Sur les Connexions Finsler-Projectives (III)

Gheorghe Murărescu et Petre Stavre

Abstract

In the present we continue the study of Finsler-projective connections [3], [5], [6], [8], [9]. After definitions, we analyse some problems of metric structure.

Mathematics Subject Classification: 53C60 Key words: Finsler metric, Weyl Finsler connections

Le premiere auteur a introduit une nouvelle voie d’aborder la géomètrie différentielle Finsler-projective (differente de celle utilise par Okada [7]) en utilisant la theorie des fibrés vectoriaux ξ = (E, π, M) a fibre type R (d’après le livre R.Miron et M.Anastasiei [2]). Tous les deux, nous avons obtenu des resultats analogues à ceux de la géometrie differentielle classique (ou le second auteur a obtenu quelques résultats publiés dans [3] et dans sa thèse (1969)). Ces resultats, nous les avons publie dans [4], [5], [6], [8], [9]. Dans ces travaux nous abordons les problemes de courbure, d’holonomie, géodésiques, etc.

D’abord, nous rappellons quelques notions et formules. Soit sur ξ une connexion nonlinéaire N et une d-connexion D. La base adaptée à N est {X_{α}} = {δ/δx^{i}, ∂/∂y} , (i, j = 1, ..., n; α, β = 1, ..., n, 0; x^{0} = y) et la base naturelle est {u_{α}} = {∂/∂x^{i}, ∂/∂y}; nous notons par Γ_{αβ}^{γ} (x, y) les coefficients locaux dans la base adaptee et par γ_{αβ}^{γ} (x, y), les coefficients locaux dans la base naturelle pour la connexion D.

Definition 1 [9]. La connexion D s’appellle quasi-projective normale, si les co-

efficients Γ satisfont les relations Γ_{0α}^{0} = wΓ_{iα}^{i} ou w = −\frac{1}{n + 1} (nous notons D

par (c.q-p-n)).

Nous definissons [8] les coefficients projectifs J de type Weyl:

J_{ik}^{i} = Γ_{jk}^{i} + (δ_{j}^{i}∂N_{k}/∂y + δ_{k}^{i}∂N_{j}/∂y) ,
J_{jkh}^{i} = δJ_{jh}^{i}/δx^{k} − δJ_{jk}^{i}/δx^{h} + J_{jh}^{r}J_{rk}^{i} − J_{jk}^{r}J_{rh}^{i},
J_{jk} = J_{jki}^{i}.

Balkan Journal of Geometry and Its Applications, Vol.2, No.2, 1997, pp. 99-103 \begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}Balkan Society of Geometers, Geometry Balkan Press

Definition 2 [8]. La connexion linaire D^{∗} , attachée a N et D, aux coefficients

Γ^{∗} _{jk}^{i} = Γ_{jk}^{i}, Γ^{∗} _{0k}^{i} = y^{−1}δ_{k}^{i}, Γ^{∗} _{00}^{i} = 0, Γ^{∗} _{jk}^{0} = Γ_{jk}^{i} ·N_{i}+y/ (n − 1)·J_{jk} −δN_{j}/δx^{k},

Γ^{∗} _{0k}^{0} =Γ^{∗} _{0k}^{0} = 0, Γ^{∗} _{00}^{0} = 0,

s’appele la conexion Finsler-projective normale; dans la base naturelle, les coefficients Γ^{∗} _{αβ}^{γ}(x, y) de la connexion D^{∗} sont definis par

γ^{∗} _{jk}^{i} = J_{jk}^{i}, γ^{∗} _{00}^{i} = 0, γ^{∗} _{0k}^{i} = Γ_{k0}^{i} =γ^{∗} _{0k}^{0} = 0,

γ^{∗} _{jk}^{0} = y/ (n − 1) · J_{jk} , γ^{∗} _{00}^{0} = 0.

Nous notons D par (cF-p-n).

Entre deux connexions D et \overline{D} , q-p-n symétriques, nous définissons [8] la transformation τ : D → \overline{D} donnée par \overline{D}_{x}y = D_{x}y + σ (x) hy + σ (y) hx, òu h

est le projecteur horizontal et σ est un d−champ de type ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) . Par ces

transformations, les coefficients J sont invariants.

De même que dans le cas classique [10], nous pouvons définir la connexion D^{∗} comme une classe des connexions (q-p-n) symétriques liées par les transformations τ.

En partant de l’étude du groupe d’holonomie [5], [6], le second auteur a démontré que, dans les conditions specielles, le tenseur J′ (J_{jk}) définit une metrique sur E , nondégénérée et indéfinie, donc a la proprieté

(1) J_{ij|k} = 0.

Dans cette note nous trouvons la forme de la métrique J′ (J_{jk}); de plus nous montrons que les coefficients γ^{∗} _{jk}^{0} définissent aussi une métrique decomposable.

Dans E \ {0} nous démontrons que

\frac{∂J_{ij}}{∂y} = 0, donc: J_{ij} (x, y) = J_{ij} (x, 1)

sur le rayon y > 0; de plus, nous avons

γ^{∗} _{jk}^{0} = \frac{y}{n − 1}J_{jk}

et

(2)  γ^{∗} _{jk|i}^{0} = 0, γ^{∗} _{jk|0}^{0} = −y^{−1} γ^{∗} _{jk}^{0}.

