Polynômes de Jacobi généralisés et Intégrales de Selberg

Daniel Barsky Université Paris 13 Institut Galilée LAGA, URA CNRS n^{∘}742 Av J.B. Clément F-93430 VILLETANEUSE

e.mail: barsky@math.univ-paris13.fr Michel Carpentier Université Paris 6 Institut de Mathématiques UMR CNRS n^{∘}9994 4, place Jussieu F-75252 PARIS CEDEX 05 e.mail: mic@ccr.jussieu.fr

Submitted: January 24, 1995; Accepted: January 24, 1995

Ce travail est dedie a Dominique Foata pour son 60-ième anniversaire

Résumé

G. Anderson a développé une méthode nouvelle pour calculer l’intégrale de Selberg. Nous montrons que cette méthode s’applique aussi pour calculer une généralisation de l’intégrale de Selberg étudiée par J. Kaneko.

Le résultat s’exprime à l’aide des polynômes de Jacobi symétriques à plusieurs variables. La preuve utilise les opérateurs de montée et de descente qui leur sont associés.

1 Introduction

Selberg [30] a étudié l’intégrale suivante:

S_{n}^{(a,b,c)} = \frac{1}{n!} ∫_{[0,1]^{n}} ∏_{i=1}^{n} x_{i}^{a−1}(1 − x_{i})^{b−1} ∏_{1≤i<j≤n} |x_{i} − x_{j}|^{2c} d\underline{x}  (1)

the electronic journal of combinatorics 3 (2) (1996), #R1 2

Il a montré que:

S_{n}^{(a,b,c)} = ∏_{j=0}^{n−1} \frac{Γ(a + jc) Γ(b + jc) Γ((j + 1)c)}{Γ(a + b + (n + j − 1)c) Γ(c)}  (2)

Ultérieurement ce résultat a été relié aux conjectures de Macdonald, [22],

[25] sur les sytèmes de racines. En particulier il a permis de démontrer les identités de termes constants pour les systèmes de racines affines de type BC_{n} et A_{n}, [25], [16], G_{2} [13]. Ces conjectures ont été démontrées par G. J. Heckmann et E. M. Opdam [18], [15], [26], [27], [28].

On s’intéresse à la valeur des intégrales du type:

J_{n}^{(a,b,c)}(X) =^{déf} \frac{1}{n!} ∫_{[0,1]^{n}} X (\underline{x}) ∏_{i=1}^{n} x_{i}^{a−1}(1 − x_{i})^{b−1} ∏_{1≤i<j≤n} |x_{i} − x_{j}|^{2c} d\underline{x} (3)

où X (\underline{x}) = X (x_{1}, …, x_{n}) un polynôme symétrique en (x_{1}, …, x_{n}) .

Dans [3] Aomoto indique que pour des raisons cohomologiques le rapport de la valeur de cette intégrale à l’intégrale de Selberg est un nombre rationnel. Il a calculé l’intégrale (3) lorsque X (\underline{x}) est l’une des fonctions symétriques élémentaires:

X (\underline{x}) = \{ \begin{matrix}e_{1}(\underline{x}) & = & e_{1}(x_{1}, …, x_{n}) & = & (−1) ∑_{i=1}^{n} x_{i} \\ e_{2}(\underline{x}) & = & e_{2}(x_{1}, …, x_{n}) & = & ∑_{1≤i<j≤n} x_{i}x_{j} \\ ⋮ & & ⋮ & & ⋮ \\ e_{n}(\underline{x}) & = & e_{n}(x_{1}, …, x_{n}) & = & (−1)^{n} ∏_{i=1}^{n} x_{i} \end{matrix}

Il montre qu’elle est proportionnelle, avec un facteur de proportionnalité rationnel explicite, au produit d’un coefficient convenable du polynôme de Jacobi, P_{n}^{( \frac{a}{c} −1, \frac{b}{c} −1)}(1 − 2y), par l’intégrale de Selberg.

Rappelons que les polynômes de Jacobi, P_{n}^{(α,β)}(x) (n ∈ ℕ), sont les polynômes orthogonaux par rapport au produit scalaire sur l’espace, ℝ[x] des

polynômes à coefficients réels, ⟨f , g⟩_{α,β} = ∫_{−1}^{+1}(1−x)^{α} (1+x)^{β}f(x)·g(x) dx,

tels que P_{n}^{(α,β)}(x) soit de degré n et normalisé par:

P_{n}^{(α,β)}(1) = \frac{(1 + α)(1 + α + 1) ⋯ (α + n)}{n!} = \frac{(1 + α)_{n}}{n!}

Le résultat d’Aomoto s’exprime en fait plus agréablement en utilisant des polynômes de Jacobi unitaires, notés P_{n}^{(α,β)}(x), cf. la formule (4). Ce sont les polynômes unitaires associés aux polynômes de Jacobi. Ces polynômes de Jacobi unitaires correspondent au cas d’une variable des polynômes de Jacobi symétriques introduits par Debiard, [7].

Le résultat d’Aomoto, obtenu à l’aide de la formule de Stokes, est le suivant^{1}. Soit:

A_{n}^{(a,b,c)}(y) =^{déf} \frac{1}{n!} ∫_{[0,1]^{n}} ∏_{i=1}^{n}(y − x_{i}) ∏_{i=1}^{n} x_{i}^{a−1}(1 − x_{i})^{b−1} ∏_{1≤i<j≤n} |x_{i} − x_{j}|^{2c}d\underline{x}

Alors:

A_{n}^{(a,b,c)}(y) = \{ \begin{matrix}(−c)^{n} n!( ∏_{i=0}^{n−1} \frac{1}{(a+b+(n+i−1)c)})S_{n}^{(a,b,c)}P_{n}^{( \frac{a}{c} −1, \frac{b}{c} −1)}(1 − 2y) \\ (−2)^{−n} S_{n}^{(a,b,c)}P_{n}^{( \frac{a}{c} −1, \frac{b}{c} −1)}(1 − 2y) \end{matrix}(4)

Ce résultat permet par identification des coefficients de y^{i} dans les deux membres de calculer les intégrales (3) lorsque X (\underline{x}) est une fonction symétrique élémentaire.

J. Kaneko, [17], a généralisé le résultat d’Aomoto. Il exprime J_{n}^{(a,b,c)}(X)

dans le cas où X (\underline{x}) = ∏_{j=1}^{m} e_{i}(\underline{x})^{n_{i}}, à l’aide des coefficients des polynômes

de Jacobi généralisés symétriques (cf. [7]) introduits par Debiard, [7] et Koornwinder, [19].

Soit P (α ,β ,γ)_{\underline{n}}(t_{1}, t_{2}, ⋯, t_{m}) le polynôme de Jacobi généralisé symétrique à m variables^{2} associé à la partition \underline{n} = (n, n, ⋯, n) de n · m en m parts égales à n, cf [7].

Soit \underline{y} = (y_{1}, y_{2}, ⋯, y_{m}) et \underline{x} = (x_{1}, x_{2}, ⋯, x_{n}) des variables indépen-

dantes. Soit χ_{u}(\underline{y}, \underline{x}) = ∏_{j=1}^{m} ∏_{i=1}^{n}(y_{j} − x_{i})^{u} un polynôme symétrique en \underline{y} et \underline{x} si u ∈ ℕ et plus généralement une fonction symétrique en \underline{y} et \underline{x} si u ∈ ℝ. On posera χ_{1}(\underline{y}, \underline{x}) = χ(\underline{y}, \underline{x}).

1Notre définition de l’intégrale d’Aomoto diffère pour des raisons de commodité de calcul par le facteur \frac{(−1)^{n}}{n!} de la sienne.

2La normalisation des polynômes de Jacobi ordinaires, [29] n’est pas la même que celle des polynômes de Jacobi généralisés symétriques, [7], lorsqu’on restreint le nombre de variables à 1, d’où l’introduction des polynômes de Jacobi unitaires.

J. Kaneko, [17], calcule pour u = 1 et m quelconque, donc en fait aussi pour u entier positif, et pour u = −c l’intégrale suivante^{3}:

A_{n,χ_{u}}^{(a,b,c)}(\underline{y}) =^{déf} \frac{1}{n!} ∫_{[0,1]^{n}} χ_{u}(\underline{y}, \underline{x}) ∏_{i=1}^{n} x_{i}^{a−1}(1 − x_{i})^{b−1} ∏_{1≤i<j≤n} |x_{i} − x_{j}|^{2c} d\underline{x} (5)

où d\underline{x} = dx_{1}dx_{2} ⋯ dx_{n} et où a, b, c sont des réels suffisament grands pour que l’intégrale converge (par exemple a, b, c > 0). Il montre pour u = 1 que:

A_{n}^{(a,b,c)}(\underline{y}) =^{déf} A_{n,χ}^{(a,b,c)}(\underline{y})  (6)
= (−2)^{−mn}S_{n}^{(a,b,c)}P ( \frac{a}{c} −1, \frac{b}{c} −1, \frac{1}{c} − \frac{1}{2} )_{\underline{n}}(1 − 2 y_{1}, 1 − 2 y_{2}, ⋯, 1 − 2 y_{m})

Pour u = c le résultat de J. Kaneko nécessite la définition des fonctions de Jack, _{2}F_{1}^{α}(a, b; c; y_{1}, …, y_{m}).

Nous retrouvons les résultats d’Aomoto et de Kaneko aux théorèmes 1 et 2 en suivant la méthode, très naturelle et élémentaire dans son principe, introduite par Anderson, [1], pour calculer l’intégrale de Selberg. Ces résultats peuvent aussi être interprétés comme des représentations intégrales des polynômes de Jacobi symétriques, cf. [8]. Nous donnons le résultat de Kaneko seulement pour u = 1, nous reviendrons ultérieurement sur un cas plus général. Tous ces résultats sont liés aux conjectures d’Evans, cf. [11] et [2], sur les identités entre sommes de Gauss; nous espérons revenir sur cet aspect.

Notre contribution principale tient dans les propositions 1 à 6 et spécialement les propositions 3 et 4.

Notre démonstration utilise la formule de Rodriguez pour les polynômes de Jacobi, cf. [29], dans le cas de l’intégrale d’Aomoto. Elle utilise les opérateurs de montée D_{+,\underline{x}}^{(α,β,γ)}, introduits par A. Debiard [7], pour le cas à m variables au lieu du Laplacien utilisé par Kaneko [17]. Ces opérateurs de montée donnent pour les polynômes de Jacobi généralisés symétriques une représentation analogue à la formule de Rodriguez.

Un des points clé de la démonstration est l’identification de la restriction à certains sous-espaces de ces opérateurs de montée avec l’opérateur Φ que nous introduisons sur les polynômes à m variables. Cet opérateur Φ est une transformée de Mellin formelle sur l’espace des polynômes.

