=)p Fe(p)21153 51125 y Ff(1)p 19817 51306 3112 45 v 19817 51943 a Fe(q)20251 51721 y Fd(2)20683 51943 y Ff(\()p Fe(q)g Ff(+1\))43715 51561 y Fc(0.00030)3729 53227 y Fg(p)4286 52825 y Ff(6)4783 53227 y Fg(q)5317 52825 y Ff(2)5813 53227 y Fg(r)6343 52825 y Ff(2)6840 53227 y Fg(S)10208 52791 y Ff(6)p 9940 52972 978 45 v 9940 53609 a Fe(\274)10486 53387 y Fd(2)11235 52397 y Fb(P)12403 53559 y Fe(p)14590 52791 y Ff(1)p 13232 52972 3158 45 v 13232 53609 a Fe(p)13688 53387 y Fd(5)14121 53609 y Ff(\()p Fe(p)p Ff(+1\))16707 52397 y Fb(P)17875 53559 y Fe(q)g Fa(6)p Ff(=)p Fe(p)20937 52791 y Ff(1)p 19817 52972 2680 45 v 19817 53609 a Fe(q)g Ff(\()p Fe(q)g Ff(+1\))22814 52397 y Fb(P)23983 53559 y Fe(r)c(>q)k(;)150 b(r)24 b Fa(6)p Ff(=)p Fe(p)29021 52791 y Ff(1)p 27901 52972 2683 45 v 27901 53609 a Fe(r)g Ff(\()p Fe(r)g Ff(+1\))43715 53227 y Fc(0.00006)3729 54893 y Fg(p)4286 54491 y Ff(5)4783 54893 y Fg(q)5317 54491 y Ff(4)5813 54893 y Fg(S)10208 54457 y Ff(6)p 9940 54638 978 45 v 9940 55274 a Fe(\274)10486 55053 y Fd(2)11235 54062 y Fb(P)12403 55225 y Fe(p)14590 54457 y Ff(1)p 13232 54638 3158 45 v 13232 55274 a Fe(p)13688 55053 y Fd(4)14121 55274 y Ff(\()p Fe(p)p Ff(+1\))16707 54062 y Fb(P)17875 55225 y Fe(q)k Fa(6)p Ff(=)p Fe(p)21153 54457 y Ff(1)p 19817 54638 3112 45 v 19817 55274 a Fe(q)20251 55053 y Fd(3)20683 55274 y Ff(\()p Fe(q)g Ff(+1\))43715 54893 y Fc(0.00023)3729 56559 y Fg(p)4286 56157 y Ff(5)4783 56559 y Fg(q)5317 56157 y Ff(3)5813 56559 y Fg(r)6343 56157 y Ff(2)6840 56559 y Fg(S)10208 56123 y Ff(6)p 9940 56304 978 45 v 9940 56940 a Fe(\274)10486 56719 y Fd(2)11235 55728 y Fb(P)12403 56891 y Fe(p)14590 56123 y Ff(1)p 13232 56304 3158 45 v 13232 56940 a Fe(p)13688 56719 y Fd(4)14121 56940 y Ff(\()p Fe(p)p Ff(+1\))16707 55728 y Fb(P)17875 56891 y Fe(q)g Fa(6)p Ff(=)p Fe(p)21153 56123 y Ff(1)p 19817 56304 3112 45 v 19817 56940 a Fe(q)20251 56719 y Fd(2)20683 56940 y Ff(\()p Fe(q)g Ff(+1\))23246 55728 y Fb(P)24415 56891 y Fe(r)c Fa(6)p Ff(=)p Fe(q)k(;)150 b(r)24 b Fa(6)p Ff(=)p Fe(p)29441 56123 y Ff(1)p 28320 56304 2683 45 v 28320 56940 a Fe(r)g Ff(\()p Fe(r)g Ff(+1\))43715 56559 y Fc(0.00006)3729 58224 y Fg(p)4286 57823 y Ff(4)4783 58224 y Fg(q)5317 57823 y Ff(4)5813 58224 y Fg(r)6343 57823 y Ff(2)6840 58224 y Fg(S)10208 57788 y Ff(6)p 