Zentralblatt MATH
Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No: 036.01501
Autor: Erdös, Pál; Turán, Pál
Title: On the distribution of roots of polynomials. (In English)
Source: Ann. Math., Princeton, II. Ser. 51, 105-119 (1950).
Review: Soit f(z) = a0+a1z+···+anzn un polynôme de degré n à coefficients complexes, et posons P = {|ao|+···+|an| \over \sqrt {|a0 an|}}. Soient z\nu = r\nu ei\phi\nu (1 \leq \nu \leq n) les racines de ce polynôme; les AA., par un ingénieux raisonnement, montrent que lorsque n croit indéfiniment, si P n'est pas "trop grand", les arguments \phi \nu sont également répartis entre 0 et 2\pi. De façon précise, ils établissent l'inégalité |({sum\nu}\alpha \leq \phi\nu \leq \beta 1)-\frac{\beta-\alpha}{2\pi} n | < 16\sqrt {n log P}. Ce théorème comprend comme cas particuliers: 10 le théorème de E.Schmidt [Sitzungsber. Preuß. Akad. Wiss., Phys.-Math. Kl., 321 (1932)] montrant que le nombre des racines réelles de f est O(\sqrt {n log P}); 20 la généralisation, due à Szegö, du théorème de Jentzsch sur les zéros des polynômes sections d'une série entière ayant le cercle |z| = 1 comme cercle de convergence, d' après laquelle, pour une infinité de degrés nk les racines du polynôme section de degré nk sont également réparties en argument dans un anneau 1-\epsilon \leq |z| \leq 1+\epsilon d'épaisseur arbitrairement petite.
Reviewer: J.Dieudonné (Nancy)
Classif.: * 12D05 Factorization of real or complex polynomials
30C10 Polynomials (one complex variable)
Index Words: Linear algebra, polynomials
© European Mathematical Society & FIZ Karlsruhe & Springer-Verlag