Zentralblatt MATH
Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No: 307.10020
Autor: Erdös, Paul; Sheng, T.K.
Title: Distribution of rational points on the real line. (In English)
Source: J. Aust. Math. Soc. 20, 124-128 (1975).
Review: Die Anzahl der verschiedenen rationalen Zahlen p/q, 1 \leq q \leq n, \gamma' < p/q < \gamma'', werde mit Nn(\gamma' , \gamma'') bezeichnet. Die Verff. interessieren sich für das asymptotische Verhalten von Nn(\alphan, \betan) für n ––> oo und für relativ kurze Intervalle (\alphan, \betan). Nach T. K. Sheng [J. Austral. math. Soc. 15, 243-256 (1973; Zbl 267.10048)] ist für irrationales \alpha D(\alpha): = limn ––> oo 1/N · Nn (\alpha - 1/2n , \alpha+ 1/2n ) = {3 \over \pi 2}. Für rationales \alpha = a/q, (a,q) = 1, q > 1 wird hier die Ungleichung
|D ( a/q ) -{3 \over \pi 2}| < 2/q (1+ 2/q ) bewiesen. Der Beweis folgt aus D ( a/q ) = 2/q · sumr \leq 1/2 q (1-{r \over 1/2 q} ) · {\phi (r) \over r}. Für ``längere'' Intervalle wird folgendes Gleichverteilungsergebnis gezeigt: Ist (\alphan, \betan) eine Folge von Intervallen mit 0 < \alphan < \betan < 1 und limn ––> oo n(\betan- \alphan) = oo, so gilt
limn ––> oo {Nn(\alphan , \betan) \over n2(\betan- \alphan)} = {3 \over \pi 2}.
Reviewer: W.Schwarz
Classif.: * 11A99 Elementary number theory
11J71 Distribution modulo one
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