3Notre définition de l’intégrale de Kaneko, pour u entier, diffère pour des raisons de commodité de calcul par le signe (−1)^{nmu} de la sienne.

Au paragraphe 4.4.2 nous indiquons comment on peut traiter le cas

χ_{u}(\underline{y}, \underline{x}) = ∏_{j=1}^{m} ∏_{i=1}^{n}(y_{j} − x_{i})^{n_{j}}, n_{j} ∈ ℕ. Ce cas peut aussi être obtenu par

la méthode de J. Kaneko à condition d’exprimer ses opérateurs différentiels en variables symétriques.

En fait la réponse apportée au calcul de l’intégrale (3) par les formules (4) et (6) n’est pas totalement satisfaisante car bien que les coefficients des polynômes de Jacobi généralisés symétriques soient calculables, au moins théoriquement, pour chaque partition \underline{n} = (n_{1}, …, n_{p}), on ne connaît de formule générale que dans des cas très particuliers, [8], [9], [10].

Remerciements: A. Debiard nous a signalé l’article de J. Kaneko et nous a expliqué la théorie des polynômes de Jacobi symétriques et de leurs opérateurs de montée et de descente. L. Habsieger a lu attentivement une première version et nous a permis ainsi de rectifier plusieurs erreurs. Nous remercions les référés qui ont pris la peine de relire avec grand soin le texte et qui nous ont permis grace a leurs remarques de corriger de nombreuses erreurs.

2 Expression en variables symétriques

En suivant la méthode d’Anderson, [1], nous allons donner une expression de J_{n,χ}^{(a,b,c)}(\underline{y}) à l’aide des fonctions symétriques élémentaires en les zéros du

polynôme F (t) = ∏_{i=1}^{n}(t − x_{i}).

Cette méthode consiste à exprimer les fonctions symétriques qui apparaissent dans la définition de l’intégrale de Selberg et ses généralisations à l’aide des fonctions symétriques élémentaires et à utiliser la formule d’interpolation de Lagrange pour faire le changement de variables. Le lemme 1 est tiré de [1].

Définition 1 Soit P_{n}(t) l’ensemble des polynômes F (t) ∈ ℝ[t], unitaires de degré n, dont toutes les racines sont réelles, distinctes, et comprises entre 0 et 1.

Lemme 1 Soit F (t) = F_{0} + F_{1}t + ⋯ + F_{n−1}t^{n−1} + t^{n} = ∏_{i=1}^{n}(t − x_{i}). Soit χ(\underline{y}, \underline{x}) = ∏_{j=1}^{m} ∏_{i=1}^{n}(y_{j} − x_{i}). Soit Δ(F) le discriminant de F (t). Soit d\underline{F} = dF_{0} dF_{1} ⋯ dF_{n−1}. Alors

J_{n,χ}^{(a,b,c)}(\underline{y}) = ∫_{F ∈P_{n}(t)} ( ∏_{j=1}^{m} F (y_{j}))|F (0)|^{a−1}|F (1)|^{b−1}|Δ(F)|^{c− \frac{1}{2}} d\underline{F}

□ On a, en effet, un difféomorphisme entre \{\underline{x} = (x_{1}, x_{2}, ⋯, x_{n}) ∈ [0, 1]^{n}; 0 ≤ x_{1} < x_{2} < ⋯ < x_{n} ≤ 1} et l’ensemble des polynômes F (t) ∈ P_{n}(t), donné par

\{ \underline{x} = (x_{1}, x_{2}, ⋯, x_{n}) ; 0 ≤ x_{1} < x_{2}, ⋯ < x_{n} ≤ 1 \} ⇝

⇝ {F (t) ∈ P_{n}(t) ; F (t) = ∏_{i=1}^{n}(t − x_{i})}

dont le Jacobien vaut | Δ(F) |^{1/2} □

3 La méthode d’Anderson, le cas m = 1

Pour faciliter la lecture de la démonstration du théorème principal (théorème 2) qui occupe la section suivante, nous allons appliquer tout d’abord la méthode d’Anderson pour retrouver le résultat d’Aomoto [3]:

A_{n}^{(a,b,c)}(y) = \frac{1}{n!} ∫_{[0,1]^{n}}(∏_{i=1}^{n}(y − x_{i}) x_{i}^{a−1} (1 − x_{i})^{b−1}) ∏_{1≤i<j≤n} |x_{i} − x_{j}|^{2c}d\underline{x}

= (−c)^{n} n!( ∏_{i=1}^{n} \frac{1}{(a + b + (n + i)c)}) S_{n}^{(a,b,c)}P_{n}^{( \frac{a}{c} −1, \frac{b}{c} −1)}(1 − 2y)
= (−2)^{−n}S_{n}^{(a,b,c)}P_{n}^{( \frac{a}{c} −1, \frac{b}{c} −1)}(1 − 2y)

où les P_{n}^{( \frac{a}{c} , \frac{b}{c})}(x) sont les polynômes de Jacobi classiques, [29], et les P_{n}^{( \frac{a}{c} , \frac{b}{c})}(x) sont les polynômes de Jacobi unitaires. Le principe général de la méthode suivie dans ce paragraphe, comme dans le suivant, est dû à Anderson [1], la démonstration du théorème 1 est, semble-t-il, nouvelle.

Définition 2 Soit ζ_{1} < ζ_{2} < ⋯ < ζ_{n+1} des réels, et soit Z(t) = ∏_{i=1}^{n+1}(t − ζ_{i}).

On définit D_{n}(Z) de la manière suivante:

D_{n}(Z) est l’ensemble des polynômes P (t) ∈ ℝ[t], de degré n, dont les racines (x_{1}, ⋯, x_{n}) sont enlacées par la suite \underline{ζ} = (ζ_{1}, ζ_{2}, ⋯ ζ_{n+1}). C’est à dire

ζ_{1} < x_{1} < ζ_{2} < x_{2} < … < ζ_{n} < x_{n} < ζ_{n+1}

.

Lemme 2 Soit G(t) = ∏_{i=1}^{n}(t−γ_{i}) où les γ_{i} ∈ ℝ et soit Z(t) = ∏_{i=1}^{n+1}(t−ζ_{i}) tels

que la suite (ζ_{i})_{1≤i≤n+1} enlace la suite (γ_{i})_{1≤i≤n}, autrement dit G ∈ D_{n}(Z). Alors on peut écrire de manière unique:

G(t) = \{∑_{i=1}^{n+1} \frac{ρ_{i}}{t − ζ_{i}} \} Z(t)

avec \{ \begin{matrix}ρ_{i} = \frac{G(ζ_{i})}{Z′(ζ_{i})} \\ ρ_{i} > 0; 1 ≤ i ≤ n + 1 \\ ∑_{i=1}^{n+1} ρ_{i} = 1 \end{matrix} .

□ On effectue la décomposition en éléments simples de \frac{G(t)}{Z(t)}, ou de manière équivalente on utilise la formule d’interpolation de Lagrange. □

On veut évaluer l’intégrale

I_{n}(s_{1}, …, s_{n+1}; y) =^{déf} ∫_{G∈D_{n}(Z)} G(y) ∏_{i=1}^{n+1} |G(ζ_{i})|^{s_{i}−1}d\underline{G}

où G(y) = G_{0} + G_{1} y + G_{2} y^{2} + ⋯ + G_{n−1} y^{n−1} + y^{n}, d\underline{G} = dG_{0}dG_{1} ⋯ dG_{n−1} Lemme 3 Soit

U_{n} = \{\underline{ρ} = (ρ_{1}, …, ρ_{n+1}) ∈ ℝ^{n+1}; (ρ_{i} > 0)_{1≤i≤n+1}, ∑_{i=1}^{n+1} ρ_{i} = 1\}

Alors: D_{n}(Z) ≃ U_{n} □ Ce lemme sera démontré dans le cours de la preuve du lemme 7 □ Lemme 4 Soit U_{n} comme au lemme 3, et soit

I_{n}(s_{1}, …, s_{n+1}; y) =^{déf} ∫_{G∈D_{n}(Z)} G(y) ∏_{i=1}^{n+1} |G(ζ_{i})|^{s_{i}−1}d\underline{G}
Ĩ_{i}(\underline{s}) = Ĩ_{i}(s_{1}, …, s_{n+1}) =^{déf} ∫_{\underline{ρ}∈U_{n}} ρ_{i}^{s_{i}} ∏_{j=1_{j≠i}}^{n+1} ρ_{j}^{s_{j}−1}d\underline{ρ}

où s_{i} ∈ ℝ et s_{i} > 1. Alors:

I_{n}(s_{1}, …, s_{n+1}; y) = − ∑_{i=1}^{n+1} \frac{Z(y)}{ζ_{i} − y} ( ∏_{j=1}^{n+1} |Z′(ζ_{j})|^{s_{j}− \frac{1}{2}} )Ĩ_{i}(s) (7)
lim_{|y|→∞} \frac{I_{n}(s_{1}, …, s_{n+1}; y)}{y^{n}} = (∏_{j=1}^{n+1} |Z′(ζ_{j})|^{s_{j}− \frac{1}{2}} ) \frac{∏_{j=1}^{n+1} Γ(s_{j})}{Γ(∑_{j=1}^{n+1} s_{j})}  (8)
Ĩ_{i}(\underline{s}) = \frac{s_{i} ∏_{j=1}^{n+1} Γ(s_{j})}{Γ(1 + ∑_{j=1}^{n+1} s_{j})}  (9)

□ Pour la preuve de (7) et de (9) voir les lemmes 7 et 8. Démontrons (8) qui n’est autre qu’un des lemmes d’Anderson, [1]:

lim_{|y|→∞} \frac{I_{n}(s_{1}, …, s_{n+1}; y)}{y^{n}} = ∫_{G∈D_{n}(Z)} ∏_{i=1}^{n+1} |G(ζ_{i})|^{s_{i}−1}d\underline{G}

= − ∑_{i=1}^{n+1} lim_{|y|→∞} \frac{Z(y)}{y^{n}(ζ_{i} − y)} (∏_{j=1}^{n+1} |Z′(ζ_{j})|^{s_{j}− \frac{1}{2}} ) \frac{Γ(1 + s_{i}) ∏n+1_{{j=1 \atop j≠i}} Γ(s_{j})}{Γ(1 + ∑_{j=1}^{n+1} s_{j})}

= (∏_{j=1}^{n+1} |Z′(ζ_{j})|^{s_{j}− \frac{1}{2}} ) \frac{∏_{j=1}^{n+1} Γ(s_{j})}{Γ(1 + ∑_{j=1}^{n+1} s_{j})} (∑_{j=1}^{n+1} s_{j})

= (∏_{j=1}^{n+1} |Z′(ζ_{j})|^{s_{j}− \frac{1}{2}} ) \frac{∏_{j=1}^{n+1} Γ(s_{j})}{Γ(∑_{j=1}^{n+1} s_{j})}□

Soit:

E_{n+1} =^{déf} {(F, G) ∈ P_{n} × P_{n+1} ; F (t) = ∏_{i=1}^{n}(t − φ_{i}) , G(t) = ∏_{i=1}^{n+1}(t − γ_{i}) ,

0 ≤ γ_{1} < φ_{1} < γ_{2} < … < φ_{n} < γ_{n+1} ≤ 1}

Le lemme suivant est au coeur de la méthode d’Anderson [1], en particulier l’introduction de l’intégrale I_{n}^{(a,b,c)}(y) et son calcul par deux méthodes différentes. Nous n’avons fait que l’adapter à notre situation.

