Connexions ayant la proprieté tensorielle associé à une transformation projectif quaternionique

Viorel Mihăilescu, Constantin Udrişte

Abstract

Un exemple classique de tenseur associé à une connexion affine Γ_{jk}^{i} sur l’espace projectif réel est le tenseur Π_{jk}^{i} du Thomas. Un tenseur analoque sur l’espace projectif complex est la tenseur M_{jk}^{i} du Vrănceanu [8].

Dans le présent article on fait une étude des transformations projectives quaternionique qui permettent d’associer à une connexion affine un champ tensoriel Q_{βγ}^{α}. Le probleme a été proposé par Vrănceanu [8].

Dans la partie finale on montre qu’on peut considérer sur les variétés localement projectives complexes un champ tensoriel ayant comme composantes les coefficients M_{jk}^{i}, ainsi que Hangan [1-3] montre que sur les variétés localement projectives réels on peut considerer un champ tensoriel ayant comme composantes les coefficients Π_{jk}^{i} tensoriel ayant comme composantes les coefficients Π_{jk}^{i}.

Mathematics Subject Classification: 53B05, 53C05 Key Words: transformation projective quaternionique, equation Bortolotti-Vrănceanu-Hangan, tenseur Thomas-Vrănceanu-Hangan.

1 Derivées partielles de la transformation projectif quaternionique

Soit H le corps des quaternions et D : a_{l}q^{l} + a ≠ 0, une ensemble ouvert de H^{n}. La transformation

(1)  T : D → H^{n}, q^{h′} = (a_{l}^{h}q^{l} + a^{h})(a_{l}q^{l} + a)^{−1}; h, l = 1, 2, ..., n

où a_{l}^{h}, a^{h}, a_{l}, a sont des quaternions constantes, on appelée transformation projectif quaternionique.

Dans ce paragraphe nous remémorons quelques résultats établies par Marchiafava [4].

En différentiant l’égalité

Balkan Journal of Geometry and Its Applications, Vol.3, No.2, 1998, pp. 53-59 \begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}Balkan Society of Geometers, Geometry Balkan Press

q^{h′}(a_{l}q^{l} + a) = a_{l}^{h}q^{l} + a^{h}

nous obtenons que la différentille de la fonction q^{h′} peut être mise sous la forme

(2)  dq^{h′} = A_{l}^{h}dq^{l}Q,

où

(3)  A_{l}^{h} = −q^{h′}a_{l} + A_{l}^{h}
(4)  Q = (a_{l}q^{l} + a)^{−1}.

En différentiant l’égalité (3) et tenant compte de(2), nous en trouverons

(5)  dA_{l}^{h} = −A_{s}^{h}dq^{s}Qa_{l}.

En différentiant l’égalité

(a_{l}q^{l} + a)Q = 1

nous obtenons

(6)  dQ = −Qa_{l}dq^{l}Q.

Dans ce qui suit, les indices latins h, l, s, ... prennent les valeurs de 1 à n et les indices grecs α, β, ... de 1 à 4n.

Aussi, il sera utile de noter

e_{4h−3} = 1, e_{4h−2} = i, e_{4h−1} = j, e_{4h} = k; h = 1, 2, ..., n,

où {1, i, j, k} est la base canonique du R^{4}.

Si nous écrivons les variables quaternioniques apparaissant dans (1) sous la forme

(7)  q^{k} = x^{4h−3} + x^{4h−2}i + x^{4h−1}j + x^{4h}k

alors les egalitées (2), (5), (6) nous montrent que les derivées des fonctions q^{h′}, A_{s}^{h}, Q par rapport aux variables réels x^{α} sont

(8)  \frac{∂q^{h′}}{∂x^{α}} = A_{l}^{h}e_{α}Q

(9)  \frac{∂A_{s}^{h}}{∂x^{α}} = −A_{l}^{h}e_{α}Qa_{s}

(10)  \frac{∂Q}{∂x^{α}} = −Qa_{l}e_{α}Q,

où α = 4l − 3, 4l − 2, 4l − 1, 4l.

De l’égalité (8) nous obtenous

(11)  A_{l}^{h} = \frac{∂q^{h′}}{∂x^{4l−3}} Q^{−1}

et aussi

(12)  \frac{∂q^{h′}}{∂x^{α}} = \frac{∂q^{h′}}{∂x^{4l−3}} Q^{−1}e_{α}Q,

où α = 4l − 2, 4l − 1, 4l.