9940 57969 978 45 v 9940 58606 a Fe(\274)10486 58385 y Fd(2)11235 57394 y Fb(P)12403 58556 y Fe(p)14590 57788 y Ff(1)p 13232 57969 3158 45 v 13232 58606 a Fe(p)13688 58385 y Fd(3)14121 58606 y Ff(\()p Fe(p)p Ff(+1\))16707 57394 y Fb(P)17875 58556 y Fe(q)k(>p)21165 57788 y Ff(1)p 19830 57969 3112 45 v 19830 58606 a Fe(q)20264 58385 y Fd(3)20695 58606 y Ff(\()p Fe(q)g Ff(+1\))23259 57394 y Fb(P)24427 58556 y Fe(r)c Fa(6)p Ff(=)p Fe(q)k(;)150 b(r)24 b Fa(6)p Ff(=)p Fe(p)29453 57788 y Ff(1)p 28333 57969 2683 45 v 28333 58606 a Fe(r)g Ff(\()p Fe(r)g Ff(+1\))43715 58224 y Fc(0.00002)3729 59890 y Fg(p)4286 59488 y Ff(4)4783 59890 y Fg(q)5317 59488 y Ff(3)5813 59890 y Fg(r)6343 59488 y Ff(3)6840 59890 y Fg(S)10208 59454 y Ff(6)p 9940 59635 978 45 v 9940 60272 a Fe(\274)10486 60050 y Fd(2)11235 59060 y Fb(P)12403 60222 y Fe(p)14590 59454 y Ff(1)p 13232 59635 3158 45 v 13232 60272 a Fe(p)13688 60050 y Fd(3)14121 60272 y Ff(\()p Fe(p)p Ff(+1\))16707 59060 y Fb(P)17875 60222 y Fe(q)k Fa(6)p Ff(=)p Fe(p)21153 59454 y Ff(1)p 19817 59635 3112 45 v 19817 60272 a Fe(q)20251 60050 y Fd(2)20683 60272 y Ff(\()p Fe(q)g Ff(+1\))23246 59060 y Fb(P)24415 60222 y Fe(r)c(>q)k(;)150 b(r)24 b Fa(6)p Ff(=)p Fe(p)29669 59454 y Ff(1)p 28333 59635 3115 45 v 28333 60272 a Fe(r)28768 60050 y Fd(2)29200 60272 y Ff(\()p Fe(r)g Ff(+1\))43715 59890 y Fc(0.00001)36948 61551 y Fh(T)-85 b(otal)114 b Fc(:)3856 b(0.99683)p Black 13069 66857 a Fv(T)-108 b(able)434 b(1:)p 0 TeXcolorgray Black 579 w(Densities)g(giving)h(a)f(p)36 b(ositiv)-36 b(e)434 b(lo)-36 b(w)g(er)434 b(b)36 b(ound)p Black Black Black 26475 74617 a(8)p Black eop %%Page: 9 9 9 8 bop Black 0 TeXcolorgray Black Black Black 800 1424 a Fw(Prop)42 b(osition)500 b(9)p Black 650 w Fk(The)583 b(density)e(in)h Fp(N)h Fk(of)f(inte)-66 b(gers)580 b Fu(n)j Fk(for)f(which)h Fq(D)37 b Fv(\()p Fu(n)p Fv(\))582 b Fk(is)g(unb)-66 b(ounde)g(d)582 b(is)g(less)h(than)800 3029 y Fv(0)p Fu(:)p Fv(004)p Fk(.)2751 6011 y Fv(Although)507 b(w)-36 b(e)508 b(cannot)f(exhibit)h(an)f(un)-36 b(b)36 b(ounded)505 b(deriv)-36 b(ed)508 b(sequence,)526 b(w)-36 b(e)508 b(do)f(ha)-36 b(v)g(e)508 b(the)f(follo)-36 b(wing)800 7616 y(result.)p Black 800 10598 a Fw(Prop)42 b(osition)500 b(10)p Black 651 w Fk(F)-100 b(or)537 b(any)g(p)-66 b(ositive)536 