Lemme 5 Soit F, G ∈ ℝ[y], F ∈ P_{n}, G ∈ P_{n+1}. Soit R(F, G) le résultant de F et G, R(F, G)| = ∏_{i=1}^{n} |G(φ_{i})| = ∏_{j=1}^{n+1} |F (γ_{j})|, où les (γ_{j})_{1≤j≤n+1} sont les racines de G et les (φ_{i})_{1≤i≤n} celles de F. Soit d\underline{F} = dF_{0} ⋯ dF_{n−1} et d\underline{G} = dG_{0} ⋯ dG_{n}. Soit

I_{n}^{(a,b,c)}(y) = ∫_{(F,G)∈E_{n+1}} G(y) · |G(0)|^{a−1} · |G(1)|^{b−1} · |R(F, G)|^{c−1}d\underline{F} d\underline{G}

Alors:

I_{n}^{(a,b,c)}(y) = y(y − 1)\frac{Γ(a)Γ(b)Γ(c)^{n}}{Γ(1 + a + b + nc)} ∫_{F ∈P_{n}} F (y) ×

× \{\frac{a}{y} + \frac{b}{y − 1} − c ∑_{i=1}^{n} \frac{1}{φ_{i} − y} \} |F (0)|^{a+c−1} · |F (1)|^{b+c−1} · |Δ(F)|^{c− \frac{1}{2}} d\underline{F}

□ Intégrons par rapport à G puis par rapport à F. Dans le lemme suivant nous intégrerons dans l’ordre inverse.

Posons pour (F, G) ∈ E_{n+1}, Z(y) = y(y − 1)F (y). Les racines de Z enlacent celles de G, autrement dit (G, Z) ∈ E_{n+2}, ou encore G ∈ D_{n+1}(Z). Il vient:

I_{n}^{(a,b,c)}(y) =

= ∫_{F ∈P_{n}} \{∫_{G∈D_{n+1}(Z)} G(y) · |G(0)|^{a−1} · |G(1)|^{b−1} ∏_{i=1}^{n} |G(φ_{i})|^{c−1}d\underline{G}\} d\underline{F}

Notons (ζ_{i})_{1≤i≤n+2} les racines de Z ordonnées de la manière suivante: ζ_{1} = 0, ζ_{i} = φ_{i−1} pour 2 ≤ i ≤ n + 1, ζ_{n+2} = 1. Posons aussi s_{1} = a, s_{i} = c pour 2 ≤ i ≤ n + 1, s_{n+2} = b. Alors:

∫_{G∈D_{n+1}(Z)} G(y) |G(0)|^{a−1} |G(1)|^{b−1} ∏_{i=1}^{n} |G(φ_{i})|^{c−1}d\underline{G} =

= ∫_{G∈D_{n+1}(Z)} G(y) ∏_{i=1}^{n+2} |G(ζ_{i})|^{s_{i}−1}d\underline{G}

Il est immédiat que:

Z′(0) = −F (0) , Z′(1) = F (1) , {Z′(φ_{j}) = φ_{j}(φ_{j} − 1)F′(φ_{j})}_{1≤j≤n}

Donc d’après le lemme 4:

∫_{G∈D_{n+1}(Z)} G(y) ∏_{i=1}^{n+2} |G(ζ_{i})|^{s_{i}−1}d\underline{G} =

= − ∑_{i=1}^{n+2} \frac{Z(y)}{ζ_{i} − y} (∏_{j=1}^{n+2} |Z′(ζ_{j})|^{s_{j}− \frac{1}{2}} ) \frac{s_{i} ∏_{j=1}^{n+2} Γ(s_{j})}{Γ(1 + ∑_{j=1}^{n+2} s_{j})}

Il suffit alors de revenir aux définitions de Z, des ζ_{i} et des s_{j}. □

Lemme 6 On a:

I_{n}^{(a,b,c)}(y) = \frac{Γ(c)^{n+1}}{Γ((n + 1)c)} ∫_{G∈P_{n+1}} G(y) |G(0)|^{a−1} |G(1)|^{b−1}|Δ(G)|^{c− \frac{1}{2}} d\underline{G}

□ On calcule I_{n}^{(a,b,c)}(y) en intégrant d’abord en F puis en G, puis on utilise la formule 9 du lemme 4. □

Nous pouvons comparer les deux expressions de I_{n}^{(a,b,c)}(y), le but étant de calculer par récurrence l’intégrale d’Aomoto A_{n}^{(a,b,c)}(y) et de la comparer à l’intégrale de Selberg S_{n}^{(a,b,c)}.

Soit l’opérateur D_{y}^{( \frac{a}{c} −1, \frac{b}{c} −1)} = y^{1− \frac{a}{c}} (1−y)^{1− \frac{b}{c}} \frac{d}{dy} y^{\frac{a}{c}} (1−y)^{\frac{b}{c}}, c’est la version

à une variable de l’opérateur, D_{+,\underline{y}}^{(α,β,γ)}, défini dans [7] et rappelé au lemme 13

Proposition 1 Soit:

A_{n}^{(a,b,c)}(y) = \frac{1}{n!} ∫_{[0,1]^{n}}(∏_{i=1}^{n}(y − x_{i}) x_{i}^{a−1} (1 − x_{i})^{b−1}) ∏_{1≤i<j≤n} |x_{i} − x_{j}|^{2c}d\underline{x}
= ∫_{F ∈P_{n}}F (y) |F (0)|^{a−1} |F (1)|^{b−1} |Δ(F)|^{c− \frac{1}{2}} d\underline{F}

Alors on a la relation de récurrence entre A_{n+1}^{(a,b,c)}(y) et A_{n}^{(a+c,b+c,c)}(y):

\frac{Γ(c)}{Γ((n + 1)c)} A_{n+1}^{(a,b,c)}(y) = −c \frac{Γ(a)Γ(b)}{Γ(1 + a + b + nc)}D_{y}^{( \frac{a}{c} −1, \frac{b}{c} −1)}A_{n}^{(a+c,b+c,c)}(y)

□ D’après le lemme 6 on a:

I_{n}^{(a,b,c)}(y) = \frac{Γ(c)^{n+1}}{Γ((n + 1)c)} ∫_{G∈P_{n+1}} G(y) |G(0)|^{a−1}|G(1)|^{b−1}|Δ(G)|^{c− \frac{1}{2}} d\underline{G}
= \frac{Γ(c)^{n+1}}{Γ((n + 1)c)}A_{n+1}^{(a,b,c)}(y)

D’après le lemme 5:

I_{n}^{(a,b,c)}(y) = y(y − 1)\frac{Γ(a)Γ(b)Γ(c)^{n}}{Γ(1 + a + b + nc)} ∫_{F ∈P_{n}} F (y) ×

× \{\frac{a}{y} + \frac{b}{y − 1} − c ∑_{i=1}^{n} \frac{1}{γ_{i} − y} \} |F (0)|^{a+c−1} |F (1)|^{b+c−1} |Δ(F)|^{c− \frac{1}{2}} d\underline{F}

Par définition:

∫_{F ∈P_{n}} F (y) |F (0)|^{a+c−1} |F (1)|^{b+c−1} |Δ(F)|^{c− \frac{1}{2}} d\underline{F} = A_{n}^{(a+c,b+c,c)}(y)

D’autre part F (y) ∑_{i=1}^{n} \frac{1}{γ_{i} − y} = −\frac{d}{dy} F (y). En utilisant l’opérateur D_{y}^{( \frac{a}{c} −1, \frac{b}{c} −1)}

on peut alors écrire:

\{(a(y − 1) + by)A_{n}^{(a+c,b+c,c)}(y) + cy(y − 1)\frac{d}{dy} A_{n}^{(a+c,b+c,c)}(y)\} =

= −cD_{y}^{( \frac{a}{c} −1, \frac{b}{c} −1)}(A_{n}^{(a+c,b+c,c)}(y))□

Rappelons la formule de Rodriguez pour les polynômes de Jacobi unitaires,

après changement de variable y = \frac{1 − x}{2}:

P_{n}^{(α,β)}(1 − 2y) = \frac{2^{n}}{(α + β + n + 1)_{n}} y^{−α}(1 − y)^{−β} \frac{d^{n}}{dy^{n}} (y^{α+n}(1 − y)^{β+n})

Théorème 1 L’intégrale d’Aomoto, A_{n+1}^{(a,b,c)}(y), s’exprime à l’aide des polynômes de Jacobi ou de Jacobi unitaires de la facon suivante:

A_{n+1}^{(a,b,c)}(y) = (−2)^{−(n+1)}S_{n+1}^{(a,b,c)}P_{n+1}^{( \frac{a}{c} −1, \frac{b}{c} −1)}(1 − 2y)

□ En revenant à la définition des opérateurs

D_{y}^{(α,β)} =^{déf} y^{−α}(1 − y)^{−β} \frac{d}{dy} y^{α+1}(1 − y)^{β+1}, on remarque que:

D_{y}^{( \frac{a}{c} −1, \frac{b}{c} −1)} ∘ D_{y}^{( \frac{a}{c} , \frac{b}{c})} ∘ ⋯ ∘ D_{y}^{( \frac{a}{c} +n−2, \frac{b}{c} +n−2)} ∘ D_{y}^{( \frac{a}{c} +n−1, \frac{b}{c} +n−1)} =

= y^{1− \frac{a}{c}} (1 − y)^{1− \frac{b}{c}} (\frac{d}{dy} )^{n+1} (y^{n+ \frac{a}{c}} (1 − y)^{n+ \frac{b}{c}} )

Il est clair que A_{0}^{(a+(n+1)c,b+(n+1)c,c)}(y) = 1, et donc en itérant la proposition 1:

A_{n+1}^{(a,b,c)}(y) =

(−c)^{n+1}( ∏_{j=0}^{n} \frac{Γ((n − j + 1)c)Γ(a + jc)Γ(b + jc)}{Γ(c)Γ(1 + a + b + (n + j)c)}) ×

×y^{1− \frac{a}{c}} (1 − y)^{1− \frac{b}{c}} (\frac{d}{dy} )^{n+1} (y^{n+ \frac{a}{c}} (1 − y)^{n+ \frac{b}{c}} )

En utilisant la relation de contiguité pour la fonction Γ, la formule de Rodriguez et la valeur de l’intégrale de Selberg donnée à la formule (2) il vient:

A_{n+1}^{(a,b,c)}(y) = (−2)^{−(n+1}S_{n+1)}^{(a,b,c)}P_{n+1}^{( \frac{a}{c} −1, \frac{b}{c} −1)}(1 − 2y)

3.0.1 Remarque 1

Ce théorème fournit en fait aussi une démonstration de la formule (2) donnant la valeur de l’intégrale de Selberg (cf. [1]). Ce théorème est le cas à une variable du théorème 2, infra.

