Zentralblatt MATH
Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No: 107.27002
Autor: Erdös, Pál; Rényi, Alfréd; Szüsz, Péter
Title: On Engel's and Sylvester's series (In English)
Source: Ann. Univ. Sci. Budapest. Rolando Eötvös, Sect. Math. 1, 7-32 (1958).
Review: Jede reelle Zahl x (0 < x < 1) kann in eine Engelsche Reihe x = 1/q1+1/q1q2+···+1/q1q2 ··· qn+··· entwickelt werden. Dabei ist qn+1 (x) = [1/rn (x)], wobei die rn(x) rekursiv durch r0 (x) = x, rn+1 (x) = rn (x) [1/rn (x)]-1 definiert sind. Die qn(x) werden als Zufallsvariable über dem Intervall (0,1) aufgefaßt. Die Wahrscheinlichkeit P(A) einer meßbaren Teilmenge A von (0,1) sei durch ihr Lebesguesches Maß gegeben. Es werden u. a. die folgenden Sätze bewiesen: Satz 2: Für jedes reelle y gilt limn ––> oo P ({log qn -n \over \sqrt n} < y ) = {1 \over \sqrt {2\pi}} int-ooy - e- 1/2 t2 dt. Satz 3: Für fast alle x gilt
limn ––> oo \root n \of {qn} = e. Satz 4: Für fast alle x gilt
limsupn ––> oo {log qn-n \over \sqrt {2n log log n}} = 1 und
liminf {log qn -n \over \sqrt {2n log log n}} = -1. Satz 3 wurde ohne Beweis von E. Borel [C. R. Acad. Sci. Paris 225, 51 (1947)] angegeben. Die Sätze 2 und 4 wurden mit Beweisskizzen zuerst von P. Lévy (Zbl 029.15304) ausgesprochen. Im zweiten Teil der Arbeit werden Entwicklungen in Sylvestersche Reihen x = 1/Q1+1/Q2+···+1/Qn+··· betrachtet. Es wird gezeigt, daß log (Qn/Q1 ··· Qn-1 asymptotisch normal verteilt ist und daß limn ––> oo log (Qn (x)/ 2n) fast überall existiert.
Zum Schluß werden einige zahlentheoretische Fragen, die mit diesen Entwicklungen zusammenhängen, betrachtet und ungelöste Probleme erwähnt.
Reviewer: J.Cigler
Classif.: * 11K55 Metric theory of other number-theoretic algorithms and expansions
Keywords: Engel series; Sylvester series
Index Words: number theory
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