b(inte)-66 b(ger)535 b Fu(M)139 b Fk(,)555 b(ther)-66 b(e)536 b(exists)h(an)g(inte)-66 b(ger)534 b Fu(n)k Fk(such)g(that)f Fq(D)37 b Fv(\()p Fu(n)p Fv(\))537 b Fk(r)-66 b(e-)800 12203 y(quir)g(es)464 b(mor)-66 b(e)464 b(than)h Fu(M)604 b Fk(iter)-66 b(ations)463 b(of)i Fu(D)501 b Fk(b)-66 b(efor)g(e)463 b(a)i(cycle)f(is)h(p)-66 b(ossible.)800 15185 y(Pr)g(o)g(of)p Fv(.)578 b(Let)433 b Fu(p)g Fv(b)36 b(e)434 b(a)f(large)i(prime,)e(with)h(\\large")h(to)f(b)36 b(e)433 b(quali\257ed)h(shortly)-108 b(.)578 b(T)-108 b(ak)-36 b(e)434 b Fu(n)370 b Fv(=)e Fu(p)45399 14703 y Fr(4)p Ft(p)46399 15185 y Fv(.)578 b(Then)10310 18065 y Fq(D)37 b Fv(\()p Fu(n)p Fv(\))369 b(=)f Fq(f)p Fu(p)16226 17516 y Fr(4)p Ft(p)17226 18065 y Fu(;)221 b Fv(2)18458 17516 y Fr(2)18985 18065 y Fu(p)19638 17516 y Fr(4)p Ft(p)20637 18065 y Fu(;)g Fv(2)21869 17516 y Fr(4)22396 18065 y Fu(p)23049 17516 y Fr(4)p Ft(p)24048 18065 y Fu(;)g Fv(2)25280 17516 y Fr(7)25807 18065 y Fu(p)26460 17516 y Fr(4)p Ft(p)27459 18065 y Fu(;)g Fv(2)28691 17516 y Fr(8)29218 18065 y Fv(7)p Fu(p)30521 17516 y Fr(4)p Ft(p)31520 18065 y Fu(;)g Fv(2)32752 17516 y Fr(12)33750 18065 y Fu(p)34403 17516 y Fr(4)p Ft(p)35402 18065 y Fu(;)g Fv(2)36634 17516 y Fr(15)37631 18065 y Fv(3)p Fu(p)38934 17516 y Fr(4)p Ft(p)39934 18065 y Fu(;)g(:)g(:)g(:)j Fq(g)p Fu(:)800 20944 y Fv(The)505 b(exact)h(factor)g Fu(p)11495 20462 y Fr(4)p Ft(p)13000 20944 y Fv(will)g(p)36 b(ersist)505 b(in)h(all)g(terms)f(un)-36 b(til)504 b(the)h(exp)36 b(onen)-36 b(t)505 b(on)g(2)h(or)f(some)h(other)e(prime)800 22549 y(\(not)449 b Fu(p)p Fv(\))g(equals)h Fu(p)p Fv(.)626 b(Un)-36 b(til)450 b(this)f(happ)36 b(ens,)452 b(if)f(it)e(will)i(ev) -36 b(er)450 b(happ)36 b(en,)452 b(there)d(can)h(b)36 b(e)449 b(no)g(deriv)-36 b(ed)449 b Fu(k)45 b Fv(-cycle)800 24154 y(in)508 b Fq(D)37 b Fv(\()p Fu(n)p Fv(\),)528 b(for)509 b(an)-36 b(y)508 b Fu(k)45 b Fv(.)803 b(F)-108 b(or)508 b(supp)36 b(ose)508 b(there)g(w)-36 b(ere)509 b(suc)-36 b(h)507 b(a)i(cycle)h(and)e(let)g(the)g Fu(i)p Fv(th)g(term)g(of)h(the)f(cycle)800 25759 y(b)36 b(e)2631 24763 y Fn(Q)4107 25759 y Fu(p)4760 25166 y Ft(a)5260 25301 y Fm(i)4760 26099 y Ft(i)5667 25759 y Fv(,)510 b(1)473 b Fq(\267)g Fu(i)g Fq(\267)g Fu(k)45 b Fv(,)510 b(where)494 b(the)g(notation)h(is)g(as)g(in)f(Prop)36 