On a immediatement le corollaire suivant:

Corollaire 1 Soit e_{n,k}(\underline{x}) = ∑_{1≤i_{1}<i_{2}<...<i_{k}≤n} x_{i_{1}}x_{i_{2}} ⋯ x_{i_{k}} la k-ième fonction symétrique élémentaire en les variables x_{1}, x_{2}, …, x_{n}. Soit, pour ℓ ∈ ℕ, (x)_{ℓ} = x(x + 1) ⋯ (x + ℓ − 1). Alors:

A_{n}^{(a,b,c)}(e_{n,k}) =^{déf} \frac{1}{n!} ∫_{[0,1]^{n}} e_{n,k}(\underline{x}) ∏_{i=1}^{n} x_{i}^{a−1}(1 − x_{i})^{b−1} ∏_{1≤i<j≤n} |x_{i} − x_{j}|^{2c} d\underline{x}

= 2^{n} \binom{n}{k} \frac{(\frac{a}{c} + n − k)_{k}(\frac{a}{c} + \frac{b}{c} + n − 1)_{n−k}}{(\frac{a}{c} + \frac{b}{c} + n − 1)_{n}} S_{n}^{(a,b,c)}

4 La méthode d’Anderson, le cas m ≥ 1

Ce paragraphe est consacré à l’extension à plusieurs variables du résultat précédent.

4.1 Introduction de l’opérateur Φ

La méthode du lemme 7 est imitée d’Anderson [1]. On utilisera dans la suite la convention suivante: si \underline{s} = (s_{1}, …, s_{n}) est un multi-indice et si \underline{x} = (x_{1}, …, x_{n}) est un ensemble de variables on posera \underline{x}\underline{s} = ∏_{i=1}^{n} x_{i}^{s_{i}}. On notera aussi \underline{s} − 1 = (s_{1} − 1, s_{2} − 1, …, s_{n} − 1).

Lemme 7 Soit \underline{ζ} = (ζ_{1}, ζ_{2}, …, ζ_{n+1}) une suite strictement croissante de réels. Soit s_{1}, ⋯, s_{n+1} des nombres complexes de parties réelles suffisam-

ment grandes. Soit Z(t) = ∏_{i=1}^{n+1} (t − ζ_{i}). Soit

U_{n} = \{\underline{ρ} = (ρ_{1}, ⋯, ρ_{n}) ∈ ℝ^{n}; ρ_{i} > 0, 1 ≤ i ≤ n , ∑_{i=1}^{n} ρ_{i} < 1\}

On pose ρ_{n+1} = 1 − ∑_{i=1}^{n} ρ_{i} et on note d\underline{ρ} = dρ_{1} ⋯ dρ_{n}.

Alors si \underline{y} = (y_{1}, ⋯, y_{m}) et si G(t) = G_{0} + G_{1} t ⋯ + G_{n−1} t^{n−1} + t^{n}

J_{n+1}^{m}(\underline{s}, \underline{y}) =^{déf} ∫_{G∈D_{n}(Z)} ( ∏_{j=1}^{m} G(y_{j})) ∏_{i=1}^{n+1} |G(ζ_{i})|^{s_{i}−1} dG_{0} dG_{1} ⋯ dG_{n−1}

= ( ∏_{j=1}^{m} Z(y_{j}))( ∏_{i=1}^{n+1} |Z′(ζ_{i})|^{s_{i}− \frac{1}{2}} ) ∫_{\underline{ρ}∈U_{n}} ( ∏_{k=1}^{m} (∑_{l=1}^{n+1} \frac{ρ_{l}}{y_{k} − ζ_{l}} ) ) ∏_{l=1}^{n+1} ρ_{l}^{s_{l}−1} d\underline{ρ}

□ Le passage de la première expression de J_{n+1}^{m}(\underline{s}, \underline{y}) à la deuxième se fait en

utilisant la formule d’interpolation de Lagrange. Posons Z_{i}(t) = ∏_{{j=1 \atop j≠i}}^{n+1} (t − ζ_{j}).

On a alors: G(t) = ∑_{i=1}^{n+1} ρ_{i} Z_{i}(t) avec ρ_{i} = \frac{G(ζ_{i})}{Z′(ζ_{i})} et ∑_{i=1}^{n+1} ρ_{i} = 1

La condition G ∈ D_{n}(Z), autrement dit le fait que les racines, γ_{1}, γ_{2},…, γ_{n} de G(t) soient enlacées par celles de Z(t), implique que ρ_{i} > 0 pour 1 ≤ i ≤ n + 1.

La formule d’interpolation de Lagrange donne donc une bijection entre

D_{n}(Z) et U_{n} = \{\underline{ρ} = (ρ_{1}, ⋯, ρ_{n}) ∈ ℝ^{n}; (ρ_{i} > 0)_{1≤i≤n} , ∑_{i=1}^{n} ρ_{i} < 1\}.

On considère donc que l’on a n variables indépendantes (ρ_{1}, …, ρ_{n}) et que ρ_{n+1} = 1 − ∑_{i=1}^{n} ρ_{i}. En fait cette bijection est un difféomorphisme dont le Jacobien vaut:

|\frac{D(ρ_{1}, ⋯, ρ_{n})}{D(G_{0}, ⋯, G_{n−1})}| =^{déf} | ∥(\frac{∂ρ_{i}}{∂G_{j}} )_{{1≤i≤n \atop 0≤j≤n−1}} ∥ | = ∏_{i=1}^{n+1} | Z′(ζ_{i}) |^{− \frac{1}{2}} = |Δ(Z)|^{− \frac{1}{2}}

où Δ(Z) est le discriminant du polynôme Z. On en déduit le résultat. □

On introduit un opérateur Φ très lié à la transformation de Mellin, cf. [21]. Définition 3 Soit Φ l’application ℝ-linéaire de ℝ [s_{1}, s_{2}, ⋯, s_{n+1}] dans lui même définie de la manière suivante. Soit \underline{a} = (a_{1}, …, a_{n+1}) ∈ ℕ^{n+1}. On pose (s)_{a} = s(s + 1) ⋯ (s + a − 1), et (s)_{0} = 1. On définit alors:

Φ (s_{1}^{a_{1}}s_{2}^{a_{2}} ⋯ s_{n+1}^{a_{n+1}}) = (s_{1})_{a_{1}} (s_{2})_{a_{2}} ⋯ (s_{n+1})_{a_{n+1}}

the electronic journal of combinatorics 3 (2) (1996), #R1 15 Lemme 8 Soient i_{1}, …, i_{m} ∈ {1, 2, …, n + 1} (non nécessairement distincts) et soient s_{1}, …, s_{n+1} des réels positifs. Soit:

A_{i_{1},...,i_{m}} =^{déf} ∫_{\underline{ρ}∈U_{n}} ρ_{i_{1}}ρ_{i_{2}} ⋯ ρ_{i_{m}} (∏_{ℓ=1}^{n+1} ρ_{ℓ}^{s_{ℓ}−1}) d\underline{ρ}

Alors :

A_{i_{1},...,i_{m}} = \frac{∏_{i=1}^{n+1} Γ(s_{i})}{Γ(∑_{i=1}^{n+1} s_{i} + m)} Φ( ∏_{j=1}^{m} s_{i_{j}})  (10)

□ Considérons le difféomorphisme de ℝ_{+} × U_{n} sur [0, ∞]^{n+1} défini par

(λ, ρ_{1}, …, ρ_{n}) ⟶ (λρ_{1}, λρ_{2}, …, λρ_{n}, λρ_{n+1})

avec ∑_{i=1}^{n+1} ρ_{i} = 1 et ρ_{i} > 0 pour 1 ≤ i ≤ n + 1

L’application réciproque qui va de [0, ∞]^{n+1} sur ℝ_{+} × U_{n} est donnée par

(x_{1}, x_{2}, …, x_{n+1}) ⟶ ( ∑_{i=1}^{n+1} x_{i} , \frac{x_{1}}{∑_{i=1}^{n+1} x_{i}} , \frac{x_{2}}{∑_{i=1}^{n+1} x_{i}} , … \frac{x_{n}}{∑_{i=1}^{n+1} x_{i}} )

et le Jacobien de la transformation est |\frac{D(x_{1}, x_{2}, …, x_{n+1})}{D(λ, ρ_{1}, …, ρ_{n})}| = λ^{n}. En utilisant ce changement de variable il vient:

A_{i_{1},i_{2},...,i_{n}}Γ( ∑_{i=1}^{n+1} s_{i} + m) =

= ∫_{\underline{ρ}∈U_{n}} ρ_{i_{1}} … ρ_{i_{m}} \underline{ρ}^{\underline{s}−1}d\underline{ρ} ∫_{0}^{+∞} e^{−λ}λ^{( ∑{n+1 \atop i=1} s_{i}+m−1)}dλ

= ∫_{\underline{x}∈[0,∞]^{n+1}} e^{(−∑_{i=1}^{n+1} x_{i})} x_{i_{1}}x_{i_{2}} ⋯ x_{i_{m}} \underline{x}^{\underline{s}−1} d\underline{x}

Pour chaque i ∈ {1, …, n + 1} notons a_{i} = #{j; 1 ≤ j ≤ m , i_{j} = i}:

A_{i_{1},i_{2},...,i_{m}}Γ( ∑_{i=1}^{n+1} s_{i} + m) = ∏_{i=1}^{n+1} ∫_{0}^{+∞} e^{−x_{i}}x_{i}^{s_{i}+a_{i}−1}dx_{i}
= (∏_{i=1}^{n+1} Γ(s_{i})) Φ( ∏_{i=1}^{n+1} s_{i}^{a_{i}})□

Proposition 2

J_{n+1}^{m}(\underline{s}, \underline{y}) = ( ∏_{j=1}^{m} Z(y_{j}))( ∏_{i=1}^{n+1} |Z′(ζ_{i})|^{s_{i}− \frac{1}{2}} )\frac{∏_{i=1}^{n+1} Γ(s_{i})}{Γ(∑_{i=1}^{n+1} s_{i} + m)}×

× ∑_{1≤i_{1},...,i_{m}≤n+1} ( ∏_{j=1}^{m} \frac{1}{y_{j} − ζ_{i_{j}}} )Φ( ∏_{j=1}^{m} s_{i_{j}})

□ C’est une conséquence immédiate des lemmes 7 et 8. □ différentiel

4.2 Expression de l’opérateur Φ à l’aide d’un opérateur différentiel

Soit S_{m} = S = {1, 2, …, m} et soit y_{1}, y_{2}, …, y_{m}, y_{m+1} des variables. Si

j ∈ S on notera ∂_{j} = \frac{∂}{∂y_{j}}.