D’après les relations (2), il résulte

(3)  γ^{∗} _{jk}^{0} (x, y) = y · e^{φ_{jk}(x)} ,

(4) J_{jk} (x) = (n − 1) e^{φ_{jk}(x)}, ou φ_{jk} (x) = φ_{kj} (x) ∈ C^{∞}.

Les coefficients symétriques γ^{∗} ^{0} (γ^{∗} _{jk}^{0}) de la connexion D^{∗} (F − p − n) ont

le caractère de d-champ tensoriel, donc nous puvons considerer γ^{∗} ^{0} comme une nouvelle métrique sur E \ {0} à la propriété (2), donc decomposable.

Ainsi nous enonçons Proposition 1. Les coefficients γ^{∗}^{0}, de la connexion (F − p − n) D^{∗}, définit sur E \ {0} une métrique decomposable.

Observation 1 En notant

h_{jk} = \frac{1}{n − 1}e^{ϕ_{jk}(x)},

il resulte que γ^{∗} _{jk}^{0} = e^{ln y} · h_{jk}.

Ce fait nous conduit à une étude conforme.

Observation 2 Nous pouvons considérer l’espace Lagrange généralisée de la forme: (M, g_{ij}(x, y)) ou g_{jk} =γ^{∗} _{jk}^{0} = e^{ln y} · h_{jk} que se peut étudier d’aprés la mèthode de R.Miron [2].

Ayant (M; g_{jk}), nous pouvons considérer sur E la métrique

(5) G (x, y) = g_{ij} (x, y) dx^{i} ⨂ dx^{j} + g_{00} (x, y) δy ⨂ δy,

ou δy = dy + N_{k}dx^{k} avec g_{00} (x, y) arbitraire, nondégénérée de type( \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} ) .

D’ici, nous pouvons enonçer:

Proposition 2. Le tenseur

(6)  G^{∗}= h_{ij} (x) dx^{i} ⨂ dx^{j}+ g^{∗}_{00} (x, y) δy ⨂ δy

est une métrique h-riemanniene.

Observation 3 La fonction g^{∗}_{00} peut être convenablement, choisant:

a) g^{∗}_{00}(x, y) = h_{00} (x), il resulte que G^{∗} est h− riemanniene et v−riemanniene;

b) si dans la relation (5), g^{∗}_{00} dépend seulement de y, par exemple, g^{∗}_{00} (x, y) = y dans E \ {0}, nous avons une métrique G, v−locale-riemanniene;

c) la métrique G ne peut pas être h− locale-minkowskienne.

Nous pouvons appliquer pour les cas a), b), c) la théorie de R.Miron [2] qui conduite evidement aux applications interesantes dans la physique theoretique.

Un calcul inspiré par le livre [2], permet de démontrer la Proposition 3. La connexion nonlinéaire N, donnée initialement, coincide á la connexion nonlinéaire déterminée par la métrique G.

Cette note représente le commencement de l’etude metrique-Finsler- projective.

Acknowledgements. A version of this paper was presented at the First Conference of Balkan Society of Geometers, Politehnica University of Bucharest, September 23-27, 1996.

Bibliographie

1 E. Cartan, Lecon sur la theorie des espaces a connexion projective, Paris (1937).

2 R.Miron, M.Anastasiei, Fibrate vectoriale, spaţii Lagrange, aplicaţii în teoria relativităţii, Ed. Acad. R.S.R. Bucuresti (1987); Vector Bundles and Lagrange Spaces with Applications to Relativity, Balkan Society of Geometers, Monographs and Textbooks, No 1, Geometry Balkan Press, Bucharest, Romania, 1997.

3 Gh. Murărescu, Sur la theorie globale des connexions projectives, C.R. Acad.Sci.Paris,T.269, p. 141-143 (1969).

4 Gh. Murărescu, Sur les connexions Finsler-projectives; le groupe d’holonomie, .An.St.Univ.Timişoara. Fasc. 1 (1995) T.33.

5 Gh. Murărescu, P. Stavre. Sur le groupe d’holonomie des connexions Finsler-projectives, The 25^{th} Nat. Conf. of Geom. an Topology, Iaşi, sept. 1995(sous-presse).

6 Gh. Murărescu, P. Stavre, Sur les connexions Finsler-projectives (II), 4^{th} Intern Congres of Geometry, Thessaloniki, May 26-June 1, 1996 (souspresse).

7 T. Okada-Pair connexions on line bundle and projective connexions, Symp. on Finsler-Geometry at Kinosaki, Nov.(1984).

8 P. Stavre, Gh. Murărescu, Sur les connexions Finsler-projectives normales, Bull. Math. la Soc. Math. de Roumanie, T37 (85), nr. 1-2 (1993), p.133-146.

9 P. Stavre, Gh. Murărescu, Sur les connexions Finsler-projectives (I), The 19^{th} Nat.Conf.of Geom. and Topology, Timişoara, 1989.

10 T.Y. Thomas, On the projective geometry of path, Proc. Nat. Acad. 11, 1925, p.199-203.

11 C. Udrişte, I.E.Hirică, Family of projective projections on tensors and connections, Balkan Journal of Geometry and Its Applications, 2, 2 (1997), 139-156.

12 H. Wakakuwa, Holonomy groups. Publ.St. Groups of Geometry. V.6., 1971.

Faculté de Mathématique-Informatique Department of Mathematics, University of Craiova 11, Al.I.Cuza., St., Craiova, 1100, Romania