2 Equations Bortolotti-Vrănceanu-Hangan satisfaites par les transformations projectives quaternioniques

Si nous écrivons les fonctions quaternioniques q^{h′} definies par (1) sous les forme

(13)  q^{h′} = x^{4h′−3} + x^{4h′−2}i + x^{4h′−1}j + x^{4h′}k

et si nous introduissons leur derivées partielles par rapport aux variebles réels x^{4l−3}, x^{4l−2}, x^{4l−1}, x^{4l} dans l’égalité (8), alors nous constaterons que pour α = 4h − 3, 4h − 2, 4h − 1, 4h est vraie l’égalité

Ā_{l}^{h}e_{α}Q̄ = \frac{∂x^{α′}}{∂x^{4l−3}} + \frac{∂x^{α′}}{∂x^{4l−2}} i + \frac{∂x^{α′}}{∂x^{4l−1}} j + \frac{∂x^{α′}}{∂x^{4l}} k.

En prenant les conjuguées dans cette égalité et tenant compte de la formule (11) nous obtenons

(14) ē_{α} \frac{∂q^{h′}}{∂x^{4l−3}} = Q^{−1} (\frac{∂x^{α′}}{∂x^{4l−3}} − \frac{∂x^{α′}}{∂x^{4l−2}} i − \frac{∂x^{α′}}{∂x^{4l−1}} j − \frac{∂x^{α′}}{∂x^{4l}} k) Q.

En identifiant R^{4n} ≡ H^{n} par les formules (7), la transformation T peut s’écrire sous la forme

(1′)  x^{α′} = x^{α′}(x^{1}, x^{2}, ..., x^{4n}); α′ = 4h′ − 3, 4h′ − 2, 4h′ − 1, 4h′.

Lemma 1. Si Δ = |\frac{∂x^{α′}}{∂x^{β}} | est le Jacobian de la transformation T , alors

nous avons

(15)  Δ = K∥Q∥^{4(n+1)},

où K este une constante réels.

Démonstration. En effet, si tous les quaternions a_{1}, a_{2}, ..., a_{n} sont nuls, alors l’égalité (15) est évidemment vraie. Si ces quaternions ne sont pas tout nuls, par exemple a_{1} ≠ 0, alors nous avons

T = T_{1} ∘ T_{2} ∘ T_{3},

où les transformations T_{1}, T_{2}, T_{3} sont definies par les formules

T_{1} : q^{h′} = [a^{h} − a_{1}^{h}(a_{1})^{−1}a]q^{1} + [a_{l}^{h} − a_{1}^{h}(a_{1})^{−1}a_{l}]q^{l} + a_{1}^{h}(a_{1})^{−1}
T_{2} : q^{1′} = (q^{1})^{−1}, q^{h′} = q^{h}(q^{1})^{−1}
T_{3} : q^{1′} = a_{l}q^{l} + a, q^{h′} = q^{h}.

Donc

(16)  Δ = Δ_{1}Δ_{2}Δ_{3}

où Δ_{1}, Δ_{2}, Δ_{3} sont les Jacobiens des transformations T_{1}, T_{2}, T_{3} calculées dans les points:

(T_{2} ∘ T_{3})(q^{1}, q^{2}, ..., q^{n}), T_{3}(q^{1}, q^{2}, ..., q^{n}), (q^{1}, q^{2}, ..., q^{n})

Les déterminants Δ_{1} et Δ_{3} sont constants et le Jacobien de la transformation T_{2} est ∥q^{1}∥^{−4(n+1)}. Parce que

T_{3}(q^{1}, q^{2}, ..., q^{n}) = (Q^{−1}, q^{2}, ..., q^{n})

il resulte que

Δ_{2} = ∥Q∥^{4(n+1)}.

En posant K = Δ_{1}Δ_{3} dans les formule (16), nous obtenons (15). Si Δ ne s’annule pas, nous pouvons former les fonctions quaternionique

(17)  A_{l} = \frac{1}{Δ} (\frac{∂Δ}{∂x^{4l−3}} + \frac{∂Δ}{∂x^{4l−2}} i + \frac{∂Δ}{∂x^{4l−1}} j + \frac{∂Δ}{∂x^{4l}} k) .