Si T ⊂ S_{m} on notera:

T′ = T ∪ \{m + 1\} , V_{T} = ∏_{{i,j∈T \atop i<j}} (y_{i} − y_{j}) , ∂^{(T)} = ∏_{j∈T} ∂_{j} , D_{T} = \frac{1}{V_{T}} ∂^{(T)}V_{T}

V_{T} est le Vandermonde des variables (y_{j})_{j∈T}. Si T = ∅ on utilise la convention standard: soit I l’application identique de C^{m}, on pose D_{∅} = I et V_{∅} = 1.

Proposition 3 Soient f et g deux fonctions de classe C^{m} en les variables y_{1}, y_{2}, …, y_{m} alors:

D_{S}(fg) = ∑_{T ⊂S} D_{T} (f) · D_{S−T} (g)

□ La démonstration se fait laborieusement par récurrence sur m, cf [5]. □ Soit s_{1}, s_{2}, …,s_{n} des réels, avec les notations précédentes posons:

f_{n}(y_{j}) = ∑_{i=1}^{n} \frac{s_{i}}{y_{j} − ζ_{i}} ; F_{n}(\underline{y}) = ∏_{j=1}^{m} f_{n}(y_{j})

g_{n}(y_{j}) = ∏_{i=1}^{n}(y_{j} − ζ_{i})^{s_{i}} ; G_{n}(\underline{y}) = ∏_{j=1}^{m} g_{n}(y_{j})

Lemme 9 \frac{1}{G_{n}(\underline{y})}D_{S}(G_{n}(\underline{y})) est un polynôme en \underline{s} = (s_{1}, s_{2}, …, s_{n}) à coeffi-

cients dans ℤ(\underline{y} − \underline{ζ}), où \underline{y} − \underline{ζ} = \{(y_{j} − ζ_{i})_{{1≤i≤n \atop 1≤j≤m}} \}.

□ En effet \frac{1}{V (\underline{y})G(\underline{y})} \frac{∂^{m}}{∂y_{1}∂y_{2} ⋯ ∂y_{m}} V (\underline{y})G(\underline{y}) est une dérivée logarithmique

par rapport aux variables y_{1}, y_{2}, …, y_{m} et donc les exposants des y_{j} − ζ_{i} apparaissent polynomialement. □

La proposition suivante est fondamentale.

Proposition 4 On a: \frac{1}{G_{n}(\underline{y})}D_{S}(G_{n}(\underline{y})) = Φ(F_{n}(\underline{y}))

□ On procède par récurrence sur n.

Pour n = 1 écrivons ζ = ζ_{1} et s = s_{1}. Il nous faut démontrer:

\frac{1}{∏_{j=1}^{m}(y_{j} − ζ)^{s−1}} D_{S}( ∏_{j=1}^{m}(y_{j} − ζ)^{s}) = (s)_{m}  (11)

Il est clair que le membre de gauche est un polynôme en s unitaire de degré m. Il suffit donc de montrer que pour, s = 0, s = 1, …,s = m − 1 on a ∂^{(S)}(V_{S} ∏_{j∈S}(y_{j} − ζ)^{−s}) = 0. Or V_{S} ∏_{j∈S}(y_{j} − ζ)^{−s} est égal au déterminant de

la matrice carrée d’ordre m, A = A(s) = (A_{i,j})_{1≤i,j≤m}, où A_{i,j} = \frac{y_{j}^{i−1}}{(y_{j} − ζ)^{s}}.

On obtient ∂^{(S)}(∥A∥) en dérivant chacune des lignes de A par rapport à la variable y_{j} correspondante, ∂^{(S)}(∥A∥) est donc égal au déterminant de la

matrice B(s) = \frac{−1}{∏_{j∈S}(y_{j} − ζ)^{s+1}} × C où C est la matrice C = (C_{i,j})_{1≤i,j≤m}

avec C_{i,j} = (s−i+1)y_{j}^{i−1}+(i−1) ζ y_{j}^{i−2}. Notons C⃗_{ℓ} la ℓ-ième ligne de C. Pour

s = 0, 1, …, m − 1, on a ∑_{k=0}^{s}(−1)^{k}\binom{s}{k}C⃗_{s−k+1}ζ^{k} = 0, et donc ∥B(s)∥ = 0,

pour s = 0, 1, …, m − 1.

Supposons maintenant la propriété vraie à l’ordre n − 1. Posons S = {1, 2, …, m}

On peut écrire:

F_{n}(\underline{y}) = ∑_{k=0}^{m} α_{k}s_{n}^{k} avec α_{k} = ∑_{{T ⊂S \atop |T |=k}} \frac{F_{n−1}(\underline{y})}{∏_{j∈T} (y_{j} − ζ_{n})f_{n−1}(y_{j})}

the electronic journal of combinatorics 3 (2) (1996), #R1 18 D’après l’hypothèse de récurrence:

Φ (\frac{F_{n−1}(\underline{y})}{∏_{j∈T} f_{n−1}(y_{j})}) = \frac{1}{G_{n−1}(\underline{y})}D_{S−T} (G_{n−1}(\underline{y}))

de sorte que

\begin{matrix}Φ(F_{n}(\underline{y})) = ∑_{k=0}^{m} β_{k} · (s_{n})_{k} \\ avec β_{k} = \frac{1}{G_{n−1}(\underline{y})} ∑_{{T ⊂S \atop |T |=k}} \frac{1}{∏_{i∈T} (y_{i} − ζ_{n})}D_{S−T} (G_{n−1}(\underline{y})) \end{matrix}

et donc

Φ(F_{n}(y)) = \frac{1}{G_{n−1}(\underline{y})} ∑_{T ⊂S} \frac{(s_{n})_{|T |}}{∏_{j∈T} (y_{j} − ζ_{n})}D_{S−T} (G_{n−1}(\underline{y}))  (12)

D’autre part d’après la proposition 3 et la formule (11)

D_{S}(G_{n}(\underline{y})) = D_{S}( ∏_{j=1}^{m}(y_{j} − ζ_{n})^{s_{n}}G_{n−1}(\underline{y}))
= ∑_{T ⊂S} D_{T} ( ∏_{j=1}^{m}(y_{j} − ζ_{n})^{s_{n}}) · D_{S−T} (G_{n−1}(\underline{y}))
= ∑_{T ⊂S} (∏_{j∈S}(y_{j} − ζ_{n})^{s_{n}}) \frac{(s_{n})_{|T |}}{∏_{j∈T} (y_{j} − ζ_{n})}D_{S−T} (G_{n−1}(\underline{y}))

D’après la formule (12) on a D_{S}(G_{n}(\underline{y})) = Φ(F_{n}(y)) · G_{n−1}(\underline{y}) ∏_{j∈S}(y_{j} − ζ_{n})^{s_{n}} et G_{n−1}(\underline{y}) ∏_{j∈S}(y_{j} − ζ_{n})^{s_{n}} = G_{n}(\underline{y}). La proposition est démontrée □

4.3 Récurrence entre A_{n+1}^{(a,b,c)}(\underline{y}) et A_{n}^{(a+c,b+c,c)}(\underline{y})

Rappelons que l’on a pose, cf. la formule (5) et (6):

A_{n}^{(a,b,c)}(\underline{y}) =^{déf}

\frac{1}{n!} ∫_{[0,1]^{n}} ( ∏_{i=1}^{n} ∏_{j=1}^{m}(y_{j} − x_{i})) ∏_{i=1}^{n} x_{i}^{a−1}(1 − x_{i})^{b−1} ∏_{1≤i<j≤n} |x_{i} − x_{j}|^{2c} d\underline{x}

the electronic journal of combinatorics 3 (2) (1996), #R1 19

Soit P_{n} = {F (t) = ∏_{i=1}^{n}(t − φ_{i}) ∈ ℝ[t]; φ_{i} ∈ ℝ; 0 ≤ φ_{i} ≤ 1, 1 ≤ i ≤ n}. Soit:

E_{n+1} = {(F, G) ∈ P_{n} × P_{n+1} ; F (t) = ∏_{i=1}^{n}(t − φ_{i}) , G(t) = ∏_{i=1}^{n+1}(t − γ_{i}) ;

0 ≤ γ_{1} < φ_{1} < γ_{2} < … < φ_{n} < γ_{n+1} ≤ 1}

Si G(t) = ∏_{i=1}^{n+1}(t − γ_{i}) ∈ P_{n+1}, notons:

D_{n}(G) = {F ∈ P_{n}; F (t) = ∏_{i=1}^{n}(t − φ_{i}); γ_{1} < φ_{1} < γ_{2} < … < φ_{n} < γ_{n+1}}

Posons, si F ∈ P_{n}, F (t) = t^{n} + ∑_{i=0}^{n−1} F_{i} t^{i} et d\underline{F} = ∏_{i=0}^{n−1} dF_{i}. Lemme 10 Posons pour a, b, c ∈ ℝ_{+}^{∗}:

I_{m,n}^{(a,b,c)}(\underline{y}) =^{déf} ∫_{(F,G)∈E_{n+1}} ( ∏_{j=1}^{m} G(y_{j}))|G(0)|^{a−1}|G(1)|^{b−1}|R(F, G)|^{c−1}d\underline{F} d\underline{G}

Alors:

I_{m,n}^{(a,b,c)}(\underline{y}) = \frac{Γ(c)^{(n+1)}}{Γ((n + 1)c)} A_{n+1}^{(a,b,c)}(\underline{y})

□ Soit F (t) = ∏_{i=1}^{n}(t − φ_{i}) ∈ P_{n}. Soit Z(t) = t(t − 1)F (t) et soit:

D_{n+1}(Z) = {G ∈ P_{n+1} ; G(t) = ∏_{i=1}^{n+1}(t − γ_{i}) ,

avec 0 ≤ γ_{1} < φ_{1} < γ_{2} < … < φ_{n} < γ_{n+1} ≤ 1}

Intégrons I_{m,n}^{(a,b,c)}(\underline{y}) d’abord en F ∈ P_{n} puis en G ∈ P_{n+1}: I_{m,n}^{(a,b,c)}(\underline{y}) =

= ∫_{G∈P_{n+1}} ∫_{F ∈D_{n}(G)} ( ∏_{j=1}^{m} G(y_{j}))|G(0)|^{a−1}|G(1)|^{b−1} ∏_{i=1}^{n+1} |F (γ_{i})|^{c−1} d\underline{F} d\underline{G}

the electronic journal of combinatorics 3 (2) (1996), #R1 20 Appliquons le lemme 7, avec m = 0, c’est à dire avec ∏_{j=1}^{m} G(y_{j}) = 1. Soit

