Zentralblatt MATH
Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No: 072.27503
Autor: Erdös, Pál
Title: On perfect and multiply perfect numbers. (In English)
Source: Ann. Mat. Pura Appl., IV. Ser. 42, 253-258 (1956).
Review: Sei \sigma(n) = sum d | n d, P(x) bzw. P2(x) die Anzahl der n \leq x, welche n | \sigma(n) bzw. \sigma(n) = 2n genügen. Verf. beweist P(x) < x3/4+\epsilon für jedes \epsilon > 0 und x > x0(\epsilon). Ferner zeigt er, daß es eine Konstante c1 > 0 so gibt, daß für x > x0 auch P2(x) < x(1-c1)/2 gilt. Er vermutet P(x) = o(x\epsilon) für jedes \epsilon > 0. Diese Vermutung wurde inzwischen von B.Hornfeck und E.Wirsing [Math. Ann. 133, 431-438 (1957; Zbl 084.04204)] bewiesen. Beim Beweis macht Der Verf. Gebrauch davon, daß für alle genügend großen n die Abschätzung \sigma(n) < 2n log log n gilt. Ohne Beweis gibt der Verf. schließlich zwei interessante Sätze an, welche Aussagen über die Anzahl der n < x enthalten, für die entweder (\sigma(n),n) > (log x)c1 oder (\sigma(n),n) < (log log n)\alpha gilt, wobei c2 eine geeignete positive Konstante bedeuten und 0 < \alpha < oo sein soll. Es wird erwähnt, daß man dabei \sigma(n) auch durch \phi(n) ersetzen kann.
Reviewer: H.J.Kanold
Classif.: * 11A25 Arithmetic functions, etc.
Index Words: Number Theory
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