En dérivant par rapport à x^{4l−3}, x^{4l−2}, x^{4l−1}, x^{4l} l’égalité

∥Q∥^{2} = Q · Q̄

et tenant compte de (10) et (15), la formule (17) s’écrit

(17′)  A_{l} = −4(n + 1)\overline{Qa_{l}}.

En dérivant l’égalité (8) par rapport à x^{β} et utilisant les formules (9), (10), (12), (17’) nous demonstrons le Lemma 2. Les composantes q^{h′} de la transformation T satisfont les equations aux derivées partielles suivantes:

(18) \frac{∂^{2}q^{h′}}{∂x^{α}∂x^{β}} = \frac{1}{4(4 + 1)} (\frac{∂q^{h′}}{∂x^{4l−3}} Q^{−1}e_{α}Ā_{s}e_{β}Q + \frac{∂q^{h′}}{∂x^{4s−3}} Q^{−1}e_{β}Ā_{l}e_{α}Q) ,

où

α = 4l − 3, 4l − 2, 4l − 1, 4l et β = 4s − 3, 4s − 2, 4s − 1, 4s.

3 Le tenseur Thomas-Vrănceanu-Hangan associé à une transformation projectifs quaternionique

Soit V_{4n} une variété differentiable de dimension 4n. Nous pouvons introduire dans chaque voisinage des coordonnées (x^{α}) les coordonnées quaternioniques (q^{h}) definies par (7).

Si nous pouvons recouvrir la variété V_{4n} par un systeme de voisinages de coordonnées de sort que dans l’intersection des deux voisinages de coordonnées quaternioniques (q^{h}) et (q^{h′}) les coordonnées d’un même point soient liées par des formules de la forme (1) et les formules (1′) qui relient les coordonées réels (x^{α}) (x^{α′}) satisfassent la condition

Δ = |\frac{∂x^{α′}}{∂x^{β}} | ≠ 0

alors nous dirons que V_{4n} est un variété localement projectif quaternionique.

L’espace projectif quaternionique P_{n}(H) est une variété de ce type, il pouvant être recouvert par (n + 1) voisinages de coordonnées, où les formules de passage ont la forme

q^{1′} = (q^{1})^{−1}, q^{h′} = q^{h}(q^{1})^{−1}.

Soit Γ_{αβ}^{γ}, Γ_{α′β′}^{γ′} les coefficients d’une connexion affine symétrique dans les voisinages de coordonnées (q^{h}), (q^{h′}) et Γ_{β} = Γ_{α,β}^{α}, Γ_{β′} = Γ_{α′β′}^{α′} les coefficients de la connexion contractée. Si dans les points communs de ces voisinages considerons les formules (1′), alors entre ces coefficients nous avons les relations suivantes

(19)  \frac{∂^{2}x^{γ′}}{∂x^{α}∂x^{β}} = Γ_{λ′η′}^{γ′} \frac{∂x^{λ′}}{∂x^{α}} \frac{∂x^{η′}}{∂x^{β}} − Γ_{αβ}^{λ} \frac{∂x^{γ′}}{∂x^{λ}}

(20)  \frac{1}{Δ} \frac{∂Δ}{∂x^{α}} = Γ_{λ′} \frac{∂x^{λ′}}{∂x^{α}} − Γ_{α}.

Attachons aux coefficients Γ_{αβ}^{γ}, Γ_{β} les quaternions

.(21)  Σ_{αβ}^{h} = Γ_{αβ}^{4h−3} + Γ_{αβ}^{4h−2}i + Γ_{αβ}^{4h−1}j + Γ_{αβ}^{4h}k
Σ_{h} = Γ_{4h−3} + Γ_{4h−2}i + Γ_{4h−1}j + Γ_{4h}k

En posant γ = 4h − 3, 4h − 2, 4h − 1, 4h dans la formule (19) nous obtenons

\frac{∂^{2}q^{h′}}{∂x^{α}∂x^{β}} = Σ_{λ′η′}^{h′} \frac{∂x^{λ′}}{∂x^{α}} \frac{∂x^{η′}}{∂x^{β}} − Σ_{αβ}^{λ} \frac{∂q^{h′}}{∂x^{λ}}