G′ = \frac{d}{dt}G:

∫_{F ∈D_{n}(G)} ∏_{i=1}^{n+1} |F (γ_{i})|^{c−1}d\underline{F} = ∏_{i=1}^{n+1} |G′(γ_{i})|^{c−1/2} ∫_{λ∈U_{n}} ∏_{ℓ=1}^{n+1} λ_{ℓ}^{c−1}dλ

D’après le lemme 8 avec m = 0: ∫_{λ∈U_{n}} ∏_{ℓ=1}^{n+1} λ_{ℓ}^{c−1}dλ = \frac{Γ(c)^{n+1}}{Γ((n + 1)c)}. Donc:

I_{m,n}^{(a,b,c)}(\underline{y}) =

= \frac{Γ(c)^{n+1}}{Γ((n + 1)c)} ∫_{G∈P_{n+1}} ( ∏_{j=1}^{m} G(y_{j}))|G(0)|^{a−1}|G(1)|^{b−1}|Δ(G)|^{c−1/2} d\underline{G}

D’où le résultat. □ Lemme 11 Soit F (t) ∈ P_{n} et Z(t) = t(t−1)F (t). Notons \underline{ζ} = (ζ_{1}, …, ζ_{n+2}) les zéros de Z(t), avec ζ_{1} = 0 < ζ_{2} < … < ζ_{n+1} < ζ_{n+2} = 1. Soit \underline{s} =

(s_{1}, s_{2}, …, s_{n+1}, s_{n+2}), soit F(\underline{y}, \underline{ζ}, \underline{s}) = ∏_{j=1}^{m} ( ∑_{ℓ=1}^{n+2} \frac{s_{ℓ}}{y_{j} − ζ_{ℓ}} ). Posons si s_{1} =

a, s_{2} = s_{3} = … = s_{n+1} = c, s_{n+2} = b

H^{(a,b,c)}(\underline{y}, \underline{ζ}) = Φ( F(\underline{y}, \underline{ζ}, \underline{s})) s_{1}=a ; s_{2}=...=s_{n+1}=c ; s_{n+2}=b

Alors: I_{m,n}^{(a,b,c)}(\underline{y}) =

= \frac{Γ(a)Γ(b)Γ(c)^{n}}{Γ(m + a + b + nc)} ∫_{F ∈P_{n}} |F (0)|^{a+c−1} · |F (1)|^{b+c−1} · |Δ(F)|^{c−1/2} ×

× (∏_{j=1}^{m}(y_{j}(1 − y_{j})F (y_{j})) H^{(a,b,c)}(\underline{y}, \underline{ζ})d\underline{F}

□ Intégrons d’abord en G puis en F dans la définition de I_{m,n}^{(a,b,c)}(\underline{y}). Il vient: I_{m,n}^{(a,b,c)}(\underline{y}) =

= ∫_{F ∈P_{n}} ∫_{G∈D_{n+1}(Z)} ( ∏_{j=1}^{m} G(y_{j}))|G(0)|^{a−1}|G(1)|^{b−1}|R(F, G)|^{c−1}d\underline{F} d\underline{G}

Notons φ_{1} = ζ_{2}, …, φ_{n} = ζ_{n+1} les zéros de F.

On a Z′(ζ_{i+1}) = φ_{i}(φ_{i} − 1)F′(φ_{i}) pour 1 ≤ i ≤ n. De même on a Z′(0) = −F (0) et Z′(1) = F (1), d’où |∏_{i=2}^{n+1} Z′(ζ_{i})| = |F (0)| |F (1)| |Δ(F)|. On applique la proposition 2 et le lemme 8. □

Lorsqu’il sera nécessaire de préciser les variables on notera ∂(T) ; \underline{y} au lieu de ∂^{(T)}. On notera egalement V (\underline{y}) au lieu de V_{S}(\underline{y}) le Vandermonde en les variables \underline{y} = (y_{1}, …, y_{m}). Si U ⊂ S, |U| est le cardinal de U.

On montre facilement le lemme suivant.

Lemme 12 Soit 𝔇 = 𝔇(a,b,c) ; \underline{y} l’opérateur différentiel sur ℝ[\underline{y}] = ℝ[y_{1}, …, y_{m}] défini de la manière suivante:

𝔇(a,b,c) ; \underline{y}(Ψ(\underline{y})) =

= \frac{1}{Ψ(\underline{y})^{c−1}} ∏_{j=1}^{m} \frac{1}{y_{j}^{a−1}(y_{j} − 1)^{b−1}} · D_{S}(( ∏_{j=1}^{m} y_{j}^{a}(y_{j} − 1)^{b})Ψ(\underline{y})^{c})

Soit P (\underline{y}) = V (\underline{y}) ∏_{j=1}^{m} y_{j}^{a−1}(y_{j} − 1)^{b−1}, Q(\underline{y}) = V (\underline{y}) ∏_{j=1}^{m} y_{j}^{a}(y_{j} − 1)^{b} et soit

η_{T} (\underline{y}) = \frac{c^{|S−T |}}{P (\underline{y})} ∂^{(T)}(Q(\underline{y})).

Si Ψ(\underline{y}) = ψ_{1}(y_{1})ψ_{2}(y_{2}) ⋯ ψ_{m}(y_{m}) où ψ_{i}(y_{i}) ∈ ℝ[y_{i}], alors

𝔇(a,b,c) ; \underline{y}(Ψ(\underline{y})) = ∑_{T ⊂S} η_{S−T} (\underline{y})∂^{(T)}(Ψ(\underline{y}))

Remarquons que les η_{T} (\underline{y}) ne dépendent pas de Ψ.

Ce lemme montre que la restriction de l’opérateur non linéaire 𝔇(a,b,c) ; \underline{y} aux polynômes qui sont des produits de polynômes à une variable coïncide avec un opérateur différentiel linéaire à coefficients dans ℚ(y_{1}, …, y_{m}).

Proposition 5 On a:

A_{n+1}^{(a,b,c)}(\underline{y}) = \frac{Γ(a)Γ(b)Γ((n + 1)c)}{Γ(m + a + b + nc)Γ(c)} ∑_{T ⊂S} η_{S−T} (\underline{y})∂^{(T)}(A_{n}^{(a+c,b+c,c)}(\underline{y}))

□ Soit F un polynôme à une variable F ∈ ℝ[y], de degré n. Soit Z(t) = y(y − 1)F (y) et soient ζ_{1} = 0, ζ_{2}, …, ζ_{n+1}, ζ_{n+2} = 1 les racines de Z(y),

donc ∏_{i=1}^{n+2}(y − ζ_{i}) = y(y − 1)F (y). Posons: h(y) = ∑_{i=1}^{n+2} \frac{s_{i}}{y − ζ_{i}} et F(\underline{y}, \underline{ζ}, \underline{s}) =

∏_{j=1}^{m} h(y_{j}). Montrons alors que:

(∏_{j=1}^{m} y_{j}(y_{j} − 1)F (y_{j})) H^{(a,b,c)}(\underline{y}, \underline{ζ}) = 𝔇(a,b,c) ; \underline{y} (∏_{j=1}^{m} F (y_{j}))  (13)

où H^{(a,b,c)}(\underline{y}, \underline{ζ}) a été défini au lemme 11. On a vu en effet à la proposition 4 que:

Φ(F(\underline{y}, \underline{ζ}, \underline{s})) = \frac{1}{V (\underline{y})} ∏_{i=1}^{n+2} ∏_{j=1}^{m} \frac{1}{(y_{j} − ζ_{i})^{s_{i}}} ∂^{(S)} (V (\underline{y}) ∏_{i=1}^{n+2} ∏_{j=1}^{m}(y_{j} − ζ_{i})^{s_{i}})

Comme s_{1} = a, s_{2} = s_{3} = … = s_{n+1} = c, s_{n+2} = b, il vient:

H^{(a,b,c)}(\underline{y}, \underline{ζ}) =

= \frac{1}{V (\underline{y})} (∏_{j=1}^{m} \frac{1}{y_{j}^{a}(y_{j} − 1)^{b}F (y_{j})^{c}} ) ∂(S) ; \underline{y} (V (\underline{y}) ∏_{j=1}^{m} y_{j}^{a}(y_{j} − 1)^{b}F (y_{j})^{c})

D’où le résultat (13).

On a alors:

∫_{F ∈P_{n}} |F (0)|^{a+c−1}|F (1)|^{b+c−1}|Δ(F)|^{c−1/2} (∏_{j=1}^{m} y_{j}(y_{j} − 1)F (y_{j})) ×

×H^{(a,b,c)}(\underline{y}, \underline{ζ})d\underline{F} =
= ∑_{T ⊂S} η_{S−T} (\underline{y})∂^{(T)}(A_{n}^{(a+c,b+c,c)}(\underline{y}))  (14)

En effet d’après la formule (13), on a:

∫_{F ∈P_{n}} |F (0)|^{a+c−1}|F (1)|^{b+c−1}|Δ(F)|^{c−1/2} (∏_{j=1}^{m} y_{j}(y_{j} − 1)F (y_{j})) ×

×H^{(a,b,c)}(\underline{y}, \underline{ζ})d\underline{F} =

the electronic journal of combinatorics 3 (2) (1996), #R1 23

= ∫_{F ∈P_{n}} |F (0)|^{a+c−1}|F (1)|^{b+c−1}|Δ(F)|^{c−1/2} ×

×𝔇(a,b,c) ; \underline{y}( ∏_{j=1}^{m} F (y_{j}))d\underline{F}

D’après le lemme 12 on a: ∫_{F ∈P_{n}} |F (0)|^{a+c−1}|F (1)|^{b+c−1}|Δ(F)|^{c−1/2}×

×𝔇(a,b,c) ; \underline{y}( ∏_{j=1}^{m} F (y_{j}))d\underline{F}

=∫_{F ∈P_{n}} |F (0)|^{a+c−1}|F (1)|^{b+c−1}|Δ(F)|^{c−1/2} ×

× \{∑_{T ⊂S} η_{S−T} (\underline{y})∂^{(T)}( ∏_{j=1}^{m} F (y_{j}))\} d\underline{F}

=∑_{T ⊂S} η_{S−T} (\underline{y})∂^{(T)} (∫_{F ∈P_{n}} |F (0)|^{a+c−1}|F (1)|^{b+c−1}|Δ(F)|^{c−1/2} ∏_{j=1}^{m} F (y_{j})d\underline{F} )

Par définition le dernier membre est égal à:

∑_{T ⊂S} η_{S−T} (\underline{y})∂^{(T)}(A_{n}^{(a+c,b+c,c)}(\underline{y}))