b(osition)495 b(1.)762 b(It)495 b(follo)-36 b(ws)496 b(that)e(at)h(most)g(2)52231 25277 y Ft(k)800 27364 y Fv(divides)5242 26368 y Fn(Q)6718 27364 y Fu(p)7371 27563 y Fr(1)8118 26368 y Fn(Q)9594 27364 y Fu(p)10247 27563 y Fr(2)10994 27364 y Fq(\242)221 b(\242)g(\242)12765 26368 y Fn(Q)14241 27364 y Fu(p)14894 27563 y Ft(k)15463 27364 y Fv(,)513 b(while)497 b(at)g(least)g(2)25204 26882 y Fr(2)p Ft(k)26741 27364 y Fv(divides)31183 26368 y Fn(Q)32659 27364 y Fu(a)33342 27563 y Fr(1)34089 26368 y Fn(Q)35565 27364 y Fu(a)36248 27563 y Fr(2)36995 27364 y Fq(\242)221 b(\242)g(\242)38766 26368 y Fn(Q)40242 27364 y Fu(a)40925 27563 y Ft(k)41494 27364 y Fv(.)768 b(By)497 b(Prop)36 b(osition)497 b(1,)800 28969 y(this)364 b(is)h(a)f(con)-36 b(tradiction.)555 b(The)364 b(pro)36 b(of)365 b(is)g(non-constructiv)-36 b(e,)377 b(in)364 b(that)g(w)-36 b(e)365 b(can)f(sa)-36 b(y)365 b(only)g(that,)378 b(whatev)-36 b(er)800 30574 y(the)475 b(v)-72 b(alue)476 b(of)g Fu(M)139 b Fv(,)487 b(a)476 b(prime)f Fu(p)g Fv(exists)h(suc)-36 b(h)475 b(that)g Fu(p)g Fv(exceeds)h(all)h(exp)36 b(onen)-36 b(ts)475 b(on)g(primes)g(other)g(than)g Fu(p)800 32179 y Fv(resulting)433 b(from)h Fu(M)573 b Fv(iterations)434 b(of)g Fu(D)36 b Fv(.)1879 b Fi(\244)800 37257 y Fo(4)2152 b(F)-179 b(urther)715 b(w)-60 b(ork)800 40178 y Fv(\(1\))892 b(Find)446 b(examples)h(of)g(in)-36 b(tegers)446 b Fu(n)h Fv(for)f(whic)-36 b(h)446 b Fq(D)37 b Fv(\()p Fu(n)p Fv(\))446 b(results)g(in)g(a)h Fu(k)45 b Fv(-cycle)447 b(for)f Fu(k)436 b Fv(=)390 b(7)447 b(or)f Fu(k)436 b(>)390 b Fv(8.)616 b(Do)800 41783 y(deriv)-36 b(ed)433 b Fu(k)45 b Fv(-cycles)435 b(exist)f(for)g(all)g(p)36 b(ositiv)-36 b(e)435 b(in)-36 b(tegers)433 b Fu(k)45 b Fv(?)800 44036 y(\(2\))1031 b(Can)516 b(it)f(b)36 b(e)515 b(sho)-36 b(wn)516 b(that)f Fq(D)37 b Fv(\()p Fu(n)p Fv(\))515 b(is)h(un)-36 b(b)36 b(ounded)513 b(for)j(some)f Fu(n)p Fv(,)537 b(as)516 b(w)-36 b(e)516 b(ha)-36 b(v)g(e)515 b(conjectured)g(ab)36 b(o)-36 b(v)g(e?)800 45641 y(W)-108 b(e)637 b(susp)36 b(ect)636 b(this)g(to)h(b)36 b(e)636 b(the)g(case)h(for)h(\\most")f(sequences)g Fq(D)37 b Fv(\()p Fu(p)35162 45159 y Ft(q)35614 44847 y Fm(q)36071 45159 y Ft(p)36600 45641 y Fv(\))636 b(\()p Fu(p)714 b Fq(6)p Fv(=)h Fu(q)48 b Fv(\),)687 b(for)637 b(reasons)g(sug-)800 