Zentralblatt MATH
Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No: 279.10005
Autor: Benkoski, S.J.; Erdös, Paul
Title: On weird and pseudoperfect numbers. (In English)
Source: Math. Comput. 28, 617-623 (1974).
Review: Die Autoren nennen eine natürliche Zahl n (1) pseudo-vollkommen, wenn sie Summe verschiedener echter Teiler von n ist, (2) defizient, wenn sie größer ist als die Summe aller ihrer echten Teiler und (3) sonderbar (weird), wenn sie weder pseuo-vollkommen noch defizient ist. Eine Liste der (erstaunlich seltenen) sonderbaren Zahlen \leq 106 wird gegeben. U.a. wird bewiesen, daß die sonderbaren Zahlen positive Dichte haben und daß es zu jedem x > 0 pseudo-vollkommene Zahlen gibt, deren Primfaktoren sämtlich > x sind. Offen bleibt u.a. die Frage, ob für sonderbare Zahlen n der Quotient \sigma(n)/n) beschränkt bleibt. Er bleibt beschränkt für die Zahlen n mit folgender weitergehenden Eigenschaft: Kein Teiler von n ist Summe verschiedener anderer Teiler von n. Allgemeiner besagt nämlich ein älterer Satz von P. Erdös [Mat. Lapok 13, 28-37 (1962; Zbl 123.25503)]: Ist a1 < ... < ak eine Folge natürlicher Zahlen, so daß kein Term die Summe verschiedener anderer Terme ist, so gilt sumi 1/ai < C mit einer universellen Konstanten C. Der interessante Beweis wird hier aus dem Ungarischen übersetzt. [Auf S. 622, Z. 20 sollte \sigma(t) durch \sigma(t)-t ersetzt werden.]
Reviewer: W.Borho
Classif.: * 11A25 Arithmetic functions, etc.
11B39 Special numbers, etc.
11-04 Machine computation, programs (number theory)
11P99 Additive number theory
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