Si dans cette égalité considerons α = 4l − 3, 4l − 2, 4l − 1, 4l et β = 4s − 3, 4s − 2, 4s − 1, 4s et tenons compte des formules (17), (18), (20), alors nous pouvons écrire

Σ_{λ′η′}^{h′} \frac{∂x^{λ′}}{∂x^{α}} \frac{∂x^{η′}}{∂x^{β}} − \frac{1}{4(n + 1)} (\frac{∂q^{h′}}{∂x^{4l−3}} Q^{−1}e_{α}Q\overline{Σ}_{t′} \frac{∂q^{t′}}{∂x^{4s−3}} Q^{−1}e_{β}Q+

(22)  +\frac{∂q^{h′}}{∂x^{4s−3}} Q^{−1}e_{β}Q\overline{Σ}_{t′} \frac{∂q^{t′}}{∂x^{4l−3}} Q^{−1}e_{α}Q+) =

= \frac{∂q^{h′}}{∂x^{4t−3}} Q^{−1} (Σ_{αβ}^{t} − \frac{1}{4(n + 1)}δ_{l}^{t}e_{α}\overline{Σ}_{s}e_{β} − \frac{1}{4(n + 1)}δ_{s}^{t}e_{β}\overline{Σ}_{l}e_{α}) Q.

Nous associons aux quaternions Σ_{αβ}^{h}, Σ_{h} les quaternions

(23)  Π_{αβ}^{h} = Σ_{αβ}^{h} − \frac{1}{4(n + 1)}δ_{l}^{h}e_{α}\overline{Σ}_{s}e_{β} − \frac{1}{4(n + 1)}δ_{s}^{h}e_{β}\overline{Σ}_{l}e_{α}

et aux quaternions Σ_{α′β′}^{h′}, Σ_{h′} des quaternions analogues.

Soit

Π_{αβ}^{h} = Q_{αβ}^{4h−3} + Q_{αβ}^{4h−2}i + Q_{αβ}^{4h−1}j + Q_{αβ}^{4h}k.

En tenant compte de la formule (14), l’égalité (2.2) prend la forme

Π_{λ′η′}^{h′} \frac{∂x^{λ′}}{∂x^{α}} \frac{∂x^{η′}}{∂x^{β}} = Q_{αβ}^{λ} \frac{∂q^{h′}}{∂x^{λ}}

qui est équivalent à

Q_{λ′η′}^{γ′} \frac{∂x^{λ′}}{∂x^{α}} \frac{∂x^{η′}}{∂x^{β}} = Q_{αβ}^{λ} \frac{∂q^{γ′}}{∂x^{λ}} .

Nous avons donc le Théorème 1. Si Γ_{αβ}^{γ} est une connexion affine symétrique, alors les composantes Q_{αβ}^{γ} des quaternions Π_{αβ}^{h} (23) constituent un tenseur du troisème ordre, covariant en α, β et contravariant en γ, sur V_{4n}.

En tenant compte des égalitées (21) et (23), nous observons que Γ_{αβ}^{γ} peut s’exprimer par Q_{αβ}^{γ} et Γ_{β}. Par conséquent, le problème proposé par Vrănceanu [8] d’établir si une connexion affine symétrique sur l’espace projectif quaternionique se décompose en sa connexion contractée et un tenseur est résolu. Une autre solution de ce problème est donnée par Hangan [2].

4 Le tenseur Thomas-Vrănceanu associé à une transformation projectif complexe

Si nous faisons pour les transformations projectives complexes une étude similaire à celle des transformations projectives quaternioniques, alors nous constateron qu’on lieu des relations (14) nous trouvons les conditions de Cauchy-Riemann et les relations (18) deviennent les équations aux dérivées partielles d’ordre deux établies par Vrănceanu [8] pour les transformations du groupe projectiv complexe.

Nous avons donc le Théorème 2. Si Γ_{jk}^{i} est une connexion affine symetrique sur une variété V_{2n} localement projectiv complexe, alors les coefficients M_{jk}^{i} du Vrănceanu [8] constituent un tenseur du troisème ordre, covariant en j, k et contravariant en i, sur V_{2n}.

Acknowledgements. A version of this paper was presented at the First Conference of Balkan Society of Geometers, Politehnica University of Bucharest, September 23-27, 1996.

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