47247 y(gested)687 b(in)g(the)g(pro)36 b(of)688 b(of)g(Prop)36 b(osition)688 b(10)g(\(where)f(w)-36 b(e)688 b(considered)e Fu(q)849 b Fv(=)800 b(2\).)1340 b(It)687 b(is)h(not)f(kno)-36 b(wn)800 48852 y(whether)509 b Fq(D)37 b Fv(\(7)8080 48370 y Fr(4046)10017 48852 y Fv(\),)528 b Fq(D)37 b Fv(\(11)14280 48370 y Fr(1674)16218 48852 y Fv(\))509 b(and)g Fq(D)37 b Fv(\(13)22706 48370 y Fr(504)24173 48852 y Fv(\))509 b(are)h(b)36 b(ounded,)527 b(but)509 b(this)g(is)h(the)f(case)h(for)g(all)g(smaller)800 50457 y(exp)36 b(onen)-36 b(ts)623 b(on)g(the)g(resp)36 b(ectiv)-36 b(e)624 b(primes.)1148 b(\(It)623 b(to)36 b(ok)624 b(a)g(few)g(w)-36 b(eeks)625 b(for)f(referee's)g(commen)-36 b(ts)623 b(to)g(b)36 b(e)800 52062 y(returned.)1106 b(W)-108 b(e)610 b(are)g(grateful)h(for) f(those.)1107 b(In)610 b(that)g(time)g(w)-36 b(e)610 b(left)g(a)h(program)f(running,)653 b(c)-36 b(hec)g(king)800 53667 y Fq(D)37 b Fv(\(31)3668 53185 y Fr(124)5135 53667 y Fv(\))333 b(for)h(b)36 b(oundedness.)543 b(After)333 b Fu(k)414 b Fv(=)369 b(48218701)336 b(iterations,)354 b(w)-36 b(e)334 b(found)e(no)h(cycle)i(and)d Fu(D)47071 53185 y Ft(k)47640 53667 y Fv(\(31)49446 53185 y Fr(124)50914 53667 y Fv(\))368 b(=)800 55272 y(2)1450 54790 y Fr(1516268557)6210 55272 y Fv(3)6860 54790 y Fr(780548532)11150 55272 y Fv(5)11800 54790 y Fr(348780008)16311 55272 y Fq(\242)221 b(\242)g(\242)i Fv(127)20033 54790 y Fr(10414)22441 55272 y Fv(131)24391 54790 y Fr(131)25859 55272 y Fv(139)27809 54790 y Fr(139)29277 55272 y Fv(149)31227 54790 y Fr(141851)34327 55272 y Fq(\242)e(\242)g(\242)h Fv(62763353)141 b Fq(\242)g Fv(348779999,)380 b(with)358 b(all)800 56877 y(primes)433 b(up)g(to)h(131)g(presen)-36 b(t.)578 b(The)433 b(program)h(w)-36 b(as)434 b(then)f(p)36 b(ermanen)-36 b(tly)433 b(halted.\))800 59131 y(\(3\))698 b(As)350 b(in)f(the)g(calculus,)366 b(di\256eren)-36 b(tiation)349 b(is)h(a)f(craft,)367 b(but)348 b(in)-36 b(tegration)350 b(is)f(an)g(art.)551 b(Can)349 b(a)h(tec)-36 b(hnique)348 b(b)36 b(e)800 60736 y(dev)-36 b(elop)36 b(ed)391 b(for)g(\257nding)f(in)-36 b(tegrals)392 b(of)f(a)h(giv)-36 b(en)391 b(p)36 b(ositiv)-36 b(e)392 b(in)-36 b(teger)391 b(or)g(of)g(sho)-36 b(wing)392 b(that)e(certain)h(in)-36 b(tegers,)800 62341 y(the)450 b(primes)g(b)36 b(eing)451 