Zentralblatt MATH
Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No: 247.20045
Autor: Erdös, Paul; Rényi, Alfréd
Title: Probabilistic methods in group theory. (In English)
Source: J. Anal. Math. 14, 127-138 (1965).
Review: Depuis une trentaine d'années, les méthodes probabilistes trouvent d'intéressantes applications dans divers domaines des mathématiques: analyse, théorie des graphes, théorie des nombres. C'est l'illustre mathématicien russe Ju. V. Linnik qui, sous le nom de méthode de dispersion, a fait des méthodes probabilistes un puissant instrument d'investigation dans la théorie des nombres. Des méthodes probabilistes permettent de résoudre de nombreux problèmes qu'on ne sait pas traiter par d'autres méthodes et qui cependant, à première vue, n'ont rien à voir avec le hasard. Les A. donnent d'intéressantes applications des méthodes probabilistes à la théorie des groupes abéliens finis. Soit Gn un groupe abélien additif d'ordre n et soient a,b,c,... les éléments de ce groupe. On pose 1 · a = a et 0 · a = 0 (élément neutre de Gn), quel que soit l'élément à de Gn. Soient a1, ... ,ak k éléments de Gn choisis au hasard indépendamment les uns des autres, la probabilité de choisir ai étant 1/n, quel que soit i. Soit Vk(b) le nombre de représentations d'un élément b de Gn, de la forme b = \epsilon1a1+\epsilon2a2+...+\epsilonkak, où chacun des nombres \epsiloni peut prendre l'une des valeurs 0 ou 1. Pur tout b in Gn, Vk(b) est une variable aléatoire (v.a.). Si a1, ... ,ak sont fixes, on a sumb in Gn Vk(b) = 2k et \left{{Vk(b) \over 2k} \right} est une loi de probabilités. Conformément à l'usage, les A. désignent par la symbole P(...) la probilité de l'événement indiqué entre parenthèses et par E(...) la valeur moyenne de la v.a. indiquée entre parenthèses. Cela posé, les A. demontrent les deux théorèmes suivants: 1. Si k \geq {2 log n+2 log 1/ \epsilon+ log 1/\delta \over log 2} où \epsilon > 0 et \delta > 0 sont des nombres positifs aussi petits que l'on veut, alors P (Maxb in Gn |Vk(b)-{2k \over n}| \leq \epsilon {2k \over n} ) > 1- \delta. 2. Pour tout \delta > 0, si k \geq {log n+2 log 1/ \delta+ log (log n/ log 2) \over log 2}+5 alors P (Minb in Gn Vk(b) > 0 ) > 1- \delta.
Reviewer: S.Piccard
Classif.: * 20F99 Special aspects of infinite or finite groups
60B99 Probability theory on general structures
© European Mathematical Society & FIZ Karlsruhe & Springer-Verlag