Les lemmes 10 et 11 et la formule (14) entraînent le résultat. □

En utilisant les notations de [7] on obtient le lemme suivant: Lemme 13 Soit f(\underline{y}) = 2^{m} ∏_{i=1}^{m} y_{i}, g(\underline{y}) = (−2)^{m} ∏_{i=1}^{m}(y_{i} − 1). Soit, pour S = S_{m} = {1, 2, …, m} (cf. [7])

D_{−,\underline{y}}^{γ} =^{déf} \frac{1}{V_{S}(\underline{y})} ∑_{k=0}^{m} (γ + \frac{1}{2})^{k} ∑_{{|T |=k \atop T ⊂S}} (∂(T) ; \underline{y}V_{S}(\underline{y}))∂(S−T) ; \underline{y}
D_{+,\underline{y}}^{(α,β,γ)} =^{déf} \frac{1}{f^{α}g^{β}} ∘ D_{−,\underline{y}}^{γ} ∘ f^{α+1}g^{β+1}

Il existe alors des fonctions rationnelles ρ(α,β,γ)_{U}(\underline{y}) définies pour U ⊂ S_{m} telles que:

D_{+,\underline{y}}^{(α,β,γ)} = ∑_{U⊂S} ρ(α,β,γ)_{U}(\underline{y})∂(U) ; \underline{y}

En posant δ = γ + \frac{1}{2}, on a:

ρ(α,β,γ)_{U}(\underline{y}) = \frac{(−4)^{m}}{V_{S}(\underline{y}) ∏_{i=1}^{m} y_{i}^{α}(y_{i} − 1)^{β}} ×

× ∑_{T ⊂S−U} δ^{|T |}(∂(T) ; \underline{y}V_{S}(\underline{y})) · (∂(S−T −U) ; \underline{y} ∏_{i=1}^{m} y_{i}^{α+1}(y_{i} − 1)^{β+1})

de plus V_{S}(\underline{y})ρ(α,β,γ)_{U}(\underline{y}) est un polynôme antisymétrique en les y_{i}.

□ Voir [7] chapitre II, pour les définitions et les propriétés des opérateurs D_{−,\underline{y}}^{γ} et D_{+,\underline{y}}^{(α,β,γ)}. La démonstration du lemme est élémentaire en remarquant que l’on a la relation suivante: D_{−,\underline{y}}^{γ} = (−2)^{m}D_{−,\underline{x}}^{γ}. □

Posons:

α = \frac{a}{c} − 1, β = \frac{b}{c} − 1, et γ = \frac{1}{c} − \frac{1}{2} ⟺ δ = \frac{1}{c}  (15)

Lemme 14 Si W ⊂ S et si (α, β, γ) sont reliées à (a, b, c) par les formules (15) on a:

\frac{1}{∏_{i=1}^{m} y_{i}^{α}(y_{i} − 1)^{β}} ∂(W) ; \underline{y}( ∏_{i=1}^{m} y_{i}^{α+1}(y_{i} − 1)^{β+1}) =

= c^{−|W |} \frac{1}{∏_{i=1}^{m} y_{i}^{a−1}(y_{i} − 1)^{b−1}} ∂(W) ; \underline{y}( ∏_{i=1}^{m} y_{i}^{a}(y_{i} − 1)^{b})

□ En effet:

\frac{1}{∏_{i=1}^{m} y_{i}^{α}(y_{i} − 1)^{β}} ∂(W) ; \underline{y}( ∏_{i=1}^{m} y_{i}^{α+1}(y_{i} − 1)^{β+1}) =

= ∏_{i∈W} ((α + 1)y_{i} + (β + 1)(y_{i} − 1))

= c^{−|W |} \frac{1}{∏_{i=1}^{m} y_{i}^{a−1}(y_{i} − 1)^{b−1}} ∂(W) ; \underline{y}( ∏_{i=1}^{m} y_{i}^{a}(y_{i} − 1)^{b})□

Rappelons que si U ⊂ S, alors:

η_{U} (\underline{y}) = η_{U}^{(a,b,c)}(\underline{y}) = \frac{c^{|S−U|}}{V_{S}(\underline{y}) ∏_{i=1}^{m} y_{i}^{a−1}(y_{i} − 1)^{b−1}} ∂(U) ; \underline{y}( ∏_{i=1}^{m} y_{i}^{a}(y_{i} − 1)^{b} V_{S}(\underline{y}))

Lemme 15 Soit ρ( \frac{a}{c} −1, \frac{b}{c} −1, \frac{1}{c} − \frac{1}{2} )_{U}(\underline{y}) défini au lemme 13 et η_{U}^{(a,b,c)}(\underline{y}) défini au lemme 12, alors:

ρ( \frac{a}{c} −1, \frac{b}{c} −1, \frac{1}{c} − \frac{1}{2} )_{U}(\underline{y}) = (−\frac{4}{c})^{|S|} η(a,b,c)_{S−U}(\underline{y})

□ D’après le lemme 14, avec δ = \frac{1}{c}, |S| = m et α, β, γ comme à la formule (15):

ρ_{U}^{(α,β,γ)}(\underline{y}) =^{déf} \frac{(−4)^{m}}{V_{S}(\underline{y}) ∏_{i=1}^{m} y_{i}^{α}(y_{i} − 1)^{β}} ∑_{T ⊂S−U} δ^{|T |}(∂(T) ; \underline{y}V_{S}(\underline{y}))×

×(∂(S−T −U) ; \underline{y} ∏_{i=1}^{m} y_{i}^{α+1}(y_{i} − 1)^{β+1})

= \frac{(−4)^{m}}{V_{S}(\underline{y}) ∏_{i=1}^{m} y_{i}^{a−1}(y_{i} − 1)^{b−1}} ∑_{T ⊂S−U} δ^{|T |}c^{−|S−T −U|}(∂(T) ; \underline{y}V_{S}(\underline{y})) ×

×(∂(S−T −U) ; \underline{y} ∏_{i=1}^{m} y_{i}^{a}(y_{i} − 1)^{b})

= (−\frac{4}{c})^{m} \frac{c^{|U|}}{V_{S}(\underline{y}) ∏_{i=1}^{m} y_{i}^{a−1}(y_{i} − 1)^{b−1}} ∂(S−U) ; \underline{y}( ∏_{i=1}^{m} y_{i}^{a}(y_{i} − 1)^{b}V_{S}(\underline{y}))

= (−\frac{4}{c})^{m} η(a,b,c)_{S−U}(\underline{y})□

Proposition 6 Avec les notations ci-dessus on a:

A_{n+1}^{(a,b,c)}(\underline{y}) =

= \frac{Γ(a) Γ(b) Γ((n + 1)c)}{Γ(m + a + b + nc) Γ(c)} (−\frac{c}{4})^{m} D_{+,\underline{y}}^{( \frac{a}{c} −1, \frac{b}{c} −1, \frac{1}{c} − \frac{1}{2} )}(A_{n}^{(a+c,b+c,c)}(\underline{y}))

□ On applique la proposition 5 et les lemmes 13 et 15 □

4.4 Expression de A_{n}^{(a,b,c)}(\underline{y}) à l’aide des polynômes de Jacobi généralisés.

Lemme 16 Soit α = \frac{a}{c} − 1, β = \frac{b}{c} − 1, γ = \frac{1}{c} − \frac{1}{2}. Soit f(\underline{y}) = 2^{m} ∏_{i=1}^{m} y_{i},

g(\underline{y}) = (−2)^{m} ∏_{i=1}^{m}(y_{i} − 1) et soit, pour S = \{1, 2, …, m\}, D_{−,\underline{y}}^{γ} et D_{+,\underline{y}}^{(α,β,γ)}

comme au lemme 13. Alors:

A_{n+1}^{(a,b,c)}(\underline{y}) = A_{n+1}^{(a,b,c)}(y_{1}, …, y_{m}) =

= \{ ∏_{j=0}^{n} ( − \frac{c}{4})^{m} \frac{Γ(a + jc)Γ(b + jc)Γ((n + 1 − j)c)}{Γ(m + a + b + (n + j)c)Γ(c)}\} ×

×\{D_{+,\underline{y}}^{(α,β,γ)} ∘ D_{+,\underline{y}}^{(α+1,β+1,γ)} ∘ ⋯ ∘ D_{+,\underline{y}}^{(α+n,β+n,γ)}\}(A_{0}^{(a+(n+1)c,b+(n+1)c,c)}(\underline{y}))

□ Il suffit d’itérer la proposition 6. □

Soit \underline{r} = (r_{1}, r_{2}, …, r_{p}) une partition, avec r_{1} ≥ r_{2} ≥ ⋯ ≥ r_{p}. Soit

\underline{x} = (x_{1}, …, x_{p}). Posons P\underline{r}(\underline{x}) = ∑σ∈𝔇_{p}^{′} x_{1}^{r_{σ(1)}}x_{2}^{r_{σ(2)}} ⋯ x_{p}^{r_{σ(p)}}, où ∑′ désigne

une sommation sur les σ ∈ 𝔇_{p} qui induisent des permutations distinctes sur la partition \underline{r}.

Soit P (\underline{x}) un polynôme symétrique en les variables (x_{1}, …, x_{p}), cf. [23]. On sait qu’il existe une unique partition \underline{n}, appelée le degré symétrique de P, telle que P (\underline{x}) = ∑_{\underline{r}≤\underline{n}} c\underline{r}P\underline{r}(\underline{x}) où la somme porte sur toutes les partitions,

\underline{r}, plus petites que la partition \underline{n} pour l’ordre lexicographique naturel sur les partitions, cf. [23].

Le terme P\underline{n}(\underline{x}) dans la décomposition précédente de P (\underline{x}) s’appelle le symbole principal, c’est à dire le terme de plus haut degré pour l’ordre lexicographique mis sur les partitions.

Soit

X (\underline{x}) = \{ \begin{matrix}e_{1}(\underline{x}) & = & e_{1}(x_{1}, …, x_{p}) & = & (−1) ∑_{i=1}^{p} x_{i} \\ e_{2}(\underline{x}) & = & e_{2}(x_{1}, …, x_{p}) & = & ∑_{1≤i<j≤p} x_{i}x_{j} \\ ⋮ & & ⋮ & & ⋮ \\ e_{p}(\underline{x}) & = & e_{p}(x_{1}, …, x_{p}) & = & (−1)^{p} ∏_{i=1}^{p} x_{i} \end{matrix}

les fonctions symétriques élémentaires en les variables \underline{x} = (x_{1}, …, x_{p}). On sait, [23], que tout polynôme symétrique P (\underline{x}) = P (x_{1}, …, x_{p}) peut s’écrire de manière unique comme un polynôme en les fonctions symétriques élémentaires que l’on appelle les variables symétriques. De plus on a P\underline{r}(\underline{x}) = e_{1}^{r_{1}−r_{2}}e_{2}^{r_{2}−r_{3}} ⋯ e_{p−1}^{r_{p−1}−r_{p}}e_{p}^{r_{p}}.