b(examples,)456 b(ha)-36 b(v)g(e)451 b(no)f(in)-36 b(tegrals?)630 b(In)451 b(Prop)36 b(osition)451 b(2,)k(w)-36 b(e)451 b(ha)-36 b(v)g(e)451 b(giv)-36 b(en)451 b(all)h(in)-36 b(tegrals)800 63946 y(of)434 b(1,)h(but)d(ev)-36 b(en)434 b(to)f(iden)-36 b(tify)434 b(all)h(in)-36 b(tegrals)434 b(of)g(4)g(seems)g(to)f(b)36 b(e)434 b(v)-36 b(ery)434 b(di\261cult.)800 68375 y Fo(References)p Black 800 71296 a Fv([1])p Black 792 w(T.)c(M.)g(Ap)36 b(ostol.)571 b Fk(Intr)-66 b(o)g(duction)459 b(to)i(A)-33 b(nalytic)460 b(Numb)-66 b(er)460 b(The)-66 b(ory)p Fv(,)430 b(Springer{V)-108 b(erlag,)431 b(Berlin,)f(1980.)p Black 26475 74617 a(9)p Black eop %%Page: 10 10 10 9 bop Black 0 TeXcolorgray Black Black Black 800 1424 a Fv([2])p Black 903 w(G.)488 b(L.)h(Cohen)f(and)g(H.)h(J.)g(J.)g(te)f (Riele.)742 b(Iterating)489 b(the)f(sum-of-divisors)h(function,)502 b Fk(Exp)-66 b(eriment.)2823 3029 y(Math.)p Fv(,)434 b Fw(5)f Fv(\(1996\),)i(91{100.)579 b(Errata)434 b(in)f Fk(Exp)-66 b(eriment.)462 b(Math.)p Fv(,)434 b Fw(6)f Fv(\(1997\),)i(177.)p Black 800 5741 a([3])p Black 651 w(R.)586 b(K.)g(Guy)-108 b(.)585 b Fk(Pr)-66 b(oblems)604 b(in)f(Numb)-66 b(er)603 b(The)-66 b(ory)p Fv(,)623 b(second)585 b(edition,)623 b(Springer{V)-108 b(erlag,)624 b(New)585 b(Y)-108 b(ork,)2823 7346 y(1994.)p 800 10158 52000 45 v 800 12409 a(2000)435 b Fk(Mathematics)464 b(Subje)-66 b(ct)463 b(Classi\257c)-66 b(ation)p Fv(:)577 b(Primary)434 b(11Y55;)h(Secondary)e(11A25,)j(11B83.)800 14014 y Fk(Keywor)-66 b(ds:)597 b(A)-33 b(rithmetic)463 b(functions,)g(density,)g(unb)-66 b(ounde)g(d)464 b(se)-66 b(quenc)g(es,)463 b(cycles.)p 800 15645 V 800 18696 a Fv(Receiv)-36 b(ed)375 b(Octob)36 b(er)374 b(25,)387 b(2002;)396 b(revised)375 b(v)-36 b(ersion)375 b(receiv)-36 b(ed)375 b(Decem)-36 b(b)36 b(er)374 b(1,)387 b(2002.)560 b(Published)373 b(in)i Fk(Journal)800 20301 y(of)465 b(Inte)-66 b(ger)462 b(Se)-66 b(quenc)g(es)432 b Fv(Decem)-36 b(b)36 b(er)433 b(23,)i(2002.)580 b(Revised,)434 b(F)-108 b(ebruary)433 b(10)h(2004.)p 800 21932 V 800 24183 a(Return)f(to)p 0 1 0 0 TeXcolorcmyk 433 w(Journal)h(of)g(In)-36 b(teger)434 b(Sequences)f(home)g(page)p [[133 499 338 511] [1 1 1 [3 3]] [0 0 1]] (http://www.math.uwaterloo. ca/JIS/) pdfm Black(.)p Black 26150 74617 a(10)p Black eop %%Trailer end end