Soit \underline{n} = (n, n, …, n) = n^{m} la partition composée de m parts égales à n. Soit \underline{n} − \underline{1} = (n − 1, n − 1, …, n − 1) = \{n − 1\}^{m}. Rappelons tout d’abord la définition de l’élément de volume invariant, dV (α,β,γ) ; \underline{x}, en coordonnées algébriques attaché au système de racines de type BC_{p} avec multiplicité (α, β, γ) (cf. [7] Chapitre 1):

dV (α,β,γ) ; \underline{x} = ∏_{i=1}^{p}(1 − x_{i})^{α}(1 + x_{i})^{β} ∏_{1≤i<j≤p}(x_{i} − x_{j})^{2γ+1} ∏_{i=1}^{p} dx_{i} (16)

On rappelle maintenant la définition des polynomes de Jacobi généralisés à m variables introduits par Debiard [7].

Définition 4 Le polynôme de Jacobi symétrique P (α,β,γ) ; \underline{n}(\underline{x}) = P (α,β,γ) ; \underline{n}(\underline{e}) associé à la partition \underline{n} = (n_{1} ≥ n_{2} ≥ … ≥ n_{p}) est l’unique polynôme tel que:

1. son symbole principal est en variables symétriques (e_{1}, …, e_{p}):

Π̃(α,β,γ) ; \underline{n}(\underline{e}) = e_{1}^{n_{1}−n_{2}}e_{2}^{n_{2}−n_{3}} ⋯ e_{p−1}^{n_{p−1}−n_{p}}e_{p}^{n_{p}}

ou en variables (x_{1}, …, x_{p}):

Π(α,β,γ) ; \underline{n}(\underline{x}) = ∑σ∈𝔇_{p}^{′} x_{1}^{n_{σ(1)}}x_{2}^{n_{σ(2)}} ⋯ x_{p}^{n_{σ(p)}}

(∑′ désigne une sommation sur les σ ∈ 𝔇_{p} qui induisent des permutations distinctes sur \underline{n}).

2. pour tout polynôme symétrique Q(\underline{x}) de degré symétrique < \underline{n},

∫_{C_{x}} P (α,β,γ) ; \underline{n}(\underline{x})Q(\underline{x})dV_{p}^{(α,β,γ)}(\underline{x}) = 0

the electronic journal of combinatorics 3 (2) (1996), #R1 28 Ces deux conditions suffisent à définir P (α,β,γ) ; \underline{n}(\underline{x}). Soit P̃ (α,β,γ) ; \underline{n}(\underline{y}) le polynôme de Jacobi généralisé à m variables introduit à la définition 4 exprimé dans les variables \underline{y} = \frac{1 − \underline{x}}{2}. C’est à dire que:

P̃ (α,β,γ) ; \underline{n}(\underline{y}) = P (α,β,γ) ; \underline{n}(1 − 2\underline{y}) = P (α,β,γ) ; \underline{n}(1 − 2y_{1}, …, 1 − 2y_{m})

On sait, cf. Debiard [7] proposition 2.8 et théorème 2.10, qu’il existe des constante d(α,β,γ) ; \underline{n} telles que:

D_{+,\underline{x}}^{(α,β,γ)}P_{\underline{n}−1}^{(α+1,β+1,γ)}(\underline{x}) = d(α,β,γ) ; \underline{n}P (α,β,γ) ; \underline{n}(\underline{x})

Dans les nouvelles variables \underline{y}, cette relation devient:

D_{+,\underline{y}}^{(α,β,γ)}(P̃_{\underline{n}−1}^{(α+1,β+1,γ)}(\underline{y})) = (−2)^{m}d(α,β,γ) ; \underline{n}P̃ (α,β,γ) ; \underline{n}(\underline{y})
= (−2)^{m}d(α,β,γ) ; \underline{n}P (α,β,γ) ; \underline{n}(1 − 2\underline{y})  (17)

Lemme 17 Soit \underline{n} − \underline{j} + \underline{1} la partition composée de m parts égales de taille

n − j + 1. Il existe une constante K_{n}(a, b, c) =^{déf} ∏_{j=0}^{n} c^{m}d_{\underline{n}−\underline{j}+\underline{1}}^{( \frac{a}{c} +j, \frac{b}{c} +j, \frac{1}{c} − \frac{1}{2} )} telle que:

A_{n+1}^{(a,b,c)}(\underline{y}) = A_{n+1}^{(a,b,c)}(y_{1}, …, y_{m}) = (−2)^{m(n+1)}K_{n}(a, b, c)×

×( ∏_{j=0}^{n} \frac{Γ(a + jc)Γ(b + jc)Γ((n + 1 − j)c)}{Γ(m + a + b + (n + j)c)Γ(c)})P̃ ( \frac{a}{c} −1, \frac{b}{c} −1, \frac{1}{c} − \frac{1}{2} )_{n+1,...,n+1}(\underline{y})

□ Par définition:

A_{n}^{(a,b,c)}(\underline{y}) = ∫_{F ∈P_{n}(t)} (∏_{j=1}^{m} F (y_{j})) |F (0)|^{a−1} |F (1)|^{b−1} |Δ(F)|^{c− \frac{1}{2}} d\underline{F}

Si n = 0 alors P_{0}(t) = \{1\} et donc A_{0}^{(a,b,c)}(\underline{y}) = 1. Par conséquent:

A_{0}^{(a+(n+1)c,b+(n+1)c,c)}(\underline{y}) = 1 = P̃ ( \frac{a}{c} +n, \frac{b}{c} +n, \frac{1}{c} − \frac{1}{2} )_{0,0,...,0}(\underline{y})

Le résultat découle du lemme 16 et de la formule (17). □

Théorème 2 Soit S_{n+1}^{(a,b,c)} l’intégrale de Selberg (cf. [30] ou la formule (2)). On a:

A_{n+1}^{(a,b,c)}(\underline{y}) = (−2)^{−m(n+1)}S_{n+1}^{(a,b,c)} · P ( \frac{a}{c} −1, \frac{b}{c} −1, \frac{1}{c} − \frac{1}{2} )_{n+1,...,n+1}(1 − 2\underline{y})

= (−2)^{−m(n+1)} (∏_{j=0}^{n} \frac{Γ(a + jc) Γ(b + jc) Γ((j + 1)c)}{Γ(a + b + (n + j)c) Γ(c)}) P ( \frac{a}{c} −1, \frac{b}{c} −1, \frac{1}{c} − \frac{1}{2} )_{n+1,...,n+1}(1 − 2\underline{y})

□ Pour passer du lemme 17 au théorème il faut calculer la valeur de la constante K_{n}(a, b, c). On le fait de la manière suivante, cf. aussi la remarque 4.4.1.

Par définition les polynômes de Jacobi généralisés symétriques, P (α,β,γ) ; \underline{n}(\underline{x}) sont unitaires et leur terme de degré symétrique maximal est e_{m}(\underline{x})^{n} (cf. la définition 4). Or le coefficient du terme de plus haut degré symétrique

de A_{n+1}^{(a,b,c)}(\underline{y}) est \frac{1}{(n + 1)!} ∫_{\underline{x}∈[0,1]^{n+1}} (∏_{i=1}^{n+1} x_{i}^{a−1}(1 − x_{i})^{b−1}) |V_{n+1}(\underline{x})|^{2c}d\underline{x} qui

n’est autre que l’intégrale de Selberg classique (1) dont la valeur est connue. En tenant compte du fait que nous sommes en variables \underline{y} il vient:

(−2)^{−m(n+1)}S_{n+1}^{(a,b,c)} =

= (−2)^{−m(n+1)}K_{n}(a, b, c) ∏_{i=0}^{n} \frac{Γ(a + ic)Γ(b + ic)Γ((n + 1 − i)c)}{Γ(m + a + b + (n + i)c)Γ(c)}

On tire de là facilement à partir de la formule (17) que

A_{n+1}^{(a,b,c)}(\underline{y}) = (−2)^{m(n+1)}S_{n+1}^{(a,b,c)} P_{\underline{n}+1}^{( \frac{a}{c} −1, \frac{b}{c} −1, \frac{1}{c} − \frac{1}{2} )}(1 − 2\underline{y})

. □

4.4.1 Remarque 2

On peut retrouver le théorème 2 en utilisant les valeurs données par Debiard pour les constantes d(α,β,γ) ; \underline{n}. En effet on a (cf. [7] lemme 3.5):

d(α,β,γ) ; \underline{n} = (−1)^{m} ∏_{j=1}^{m} (n + α + β + 1 + (m − j)\frac{2γ + 1}{2}) et donc:

d_{\underline{n}−\underline{j}+\underline{1}}^{( \frac{a}{c} +j, \frac{b}{c} +j, \frac{1}{c} − \frac{1}{2} )} = (−1)^{m} ∏_{j=1}^{m} (n + j + \frac{a}{c} + \frac{b}{c} + \frac{m − j}{c} )

De là on tire :

Γ(m + a + b + (n + j)c) d_{\underline{n}−\underline{j}+\underline{1}}^{( \frac{a}{c} +j, \frac{b}{c} +j, \frac{1}{c} − \frac{1}{2} )} = (−c)^{m}Γ(a + b + (n + j − 1)c)

Le théorème est alors immédiat.

4.4.2 Remarque 3

Ici la normalisation utilisée dans [7] est donc plus agréable que la normalisation ordinaire, cf. [29], pour les polynômes de Jacobi.

4.4.3 Remarque 4

Dans le théorème 2 on peut égaler certaines des variables y_{i}. Ce théorème nous permet donc de calculer au moins théoriquement des intégrales du type:

∫_{[0,1]^{n}} ∏_{j=1}^{m} ∏_{i=1}^{n}(y_{j} − x_{i})^{n_{j}} ∏_{i=1}^{n} x_{i}^{a−1}(1 − x_{i})^{b−1} ∏_{1≤i<j≤n} |x_{i} − x_{j}|^{2c} d\underline{x}  (18)

où les n_{j} sont des entiers positifs.

Nous reviendrons sur ce problème ultérieurement.

4.4.4 Remarque 5

Même dans le cas où X (\underline{x}) est un produit de fonctions symétriques élémentaires, le théorème 2 ainsi que la remarque 4.4.3 ne donnent pas une réponse totalement satisfaisante au problème du calcul de l’intégrale

\frac{1}{n!} ∫_{[0,1]^{n}} X (\underline{x}) ∏_{i=1}^{n} x_{i}^{a−1}(1 − x_{i})^{b−1} ∏_{1≤i<j≤n} |x_{i} − x_{j}|^{2c} d\underline{x}

En effet les coefficients des polynômes de Jacobi généralisés symétriques P (α,β,γ) ; \underline{n}(1−2y_{1}, …, 1−2y_{m}) ne sont connus explicitement que pour quelques valeurs particulières de n et m, [8]. Nous reviendrons sur ce problème ultérieurement.

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